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12. 阅读材料并解决问题：
学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果放到圆中解决，可以使问题变得容易. 这个过程可称为“化隐圆为显圆”.
① 如图①，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，$∠ BAC＝56°$，$D$是$△ ABC$外一点，且$AD＝AC$，求$∠ BDC$的度数.
解：若以点$A$(定点)为圆心，$AB$(定长)为半径作辅助圆$\odot A$(请你在图①中画圆)，则点$C$，$D$必在$\odot A$上，$∠ BAC$是$\odot A$的圆心角，而$∠ BDC$是圆周角，从而可得$∠ BDC=$
② 如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB⊥ BC$，垂足为$B$，$AB＝12$，$BC＝8$，$P$是$△ ABC$内部的一个动点，且满足$∠ PAB＝∠ PBC$，求线段$CP$的最小值.
解：$\because∠ ABC＝90°$，$\therefore∠ ABP＋∠ PBC＝90°$. $\because∠ PAB＝∠ PBC$，$\therefore∠ BAP＋∠ ABP＝90°$. $\therefore∠ APB＝$
（1）如图③，在矩形$ABCD$中，已知$AB＝6$，$BC＝8$，点$P$是边$BC$上的一个动点(点$P$不与点$B$，$C$重合)，连接$AP$，作点$B$关于直线$AP$的对称点$M$，则线段$MC$的最小值为
（2）如图④，在正方形$ABCD$中，$AD＝10$，动点$E$，$F$分别在边$DC$，$CB$上运动，且满足$DE＝CF$. 连接$AE$和$DF$，交于点$P$.
① 请你写出$AE$与$DF$的数量关系和位置关系，并说明理由；
② 当点$E$运动时，点$P$也随之运动，求点$P$的运动路径的长.
学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果放到圆中解决，可以使问题变得容易. 这个过程可称为“化隐圆为显圆”.
① 如图①，在$△ ABC$中，$AB＝AC$，$∠ BAC＝56°$，$D$是$△ ABC$外一点，且$AD＝AC$，求$∠ BDC$的度数.
解：若以点$A$(定点)为圆心，$AB$(定长)为半径作辅助圆$\odot A$(请你在图①中画圆)，则点$C$，$D$必在$\odot A$上，$∠ BAC$是$\odot A$的圆心角，而$∠ BDC$是圆周角，从而可得$∠ BDC=$
$28$
$°$.② 如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB⊥ BC$，垂足为$B$，$AB＝12$，$BC＝8$，$P$是$△ ABC$内部的一个动点，且满足$∠ PAB＝∠ PBC$，求线段$CP$的最小值.
解：$\because∠ ABC＝90°$，$\therefore∠ ABP＋∠ PBC＝90°$. $\because∠ PAB＝∠ PBC$，$\therefore∠ BAP＋∠ ABP＝90°$. $\therefore∠ APB＝$
$90$
$°$.（定角）$\therefore$点$P$在以$AB$(定弦)为直径的$\odot O$上.（1）如图③，在矩形$ABCD$中，已知$AB＝6$，$BC＝8$，点$P$是边$BC$上的一个动点(点$P$不与点$B$，$C$重合)，连接$AP$，作点$B$关于直线$AP$的对称点$M$，则线段$MC$的最小值为
$4$
.（2）如图④，在正方形$ABCD$中，$AD＝10$，动点$E$，$F$分别在边$DC$，$CB$上运动，且满足$DE＝CF$. 连接$AE$和$DF$，交于点$P$.
① 请你写出$AE$与$DF$的数量关系和位置关系，并说明理由；
② 当点$E$运动时，点$P$也随之运动，求点$P$的运动路径的长.
