11. 已知甲、乙两班人数相同，老师将某次数学测试的成绩绘制成下列的箱线图.
（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个.为什么？
（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于 128 分，则该同学来自哪个班级的可能性大？

11. (1) 估计甲班平均分较高.理由:由箱线图可知:甲,乙两班的最低分相同,最高分相同,但甲班第一四分位数四分位数、中位数、第三四分位数都高于乙班,且甲班中位数为 128 分,乙班第三四分位数为 128 分,故估计甲班平均分较高 (2) 该同学来自甲班级的可能性大.理由:
∵甲、乙两班人数相同,甲班中位数为 128 分,即甲班有一半人分数在 128 分以上,乙班第三四分位数为 128 分,即只有 25% 的人分数在 128 分以上

【分析】
1. 解决第一问判断平均分高低时，首先明确箱线图的统计意义：箱线图包含最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五个统计量，可反映数据的整体分布。当两班人数相同、最值一致时，第一四分位数、中位数、第三四分位数越高，说明班级中高分数段人数占比越大，整体平均分越高，因此对比两班这三个分位数即可得出结论。
2. 解决第二问判断可能性大小时，本质是比较两班对应分数段的人数占比：结合中位数（50%分位）、第三四分位数（75%分位）的含义，分别计算两班128分以上的人数占比，占比越高的班级，抽到对应分数段学生来自该班的可能性越大。
【解析】
（1）估计甲班平均分较高，推导过程如下：
观察箱线图可得，甲、乙两班的最低分、最高分完全相同，但甲班的第一四分位数、中位数、第三四分位数均高于乙班，且甲班中位数为128分，乙班仅第三四分位数为128分，说明甲班中高分数段的人数占比远高于乙班，因此甲班平均分更高。
（2）该同学来自甲班的可能性更大，推导过程如下：
设甲、乙两班人数均为$n$，已知甲班中位数为128分，说明甲班有$\frac{1}{2}n$的学生分数在128分以上；乙班第三四分位数为128分，说明乙班仅$\frac{1}{4}n$的学生分数在128分以上。两班总人数相同，甲班128分以上人数更多，因此抽到128分以上的学生来自甲班的可能性更大。
【答案】
(1) 甲班平均分较高，理由：甲、乙两班最低分、最高分相同，但甲班第一四分位数、中位数、第三四分位数都高于乙班，且甲班中位数为128分，乙班第三四分位数为128分，故估计甲班平均分较高
(2) 该同学来自甲班级的可能性大，理由：
∵甲、乙两班人数相同，甲班中位数为128分，即甲班有一半人分数在128分以上，乙班第三四分位数为128分，即只有25%的人分数在128分以上
【知识点】
箱线图的含义，四分位数的应用，可能性大小判断
【点评】
本题是统计模块的典型应用题型，重点考查对箱线图统计意义的理解，需要熟练掌握各分位数代表的数据特征，能结合分位数判断数据的集中趋势和不同区间的人数占比，兼顾了基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

12. 某金融公司有A和B两个理财经营团队.2023年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品,收益率(单位:%)如下:

某同学想要利用四分位数分析A,B两个团队的经营水平.下表为绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数(单位:%).

请根据以上信息完成下列问题:
(1) 表中$a=$, $b=$.
(2) 该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示,获得了A团队数据的直观表示.请你在图中补全B团队的箱线图,并根据箱线图对A,B两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价.

12. (1) 3.635,4.125.将 B 团队负责经营的 12 项理财产品的收益率(单位:%)按从小到大排列为:3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44.
∴$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$,$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$ (2) 补全 B 团队的箱线图,如图所示:通过箱线图可知,团队 A 产品收益率的中位数与团队 B 的几乎相等,故可知两个团队的经营效益基本一样,但团队 A 的产品收益率明细比团队 B 的收益率的波动性大,即团队 B 的经营水平更稳健

【分析】
（1）求解四分位数首先需要将数据从小到大排序，若共有n个数据，计算位置$i=n×$对应百分位：若i为整数，则该百分位数为第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应位置的数据即为百分位数。本题n=12，计算25%分位数时$i=12×25\%=3$，故a是第3、4个数据的平均数；计算75%分位数时$i=12×75\%=9$，故b是第9、10个数据的平均数。
（2）补全B团队箱线图时，按照B团队的最小值、25%分位数、中位数、75%分位数、最大值的对应位置绘制即可；评价经营水平时，中位数反映总体经营效益，数据波动范围反映稳健度，波动越小经营越稳健。
【解析】
(1) 先将B团队12项理财产品的收益率按从小到大排列：3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44。
25%分位数的位置为$12×25\%=3$，因此取第3个和第4个数据的平均数：$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$；
75%分位数的位置为$12×75\%=9$，因此取第9个和第10个数据的平均数：$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$。
(2) 补全B团队的箱线图如图所示：
从箱线图分析：A、B两个团队产品收益率的中位数几乎相等，说明两个团队的总体经营效益基本相当；A团队的产品收益率波动范围更大，说明A团队收益率的波动性明显高于B团队，因此B团队的经营水平更稳健。
【答案】
(1) $3.635$，$4.125$
(2) 补全箱线图如图所示；两个团队总体经营效益基本相当，B团队经营更稳健。
【知识点】
四分位数计算，箱线图应用，统计数据分析
【点评】
本题结合实际理财场景考查统计相关知识，既考查了四分位数的计算方法，也考查了对箱线图实际意义的理解，能够锻炼数据分析和解读能力，体现了统计知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7