1. 如图，MN为$\odot O$的弦，$∠ N=52°$，则$∠ MON$的度数为（）

A.$38°$
B.$52°$
C.$76°$
D.$104°$

1. C

【分析】
解题时首先观察图形，OM和ON都是圆O的半径，根据圆的性质可知半径长度相等，因此△OMN是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，已知∠N=52°，即可得到∠M的度数，最后结合三角形内角和为180°，就能计算出∠MON的度数。
【解析】
∵OM、ON均为⊙O的半径，
∴OM=ON，即△OMN为等腰三角形，
∴∠M=∠N=52°，
根据三角形内角和定理可得：
∠MON=180°-∠M-∠N=180°-52°-52°=76°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆的半径性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要结合圆的基本特征和三角形相关性质进行考查，解题的关键是识别出圆的两条半径相等，进而得到等腰三角形，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知$\odot O$的直径$AB$经过弦$CD$的中点$E$，连接$BC$，$BD$，则下列结论错误的是（）

A.$AB⊥ CD$
B.$BC=BD$
C.$∠ BCD=∠ BDC$
D.$OE=BE$

2. D

【分析】
本题可结合垂径定理的推论逐一分析各选项：首先已知直径AB经过弦CD的中点E，根据垂径定理推论可先判断AB与CD的位置关系，再结合垂直平分线的性质、等腰三角形的性质依次判断其余选项，最终找出无法推导的错误结论。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，且AB经过弦CD的中点E，
∴根据垂径定理的推论可得：$AB⊥ CD$，故A选项结论正确，不符合题意；
由$AB⊥ CD$，E是CD中点，可知AB垂直平分CD，
∴点B在CD的垂直平分线上，
∴$BC=BD$，故B选项结论正确，不符合题意；
∵$BC=BD$，即$△ BCD$为等腰三角形，
∴$∠ BCD=∠ BDC$，故C选项结论正确，不符合题意；
题中无相关条件可证明$OE=BE$，该结论无法推出，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及其推论；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的推论，结合线段垂直平分线和等腰三角形的性质对选项逐一验证，注意没有给出的条件不能随意默认成立。
【难度系数】
0.8

3. 如图，线段AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$，$∠ CAB=30°$，$OD=2$，则DC的长为（）

A.2
B.4
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

3. D

【分析】
解题时先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，首先想到运用垂径定理，可得AB平分CD，即CD=2DE（设AB与CD的交点为E），因此只需要求出DE的长度就能得到CD的长。已知圆周角∠CAB=30°，可通过圆周角定理求出对应的圆心角的度数，再在Rt△ODE中利用三角函数求出DE，最终计算得到CD的长度。
【解析】
设AB与CD交于点E。
1. 因为AB是$\odot O$的直径，且$CD⊥ AB$，根据垂径定理可得：$CE=DE$，即$CD=2DE$，且$∠ OED=90°$。
2. $∠ CAB$是弧BC所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得弧BC对应的圆心角$∠ COB=2∠ CAB=2×30°=60°$。
3. 由于$CD⊥ AB$，直径AB平分弧CD，因此弧BC=弧BD，可得$∠ BOD=∠ COB=60°$。
4. 在$Rt△ ODE$中，$OD=2$，$∠ DOE=60°$，则$DE=OD·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
5. 因此$CD=2DE=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是将圆的性质和直角三角形的计算结合，通过垂径定理把求弦长CD转化为求DE的长度，再利用圆周角定理得到直角三角形的内角，即可用三角函数求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

4. 如图，AB，AC分别是$\odot O$的直径和弦，$OD⊥ AC$，垂足为D，连接BD，BC，且$AB=10$，$AC=8$，则BD的长为（）

A.$2\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{13}$
D.$4.8$

4. C

【分析】
解题思路可分三步：①由AB是圆的直径，根据圆周角定理可得∠ACB是直角，先在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；②由OD⊥AC，结合垂径定理可推出D是AC的中点，得到CD的长度；③最后在Rt△BCD中，用勾股定理计算出BD的长即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵OD⊥AC，OD过圆心O，
∴根据垂径定理，$AD=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△BCD中，BC=6，CD=4，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形的基础综合题，解题的核心是熟练运用圆的相关性质得到直角三角形及线段的长度，再结合勾股定理求解，解题时要注意找准对应的直角三角形，避免线段对应错误。
【难度系数】
0.7

5. 若三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则它的外接圆半径为 cm，内切圆半径为 cm.