答案
12. $28°$,$90°$
(1) 4
(2) ① 结论:$AE=DF$,$AE⊥ DF$,理由:$\because$四边形$ABCD$是正方形,$\therefore AD=DC$,$∠ ADE=∠ DCF=90°$,在$△ ADE$和$△ DCF$中,$\begin{cases} AD=DC, \\ ∠ ADE=∠ DCF, \\ DE=CF, \end{cases}$$\therefore △ ADE ≌ △ DCF (\mathrm{SAS})$,$\therefore AE=DF$,$∠ DAE=∠ FDC$,$\because ∠ ADE=90°$,$\therefore ∠ ADP + ∠ DCF=90°$,$\therefore ∠ ADP + ∠ DAE=90°$,$\therefore ∠ APD=180°-90°=90°$,$\therefore AE⊥ DF$
② 如图,连接$AC$,$BD$交于点$O$,$\because$点$P$在运动中保持$∠ APD=90°$,$\therefore$点$P$的运动路径是以$AD$为直径的圆中的$\overset{\frown}{DPO}$,$\therefore$点$P$的运动路径长为$\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2}$
解析
【分析】
本题考查隐圆思想在几何问题中的应用，解题思路如下：
1. 第①小问：已知AB=AC=AD，可知点B、C、D到定点A的距离相等，因此三点在以A为圆心AB为半径的圆上，利用同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解∠BDC。
2. 第②小问：通过角度推导得出∠APB=90°，即定弦AB所对的角为定角90°，因此点P在以AB为直径的圆上，为后续求最值铺垫。
3. 第（1）问：由对称性质得AM=AB为定长，故M在以A为圆心AB为半径的圆上，线段MC的最小值为点C到圆心A的距离减去半径。
4. 第（2）问①：通过SAS证明△ADE≌△DCF，即可得到AE和DF的数量与位置关系；②由①得∠APD=90°，可知点P在以AD为直径的圆上，结合动点范围确定路径为四分之一圆弧，再用弧长公式计算即可。
【解析】
① 由题意，点B、C、D都在⊙A上，弧BC所对的圆心角为∠BAC=56°，圆周角为∠BDC，根据圆周角定理，$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC=28°$。
② $\because∠ ABP+∠ PBC=90°$，$∠ PAB=∠ PBC$，$\therefore∠ BAP+∠ ABP=90°$，$\therefore∠ APB=180°-90°=90°$。
（1）$\because$点M是B关于AP的对称点，$\therefore AM=AB=6$，即点M的轨迹是以A为圆心，6为半径的圆。在矩形ABCD中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，$\therefore MC$的最小值为$AC-AM=10-6=4$。
（2）① 结论：$AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由如下：
$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AD=DC$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，
在$△ ADE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases} AD=DC, \\ ∠ ADE=∠ DCF, \\ DE=CF, \end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=DF$，$∠ DAE=∠ FDC$，
$\because∠ ADE=90°$，$\therefore∠ ADP+∠ FDC=90°$，
$\therefore∠ ADP+∠ DAE=90°$，
$\therefore∠ APD=180°-90°=90°$，$\therefore AE⊥ DF$。
② 连接AC、BD交于点O，$\because$点P运动过程中始终有$∠ APD=90°$，$\therefore$点P的运动路径是以AD为直径的圆上的$\overset{\frown}{DPO}$（四分之一圆弧）。$AD=10$，故圆的半径为5，对应圆心角为$90°$，根据弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$。
【答案】
$28°$；$90°$
(1) $4$
(2) ① $AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由见解析；② $\frac{5π}{2}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，弧长计算
【点评】
本题围绕“化隐圆为显圆”的核心解题思想展开，融合了三角形全等、圆周角性质、动点轨迹、弧长计算、最值求解等多个知识点，需要学生能够抓住定长、定角的特征判断动点轨迹，将复杂的几何问题转化为熟悉的圆相关问题求解，能有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.4
本题考查隐圆思想在几何问题中的应用，解题思路如下：
1. 第①小问：已知AB=AC=AD，可知点B、C、D到定点A的距离相等，因此三点在以A为圆心AB为半径的圆上，利用同弧所对圆周角是圆心角的一半即可求解∠BDC。
2. 第②小问：通过角度推导得出∠APB=90°，即定弦AB所对的角为定角90°，因此点P在以AB为直径的圆上，为后续求最值铺垫。
3. 第（1）问：由对称性质得AM=AB为定长，故M在以A为圆心AB为半径的圆上，线段MC的最小值为点C到圆心A的距离减去半径。
4. 第（2）问①：通过SAS证明△ADE≌△DCF，即可得到AE和DF的数量与位置关系；②由①得∠APD=90°，可知点P在以AD为直径的圆上，结合动点范围确定路径为四分之一圆弧，再用弧长公式计算即可。
【解析】
① 由题意，点B、C、D都在⊙A上，弧BC所对的圆心角为∠BAC=56°，圆周角为∠BDC，根据圆周角定理，$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC=28°$。
② $\because∠ ABP+∠ PBC=90°$，$∠ PAB=∠ PBC$，$\therefore∠ BAP+∠ ABP=90°$，$\therefore∠ APB=180°-90°=90°$。
（1）$\because$点M是B关于AP的对称点，$\therefore AM=AB=6$，即点M的轨迹是以A为圆心，6为半径的圆。在矩形ABCD中，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，$\therefore MC$的最小值为$AC-AM=10-6=4$。
（2）① 结论：$AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由如下：
$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore AD=DC$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，
在$△ ADE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases} AD=DC, \\ ∠ ADE=∠ DCF, \\ DE=CF, \end{cases}$
$\therefore△ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=DF$，$∠ DAE=∠ FDC$，
$\because∠ ADE=90°$，$\therefore∠ ADP+∠ FDC=90°$，
$\therefore∠ ADP+∠ DAE=90°$，
$\therefore∠ APD=180°-90°=90°$，$\therefore AE⊥ DF$。
② 连接AC、BD交于点O，$\because$点P运动过程中始终有$∠ APD=90°$，$\therefore$点P的运动路径是以AD为直径的圆上的$\overset{\frown}{DPO}$（四分之一圆弧）。$AD=10$，故圆的半径为5，对应圆心角为$90°$，根据弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$。
【答案】
$28°$；$90°$
(1) $4$
(2) ① $AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由见解析；② $\frac{5π}{2}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，弧长计算
【点评】
本题围绕“化隐圆为显圆”的核心解题思想展开，融合了三角形全等、圆周角性质、动点轨迹、弧长计算、最值求解等多个知识点，需要学生能够抓住定长、定角的特征判断动点轨迹，将复杂的几何问题转化为熟悉的圆相关问题求解，能有效锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.4
