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11. 如图，AB是$\odot O$的直径，AD与$\odot O$相切于点A，DE与$\odot O$相切于点E，点C为DE延长线上一点，且$CE=CB$。
（1）求证：BC为$\odot O$的切线。
（2）若$AB=4$，$AD=1$，求线段CE的长。
（1）求证：BC为$\odot O$的切线。
（2）若$AB=4$，$AD=1$，求线段CE的长。
答案
11. (1) 如图,连接OE,OC,$\because DE$与$\odot O$相切于点E,$\therefore ∠ OEC=90°$,在$△ OBC$和$△ OEC$中,$\begin{cases} OB=OE, \\ CB=CE, \\ OC=OC, \end{cases}$$\therefore △ OBC≌△ OEC(\mathrm{SSS}),\therefore ∠ OBC=∠ OEC=90°$,$\therefore BC$为$\odot O$的切线
(2) 如图,过点D作$DF⊥ BC$,垂足为F.设$CE=x$,$\because CE,CB$为$\odot O$切线,$\therefore CB=CE=x$.$\because DE,DA$为$\odot O$切线,$\therefore DE=DA=1$.$\therefore DC=x+1$.$\because ∠ DAB=∠ ABC=∠ DFB=90°$,$\therefore$四边形ADFB为矩形.$\therefore DF=AB=4$,$BF=AD=1$.$\therefore FC=x-1$,在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,根据勾股定理,得$(x+1)^2-(x-1)^2=16$,解得$x=4$.$\therefore CE=4$
解析
【分析】
（1）要证明BC为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明半径OB垂直于BC，即$∠ OBC=90°$。已知DE切$\odot O$于点E，可得$∠ OEC=90°$，因此连接OE、OC，通过证明$△ OBC$和$△ OEC$全等，即可将$∠ OBC$转化为已知的直角$∠ OEC$完成证明。
（2）求CE的长度，可先利用切线长定理得到$DE=AD=1$、$CB=CE$，设$CE=x$，即可表示出DC、BC的长度。过D作$DF⊥ BC$构造直角三角形，结合矩形性质得到DF、FC的长度，再用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$OE$,$OC$，
$\because DE$与$\odot O$相切于点$E$，
$\therefore ∠ OEC=90°$，
在$△ OBC$和$△ OEC$中，
$\begin{cases} OB=OE, \\ CB=CE, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △ OBC≌△ OEC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OEC=90°$，即$OB⊥ BC$，
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BC$为$\odot O$的切线。
(2) 过点$D$作$DF⊥ BC$，垂足为$F$。
设$CE=x$，
$\because CE,CB$为$\odot O$切线，$\therefore CB=CE=x$，
$\because DE,DA$为$\odot O$切线，$\therefore DE=DA=1$，
$\therefore DC=DE+CE=x+1$。
$\because AD$切$\odot O$于点$A$，$BC$为$\odot O$的切线，
$\therefore ∠ DAB=∠ ABC=90°$，
又$\because ∠ DFB=90°$，$\therefore$四边形$ADFB$为矩形，
$\therefore DF=AB=4$，$BF=AD=1$，
$\therefore FC=BC-BF=x-1$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，根据勾股定理得$DC^2=DF^2+FC^2$，
即$(x+1)^2=4^2+(x-1)^2$，
展开化简得$4x=16$，解得$x=4$。
$\therefore CE=4$。
【答案】
(1) 证明成立，BC为$\odot O$的切线；
(2) $CE=4$
【知识点】
1. 切线的判定与性质
2. 全等三角形判定
3. 勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问通过全等三角形转化直角是切线判定类题目的常用思路；第二问结合切线长定理、矩形性质，用方程思想结合勾股定理求解线段长度，需要掌握圆相关性质和常用辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BC为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明半径OB垂直于BC，即$∠ OBC=90°$。已知DE切$\odot O$于点E，可得$∠ OEC=90°$，因此连接OE、OC，通过证明$△ OBC$和$△ OEC$全等，即可将$∠ OBC$转化为已知的直角$∠ OEC$完成证明。
（2）求CE的长度，可先利用切线长定理得到$DE=AD=1$、$CB=CE$，设$CE=x$，即可表示出DC、BC的长度。过D作$DF⊥ BC$构造直角三角形，结合矩形性质得到DF、FC的长度，再用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$OE$,$OC$，
$\because DE$与$\odot O$相切于点$E$，
$\therefore ∠ OEC=90°$，
在$△ OBC$和$△ OEC$中，