5. $\frac{13}{2}$,2

【分析】
解题时首先根据三角形三边的长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，观察到三边长5、12、13是常见勾股数，先验证是否满足勾股定理，确定为直角三角形后，再分别结合直角三角形外接圆、内切圆的性质计算对应半径：①直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径为斜边的一半；②内切圆半径可通过面积法（三角形面积=内切圆半径×三角形周长的一半），或直角三角形内切圆半径的专用公式计算。
【解析】
第一步：判断三角形形状
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
∴ 该三角形是斜边长为13cm的直角三角形
第二步：计算外接圆半径
直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}×$斜边长度$=\frac{13}{2}$cm
第三步：计算内切圆半径
用面积法求解：
三角形面积$S=\frac{1}{2}×5×12=30\ \mathrm{cm}^2$
三角形周长$C=5+12+13=30\ \mathrm{cm}$
根据内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}× C× r$（$r$为内切圆半径），代入得：
$30=\frac{1}{2}×30× r$，解得$r=2$cm
【答案】
$\frac{13}{2}$，2
【知识点】
勾股定理的逆定理；外接圆半径计算；内切圆半径计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先通过三边关系判断出三角形为直角三角形，再结合直角三角形与外接圆、内切圆相关的性质计算即可，熟练掌握相关性质可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$\odot O$与$□ ABCD$的两边相切于点B，D，$OE⊥ AB$，垂足为E，若$AD=6$，则$OE=$。

6. $\sqrt{3}$

【分析】
解题时先梳理已知条件逐步推导：1、根据切线性质得OD⊥DC、OB⊥BC，结合切线长定理得CD=CB，由此判断平行四边形ABCD是菱形，即AB=AD=6，且AB//DC、∠A=∠C；2、由OD⊥DC、AB//DC推出OD⊥AB，结合OE⊥AB得D、O、E三点共线，根据垂径定理得AE=EB=3；3、利用四边形内角和得∠DOB=180°-∠A，再结合圆周角定理得∠DOB=2∠A，求出∠A=60°，进而算出AB边上的高DE的长度；4、设OE=x，用含x的式子表示半径OB，在Rt△OEB中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：连接OD、OB
∵ DC、BC是⊙O的切线，切点分别为D、B
∴ OD⊥DC，OB⊥BC，且CD=CB（切线长定理）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且CD=CB
∴ ABCD是菱形，因此AB=AD=6，AB//DC，∠A=∠C
∵ OD⊥DC，AB//DC，
∴ OD⊥AB
又
∵ OE⊥AB，
∴ D、O、E三点共线，DE⊥AB
∵ DE过圆心O且DE⊥AB，由垂径定理得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB=3$
在四边形OBCD中，∠ODC=∠OBC=90°
∴ $∠ DOB=360°-90°-90°-∠ C=180°-∠ C=180°-∠ A$
∵ ∠DOB是弧DB对应的圆心角，∠DAB是弧DB对应的圆周角
∴ $∠ DOB=2∠ A$（圆周角定理）
联立得：$2∠ A=180°-∠ A$，解得$∠ A=60°$
在Rt△ADE中，$∠ A=60°$，AD=6
∴ $DE=AD·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$
设OE=x，⊙O的半径为r，则$OD=OB=r$，且$DE=OD+OE=r+x=3\sqrt{3}$，即$r=3\sqrt{3}-x$
在Rt△OEB中，由勾股定理得：$OE^2+EB^2=OB^2$
代入得：$x^2+3^2=(3\sqrt{3}-x)^2$
展开化简：$x^2+9=27-6\sqrt{3}x+x^2$，即$6\sqrt{3}x=18$，解得$x=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆与四边形的综合题，需要结合多个知识点推导隐含条件，解题的关键是先判断出四边形是菱形，再通过圆心角和圆周角的关系求出角的度数，最后用勾股定理列方程求解，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

7. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，AD，BD是半圆的弦，$∠ PDA = ∠ PBD$，$∠ BDE = 60°$，若$PD = \sqrt{3}$，则PA的长为。

7. 1

【分析】
解题时首先利用直径所对圆周角为直角得到∠ADB=90°，再结合已知角相等和半径相等的性质，推导得出PD是⊙O的切线；接着根据平角定义求出∠PDA的度数，进而得到圆周角∠PBD的度数，利用圆周角定理得到圆心角∠DOA的度数，在Rt△PDO中结合特殊角的三角函数值和直角三角形性质求出半径和PO的长度，最后通过线段差计算PA的长。
【解析】
连接OD，
1.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
2.
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠PBD，又已知∠PDA=∠PBD，
∴∠PDA=∠ODB；
3.
∴∠PDO=∠PDA+∠ADO=∠ODB+∠ADO=∠ADB=90°，即PD⊥OD，故PD是⊙O的切线；
4.
∵∠PDA+∠ADB+∠BDE=180°，∠BDE=60°，∠ADB=90°，
∴∠PDA=180°-90°-60°=30°，则∠PBD=∠PDA=30°；
5. 根据圆周角定理，∠DOA=2∠PBD=60°，在Rt△PDO中，∠P=90°-∠DOA=30°；
6. 已知PD=√3，由$\tan∠P=\frac{OD}{PD}$，得$OD=PD·\tan30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$，因此$PO=2OD=2$（直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半）；
7. 又$OA=OD=1$，故$PA=PO-OA=2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是先证明切线得到直角三角形，再结合特殊角的性质计算线段长度，解题时要注意圆的性质和三角形性质的结合运用。
【难度系数】
0.6

8. 如图，已知$\odot O$的直径$AB=4$，延长$AB$到点$C$，过点$C$作$\odot O$的切线$CD$，切点为$D$，且$∠ C=30°$，连接$AD$，$BD$，则阴影部分的面积为________.

8. $2π-2\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先连接圆心与切点OD，利用切线的性质得到OD⊥CD，结合∠C=30°和直径AB=4求出半径长度，进而推出∠DOB=60°，确定△OBD为等边三角形，得到BD的长度。再根据直径所对的圆周角是直角，判定△ABD是直角三角形，求出AD长度后计算△ABD的面积。观察阴影部分可知，阴影为上半圆减去直角△ABD后剩余的两个弓形面积和，因此用半圆面积减去△ABD的面积即可求解。
【解析】
1. 连接OD，
∵CD是$\odot O$的切线，
∴$OD⊥ CD$，即$∠ ODC=90°$。
2.
∵$∠ C=30°$，
∴$∠ COD=90°-30°=60°$。
3. 已知直径$AB=4$，则$\odot O$的半径$OD=OA=OB=2$，又
∵$OB=OD$，$∠ DOB=60°$，
∴$△ OBD$是等边三角形，即$BD=OB=2$。
4.
∵AB是直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
5. 在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
6. 计算$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AD× BD=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=2\sqrt{3}$。
7. 计算上半圆的面积：$S_{半圆}=\frac{1}{2}×π× r^2=\frac{1}{2}×π×2^2=2π$。
8. 阴影部分面积为上半圆面积减去$△ ABD$的面积，即$S_{阴影}=2π-2\sqrt{3}$。
【答案】
$2π-2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，不规则面积计算
【点评】
本题是圆的综合应用类题目，解题的核心是通过添加辅助线OD，结合切线性质确定点D的位置，将不规则的阴影面积转化为规则的半圆与三角形的面积差求解，同时考查了勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6