5.请阅读下面的材料,并完成相应的任务.
仅用圆规三等分、六等分圆是容易的,而四等分、五等分……则有一定难度,历史上卡尔·弗雷德里希·高斯首次解决了将圆十七等分的难题.拿破仑·波拿巴当年曾向数学家提出这样一个问题:只用圆规,不用直尺,如何把一个圆周四等分?这个难题最终由意大利数学家马斯凯罗尼解决了.为此,他还写了名为《圆规几何》的书献给拿破仑,书中还包含了更深刻的作图理论.他给出的作图步骤如下:
第一步:在$\odot O$上任取一点A,以点A为一个分点,将$\odot O$六等分,其他分点依次为B,C,D,E,F;
第二步:分别以A,D两点为圆心,以AC长为半径作弧,两弧交于点G;
第三步:以点A为圆心,OG长为半径作弧,与$\odot O$交于M,N两点.
则点A,M,D,N是$\odot O$的四等分点.
任务:
(1)请按照步骤补全图形.
(2)若$\odot O$的半径为2,则$OG=$, $OM=$, $∠ AOM=$°.
(3)若第二步“以AC长为半径作弧”换成“以大于$\frac{1}{2}AD$长为半径作弧,两弧交于点G”,第三步改为“连接GO,直线GO与$\odot O$相交于M,N两点”,点A,M,D,N是否为$\odot O$的四等分点?请说明理由.

5.(1)如图①。
(2)$2\sqrt{2},2,90$
(3)点$A,M,D,N$是$\odot O$的四等分点。
理由:如图②,连接$AD,DG,AG,OB,OC$。
$\because$点$A,B,C,D,E,F$是$\odot O$的六等分点，
$\therefore ∠ COD=∠ BOC=∠ AOB=60°$。
$\therefore ∠ AOD=3∠ COD=3×60°=180°$。
$\therefore AD$是$\odot O$的直径。
$\because$分别以$A,D$两点为圆心,以大于$\frac{1}{2}AD$长为半径作弧,两弧交于点$G$，
$\therefore GA=GD$。又$OA=OD$。
$\therefore GO⊥ AD$,即$∠ GOA=∠ GOD=∠ AON=∠ DON=90°$。
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AN}$。
$\therefore$点$A,M,D,N$是$\odot O$的四等分点。

【分析】
本题围绕圆的等分作图问题展开，解题思路清晰：1. 第(1)问直接按照题干给出的三步作图要求补全图形即可；2. 第(2)问先利用圆六等分的性质，得出相邻分点的圆心角为60°，求出AC的长度，再结合作图性质判断OG垂直AD，用勾股定理求出OG长度，再结合⊙O半径和三角形边长关系得到OM长度和∠AOM的度数；3. 第(3)问先由六等分圆的性质推出AD是直径，再根据作图方法判断GO是AD的垂直平分线，得到四个相等的90°圆心角，即可证明四点是圆的四等分点。
【解析】
(1) 按照题干给出的作图步骤，依次完成操作即可补全图形。
(2) 已知⊙O半径为2：
① 六等分圆时每个分点对应的圆心角为$360°÷6=60°$，则$∠ AOC=2×60°=120°$，可求得$AC=2\sqrt{3}$。由作图知$AG=AC=2\sqrt{3}$，且$GA=GD$、$OA=OD$，故$GO⊥ AD$，在$Rt△ AOG$中由勾股定理得$OG=\sqrt{AG^2-OA^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=2\sqrt{2}$。
② OM是⊙O的半径，故$OM=2$。
③ 由作图知$AM=OG=2\sqrt{2}$，$OA=OM=2$，满足$OA^2+OM^2=AM^2$，$△ AOM$为等腰直角三角形，故$∠ AOM=90°$。
(3) 推理过程如下：
连接$AD,DG,AG,OB,OC$。
$\because$点$A,B,C,D,E,F$是$\odot O$的六等分点，
$\therefore ∠ COD=∠ BOC=∠ AOB=60°$，
$\therefore ∠ AOD=3∠ COD=3×60°=180°$，即$AD$是$\odot O$的直径。
$\because$分别以$A,D$两点为圆心，以大于$\frac{1}{2}AD$长为半径作弧，两弧交于点$G$，
$\therefore GA=GD$，又$OA=OD$，
$\therefore GO⊥ AD$，即$∠ GOA=∠ GOD=∠ AON=∠ DON=90°$，
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AN}$，
故点$A,M,D,N$是$\odot O$的四等分点。
【答案】
(1) 如图①。
(2)$2\sqrt{2},2,90$
(3)点$A,M,D,N$是$\odot O$的四等分点。
理由:如图②,连接$AD,DG,AG,OB,OC$。
$\because$点$A,B,C,D,E,F$是$\odot O$的六等分点，
$\therefore ∠ COD=∠ BOC=∠ AOB=60°$。
$\therefore ∠ AOD=3∠ COD=3×60°=180°$。
$\therefore AD$是$\odot O$的直径。
$\because$分别以$A,D$两点为圆心,以大于$\frac{1}{2}AD$长为半径作弧,两弧交于点$G$，
$\therefore GA=GD$。又$OA=OD$。
$\therefore GO⊥ AD$,即$∠ GOA=∠ GOD=∠ AON=∠ DON=90°$。
$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}=\overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AN}$。
$\therefore$点$A,M,D,N$是$\odot O$的四等分点。
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、垂直平分线的性质
【点评】
本题结合数学史背景考查圆的等分问题，将动手作图和几何推理结合，既考查了圆的基本性质、垂直平分线的判定应用，也锻炼了动手操作能力和逻辑论证能力，题目设计新颖，兼顾实践性和知识性。
【难度系数】
0.7