$\begin{cases} OB=OE, \\ CB=CE, \\ OC=OC, \end{cases}$
$\therefore △ OBC≌△ OEC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OEC=90°$，即$OB⊥ BC$，
又$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore BC$为$\odot O$的切线。
(2) 过点$D$作$DF⊥ BC$，垂足为$F$。
设$CE=x$，
$\because CE,CB$为$\odot O$切线，$\therefore CB=CE=x$，
$\because DE,DA$为$\odot O$切线，$\therefore DE=DA=1$，
$\therefore DC=DE+CE=x+1$。
$\because AD$切$\odot O$于点$A$，$BC$为$\odot O$的切线，
$\therefore ∠ DAB=∠ ABC=90°$，
又$\because ∠ DFB=90°$，$\therefore$四边形$ADFB$为矩形，
$\therefore DF=AB=4$，$BF=AD=1$，
$\therefore FC=BC-BF=x-1$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，根据勾股定理得$DC^2=DF^2+FC^2$，
即$(x+1)^2=4^2+(x-1)^2$，
展开化简得$4x=16$，解得$x=4$。
$\therefore CE=4$。
【答案】
(1) 证明成立，BC为$\odot O$的切线；
(2) $CE=4$
【知识点】
1. 切线的判定与性质
2. 全等三角形判定
3. 勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问通过全等三角形转化直角是切线判定类题目的常用思路；第二问结合切线长定理、矩形性质，用方程思想结合勾股定理求解线段长度，需要掌握圆相关性质和常用辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$□ ABCD$ 的顶点A，B，D在$\odot O$上，$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FB}$。
（1）求证：$□ ABCD$是菱形。
（2）求$∠ A$的度数。
（1）求证：$□ ABCD$是菱形。
（2）求$∠ A$的度数。
答案
12. (1) 如图,过点O作$OM⊥ DC$,$ON⊥ BC$,垂足分别为M,N,$\because \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BF}$,$\therefore DE=BF$,$DM=EM$,$BN=FN$,$\therefore DM=BN$,又$\because OM⊥ DE$,$ON⊥ BF$,$\therefore OM=ON$,在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ OCN$中,$\because OM=ON$,$OC=OC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM≌\mathrm{Rt}△ OCN$,$\therefore CM=CN$,$\therefore CM+DM=CN+BN$,即$CD=BC$,$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore$四边形ABCD是菱形
(2) 连接OD,OE,OF,OB,由垂径定理以及圆的对称性可知,$∠ DOM=∠ MOE=∠ EOC=∠ COF=∠ FON=∠ NOB$,设$∠ DOM=x$,则$∠ MOC=2x$,$∠ A=∠ C=\frac{1}{2}∠ BOD=3x$,$\therefore ∠ OCM=\frac{1}{2}∠ C=\frac{3}{2}x$,在$\mathrm{Rt}△ OCM$中,$∠ COM=2x$,$∠ OCM=\frac{3}{2}x$,由三角形内角和定理,得$2x+\frac{3}{2}x=90°$,解得$x=\frac{180°}{7}$,$\therefore ∠ A=3x=\frac{540°}{7}$
解析
【分析】
（1）要证明平行四边形ABCD是菱形，只需证明其一组邻边相等即可。已知弧DE和弧BF相等，结合等弧对等弦、垂径定理，可通过过圆心作DC、BC的垂线构造全等三角形，证明CD=BC即可得证。
（2）求∠A的度数时，先连接OD、OE、OF、OB，利用等弧对应圆心角相等、垂径定理得到多个相等的圆心角，设未知数表示各角，再结合平行四边形对角相等、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：如图，过点O作$OM⊥ DC$，$ON⊥ BC$，垂足分别为M，N。
$\because \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BF}$，$\therefore DE=BF$。
根据垂径定理可得$DM=EM$，$BN=FN$，因此$DM=BN$。
又$\because OM⊥ DE$，$ON⊥ BF$，弦相等则对应的弦心距相等，$\therefore OM=ON$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ OCN$中：
$\begin{cases}OM=ON \\OC=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM≌\mathrm{Rt}△ OCN(\mathrm{HL})$，$\therefore CM=CN$。
$\therefore CM+DM=CN+BN$，即$CD=BC$。
$\because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore$四边形ABCD是菱形。
