9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，AM是中线.
（1）以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则点B，C，M与⊙A是什么位置关系？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使点B，C，M三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

9. (1) $\because AB=4,\odot A$的半径为4,$\therefore$点B在$\odot A$上;$\because AC=6＞4,\therefore$点C在$\odot A$外;由勾股定理,得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{13}$,$\because AM$是边BC上的中线,$\therefore AM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{13}＜4$,$\therefore$点M在$\odot A$内
(2) 以点A为圆心作$\odot A$,使B,C,M三点中至少有一点在$\odot A$内时,$r＞\sqrt{13}$,当至少有一点在$\odot A$外时,$r＜6$,故r的取值范围为$\sqrt{13}＜r＜6$

【分析】
要解决这道题，首先明确点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，若d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外，d＜r则点在圆内。
对于第（1）问：已知⊙A半径为4，先直接对比AB、AC的长度和半径的大小，即可判断点B、C的位置；再用勾股定理求出斜边BC的长度，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出AM的长度，对比半径就能得到点M的位置。
对于第（2）问：先确定B、C、M三点到点A的距离的最小值和最大值，要满足至少一个点在圆内，半径需要大于最小距离；要满足至少一个点在圆外，半径需要小于最大距离，结合两个条件即可得到r的取值范围。
【解析】
（1）已知⊙A的半径为4：
∵AB=4，即点B到圆心A的距离等于半径，
∴点B在$\odot A$上；
∵AC=6＞4，即点C到圆心A的距离大于半径，
∴点C在$\odot A$外；
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$
∵AM是BC边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AM=\frac{1}{2}BC=\sqrt{13}＜4$，即点M到圆心A的距离小于半径，
∴点M在$\odot A$内。
（2）点B、C、M到点A的距离分别为4、6、$\sqrt{13}$，最小距离为$\sqrt{13}$，最大距离为6。
要使三点中至少有一个点在圆内，则$r＞\sqrt{13}$；
要使三点中至少有一个点在圆外，则$r＜6$；
综上可得r的取值范围为$\sqrt{13}＜r＜6$。
【答案】
(1) 点B在$\odot A$上，点C在$\odot A$外，点M在$\odot A$内；
(2) $\sqrt{13}＜r＜6$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用，解题关键是掌握点和圆位置关系的判定规则，结合直角三角形的性质计算相关线段长度，理解“至少一个在圆内、至少一个在圆外”的含义确定半径的临界值即可解答。
【难度系数】
0.7

10. 已知A，B，C，D是$\odot O$上的四点，延长DC，AB相交于点E，若$BC=BE$。求证：$△ ADE$是等腰三角形。

10. $\because A,B,C,D$是$\odot O$上的四点,$\therefore ∠ A = ∠ BCE$,$\because BC=BE$,$\therefore ∠ E = ∠ BCE$,$\therefore ∠ A = ∠ E$,$\therefore DA=DE$,即$△ ADE$是等腰三角形

【分析】
要证明△ADE是等腰三角形，可通过证明该三角形有两个内角相等推导。首先根据圆内接四边形的性质，可得∠A等于其外角∠BCE；再结合已知BC=BE，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠E=∠BCE；通过等量代换得到∠A=∠E，最后根据等角对等边即可判定△ADE是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵A、B、C、D是$\odot O$上的四点，四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形，
∴∠A=∠BCE（圆内接四边形的外角等于它的内对角）。
∵BC=BE，
∴∠E=∠BCE（等腰三角形等边对等角）。
∴∠A=∠E（等量代换）。
∴DA=DE（等腰三角形等角对等边），即$△ ADE$是等腰三角形。
【答案】
$\because A,B,C,D$是$\odot O$上的四点,$\therefore ∠ A = ∠ BCE$,$\because BC=BE$,$\therefore ∠ E = ∠ BCE$,$\therefore ∠ A = ∠ E$,$\therefore DA=DE$,即$△ ADE$是等腰三角形
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了圆和等腰三角形的相关性质，解题核心是利用圆内接四边形的外角性质完成角的等量代换，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

11. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$O$是边$AC$上的一点，以点$O$为圆心，$OA$为半径的圆分别交$AB$，$AC$于点$E$，$D$，在$BC$的延长线上取点$F$，使得$BF=EF$，$EF$与$AC$交于点$G$.
（1）试判断直线$EF$与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）若$OA=2$，$∠ A=30°$，求图中阴影部分的面积.

11. (1) 如图,连接OE,$\because OA=OE$,$\therefore ∠ A = ∠ AEO$,$\because BF=EF$,$\therefore ∠ B = ∠ BEF$,$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$,$\therefore ∠ AEO + ∠ BEF = 90°$,$\therefore ∠ OEG=90°$,$\therefore EF$是$\odot O$的切线

(2) $\because AD$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AED=90°$,$\because ∠ A=30°$,$\therefore ∠ EOD=60°$,$\therefore ∠ EGO=30°$,$\because AO=2$,$\therefore OE=2$,$\therefore EG=2\sqrt{3}$,$\therefore$阴影部分的面积$=\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} - \frac{60 · π × 2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$

【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系优先考虑切线的判定定理，因此先连接半径OE，要证EF是切线只需证OE⊥EF。利用等腰三角形等边对等角的性质，结合Rt△ABC中两锐角互余的特点，可推导出∠AEO与∠BEF的和为90°，进而得到∠OEG=90°即可证明。
（2）阴影部分为不规则图形，可转化为△OEG的面积减去扇形ODE的面积计算。先根据圆周角定理得出圆心角∠EOD的度数，再在直角三角形中求出相关边长，分别计算三角形和扇形的面积后作差即可。
【解析】
(1) 连接OE，
∵ OA=OE，
∴ ∠A = ∠AEO，
∵ BF=EF，
∴ ∠B = ∠BEF，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠AEO + ∠BEF = 90°，
∴ ∠OEG=180°-(∠AEO + ∠BEF)=90°，即OE⊥EF，
又
∵ OE是⊙O的半径，
∴ EF是⊙O的切线。
(2)
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠AED=90°，
∵ ∠A=30°，
∴ ∠EOD=2∠A=60°，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，∠EOG=60°，
∴ ∠EGO=30°，
∵ AO=2，
∴ OE=OA=2，
∴ OG=2OE=4，由勾股定理得$EG=\sqrt{OG^2-OE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ 阴影部分的面积=$S_{△ OEG}-S_{扇形ODE}=\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} - \frac{60 · π × 2^2}{360}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
【答案】
(1) 直线EF是$\odot O$的切线，理由如下：
如图,连接OE,$\because OA=OE$,$\therefore ∠ A = ∠ AEO$,$\because BF=EF$,$\therefore ∠ B = ∠ BEF$,$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$,$\therefore ∠ AEO + ∠ BEF = 90°$,$\therefore ∠ OEG=90°$,$\therefore EF$是$\odot O$的切线

(2) $2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
【知识点】
切线的判定、扇形面积计算、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法和不规则图形面积的求解思路，解题的关键是正确作出辅助线，将待求的不规则面积转化为熟悉的规则图形面积的差，是圆相关知识的常考题型。
【难度系数】
0.6