（2）解：连接OD、OE、OF、OB，由垂径定理以及圆的对称性可知：$∠ DOM=∠ MOE=∠ EOC=∠ COF=∠ FON=∠ NOB$。
设$∠ DOM=x$，则$∠ MOC=2x$，$∠ A=∠ C=\frac{1}{2}∠ BOD=3x$，因此$∠ OCM=\frac{1}{2}∠ C=\frac{3}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，$∠ COM$与$∠ OCM$互余，可得：
$2x+\frac{3}{2}x=90°$
解得$x=\frac{180°}{7}$，因此$∠ A=3x=\frac{540°}{7}$。
【答案】
(1) 如图,过点O作$OM⊥ DC$,$ON⊥ BC$,垂足分别为M,N,$\because \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BF}$,$\therefore DE=BF$,$DM=EM$,$BN=FN$,$\therefore DM=BN$,又$\because OM⊥ DE$,$ON⊥ BF$,$\therefore OM=ON$,在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ OCN$中,$\because OM=ON$,$OC=OC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM≌\mathrm{Rt}△ OCN$,$\therefore CM=CN$,$\therefore CM+DM=CN+BN$,即$CD=BC$,$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore$四边形ABCD是菱形
(2) $∠A=\frac{540°}{7}$
【知识点】
菱形的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了平行四边形性质、菱形判定、圆的相关性质等多个知识点，解题时需要合理构造辅助线，结合全等三角形判定、方程思想求解，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
（1）要证明平行四边形ABCD是菱形，只需证明其一组邻边相等即可。已知弧DE和弧BF相等，结合等弧对等弦、垂径定理，可通过过圆心作DC、BC的垂线构造全等三角形，证明CD=BC即可得证。
（2）求∠A的度数时，先连接OD、OE、OF、OB，利用等弧对应圆心角相等、垂径定理得到多个相等的圆心角，设未知数表示各角，再结合平行四边形对角相等、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：如图，过点O作$OM⊥ DC$，$ON⊥ BC$，垂足分别为M，N。
$\because \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BF}$，$\therefore DE=BF$。
根据垂径定理可得$DM=EM$，$BN=FN$，因此$DM=BN$。
又$\because OM⊥ DE$，$ON⊥ BF$，弦相等则对应的弦心距相等，$\therefore OM=ON$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ OCN$中：
$\begin{cases}OM=ON \\OC=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM≌\mathrm{Rt}△ OCN(\mathrm{HL})$，$\therefore CM=CN$。
$\therefore CM+DM=CN+BN$，即$CD=BC$。
$\because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore$四边形ABCD是菱形。
（2）解：连接OD、OE、OF、OB，由垂径定理以及圆的对称性可知：$∠ DOM=∠ MOE=∠ EOC=∠ COF=∠ FON=∠ NOB$。
设$∠ DOM=x$，则$∠ MOC=2x$，$∠ A=∠ C=\frac{1}{2}∠ BOD=3x$，因此$∠ OCM=\frac{1}{2}∠ C=\frac{3}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ OCM$中，$∠ COM$与$∠ OCM$互余，可得：
$2x+\frac{3}{2}x=90°$
解得$x=\frac{180°}{7}$，因此$∠ A=3x=\frac{540°}{7}$。
【答案】
(1) 如图,过点O作$OM⊥ DC$,$ON⊥ BC$,垂足分别为M,N,$\because \overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BF}$,$\therefore DE=BF$,$DM=EM$,$BN=FN$,$\therefore DM=BN$,又$\because OM⊥ DE$,$ON⊥ BF$,$\therefore OM=ON$,在$\mathrm{Rt}△ OCM$和$\mathrm{Rt}△ OCN$中,$\because OM=ON$,$OC=OC$,$\therefore \mathrm{Rt}△ OCM≌\mathrm{Rt}△ OCN$,$\therefore CM=CN$,$\therefore CM+DM=CN+BN$,即$CD=BC$,$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore$四边形ABCD是菱形
(2) $∠A=\frac{540°}{7}$
【知识点】
菱形的判定，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于几何综合题，融合了平行四边形性质、菱形判定、圆的相关性质等多个知识点，解题时需要合理构造辅助线，结合全等三角形判定、方程思想求解，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
