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8. 如图，在破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D. 已知AB＝12，CD＝4.
（1）求作此残片所在的圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径.
（1）求作此残片所在的圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径.
答案
8. (1) 如图,作弦AC的垂直平分线,与弦AB的垂直平分线交于点O,以O为圆心,OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆
(2) 如图,连接OA,设OA=x,AD=6,OD=(x-4),则根据勾股定理,得$x^2=6^2+(x-4)^2$,解得$x=\frac{13}{2}$.即圆的半径为$\frac{13}{2}$
解析
【分析】
（1）要确定残片所在的圆，需先确定圆心和半径：根据“圆的圆心在任意一条弦的垂直平分线上”，已知AB的垂直平分线，再作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，以圆心到点A的长度为半径画圆即可得到残片所在的圆。
（2）求半径时，结合垂径定理先得到AD的长度，设半径为x，将OD用含x的代数式表示，再在Rt△OAD中利用勾股定理列方程求解即可，这是几何计算中常用的方程思想。
【解析】
（1）作图：作弦AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆，即为所求残片所在的圆，作图痕迹见参考答案图。
（2）连接OA，设圆的半径OA=x。
∵CD是AB的垂直平分线，AB=12，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=6，且CD⊥AB，即∠ODA=90°。
又
∵CD=4，圆心O在CD所在的直线上，
∴OD=OC - CD = x - 4。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA² = AD² + OD²，
代入得：$x^2=6^2+(x-4)^2$，
展开计算：$x^2=36 + x^2 - 8x + 16$，
移项化简得：$8x=52$，
解得：$x=\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) 如图,作弦AC的垂直平分线,与弦AB的垂直平分线交于点O,以O为圆心,OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆
(2) 圆的半径为$\frac{13}{2}$
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际残圆问题，考查了圆心的确定方法以及垂径定理和勾股定理的综合应用，将几何问题转化为方程求解是本题的解题关键，有助于理解圆的基本性质的实际应用。
【难度系数】
0.7
（1）要确定残片所在的圆，需先确定圆心和半径：根据“圆的圆心在任意一条弦的垂直平分线上”，已知AB的垂直平分线，再作弦AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，以圆心到点A的长度为半径画圆即可得到残片所在的圆。
（2）求半径时，结合垂径定理先得到AD的长度，设半径为x，将OD用含x的代数式表示，再在Rt△OAD中利用勾股定理列方程求解即可，这是几何计算中常用的方程思想。
【解析】
（1）作图：作弦AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆，即为所求残片所在的圆，作图痕迹见参考答案图。
（2）连接OA，设圆的半径OA=x。
∵CD是AB的垂直平分线，AB=12，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=6，且CD⊥AB，即∠ODA=90°。
又
∵CD=4，圆心O在CD所在的直线上，
∴OD=OC - CD = x - 4。
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA² = AD² + OD²，
代入得：$x^2=6^2+(x-4)^2$，
展开计算：$x^2=36 + x^2 - 8x + 16$，
移项化简得：$8x=52$，
解得：$x=\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) 如图,作弦AC的垂直平分线,与弦AB的垂直平分线交于点O,以O为圆心,OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆
(2) 圆的半径为$\frac{13}{2}$
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际残圆问题，考查了圆心的确定方法以及垂径定理和勾股定理的综合应用，将几何问题转化为方程求解是本题的解题关键，有助于理解圆的基本性质的实际应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，点E在$\odot O$外，$∠ EBC=∠ D=60°$.
（1）求证：BE是$\odot O$的切线.
（2）当$BC=6$时，求劣弧BC的长.
（1）求证：BE是$\odot O$的切线.
（2）当$BC=6$时，求劣弧BC的长.
答案
9. (1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ A = ∠ D, \because ∠ EBC = ∠ D = 60°, \therefore ∠ A = 60°, \because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC=30°,\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=90°$,则 BE 为$\odot O$ 的切线
(2) 如图,连接OC,$\because OB=OC,\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°,\therefore ∠ BOC=120°$,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=6,∠ ABC=30°,\therefore AB=4\sqrt{3}$,即圆的半径为$2\sqrt{3}$,则劣弧 BC 的长为$\frac{120π × 2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$
解析
【分析】
（1）要证明BE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明$AB⊥ BE$，即$∠ ABE=90°$。首先利用同弧所对圆周角相等，结合已知$∠ EBC=∠ D$，可推出$∠ A=∠ EBC$；再由AB是直径得$∠ ACB=90°$，计算出$∠ ABC$的度数，即可证得$∠ ABE=90°$。
（2）求劣弧BC的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC$的度数和$\odot O$的半径。连接OC，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用已知边长和角度求出直径AB，得到半径；再根据等腰三角形内角和求出圆心角$∠ BOC$，最后代入公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ A=∠ D$（同弧所对的圆周角相等），
$\because ∠ EBC=∠ D=60°$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=60°+30°=90°$，即$AB⊥ BE$，
又$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore BE$为$\odot O$的切线。
（2）解：连接OC，
$\because OB、OC$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OB=OC$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-30°-30°=120°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=6$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore \cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}$，即$\cos30°=\frac{6}{AB}$，
解得$AB=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore$劣弧$BC$的长为$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
【答案】
(1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ A = ∠ D, \because ∠ EBC = ∠ D = 60°, \therefore ∠ A = 60°, \because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC=30°,\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=90°$,则 BE 为$\odot O$ 的切线
(2) 如图,连接OC,$\because OB=OC,\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°,\therefore ∠ BOC=120°$,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=6,∠ ABC=30°,\therefore AB=4\sqrt{3}$,即圆的半径为$2\sqrt{3}$,则劣弧 BC 的长为$\frac{120π × 2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了圆周角性质、切线判定、弧长计算等多个考点，解题的关键是灵活运用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解边长，熟练掌握相关定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明$AB⊥ BE$，即$∠ ABE=90°$。首先利用同弧所对圆周角相等，结合已知$∠ EBC=∠ D$，可推出$∠ A=∠ EBC$；再由AB是直径得$∠ ACB=90°$，计算出$∠ ABC$的度数，即可证得$∠ ABE=90°$。
（2）求劣弧BC的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先求出劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC$的度数和$\odot O$的半径。连接OC，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用已知边长和角度求出直径AB，得到半径；再根据等腰三角形内角和求出圆心角$∠ BOC$，最后代入公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ A=∠ D$（同弧所对的圆周角相等），
$\because ∠ EBC=∠ D=60°$，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ A=30°$，
$\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=60°+30°=90°$，即$AB⊥ BE$，
又$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore BE$为$\odot O$的切线。
（2）解：连接OC，
$\because OB、OC$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OB=OC$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-30°-30°=120°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=6$，$∠ ABC=30°$，
$\therefore \cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}$，即$\cos30°=\frac{6}{AB}$，
解得$AB=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore$劣弧$BC$的长为$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$。
【答案】
(1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}, \therefore ∠ A = ∠ D, \because ∠ EBC = ∠ D = 60°, \therefore ∠ A = 60°, \because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC=30°,\therefore ∠ ABE=∠ EBC+∠ ABC=90°$,则 BE 为$\odot O$ 的切线
(2) 如图,连接OC,$\because OB=OC,\therefore ∠ OBC=∠ OCB=30°,\therefore ∠ BOC=120°$,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$BC=6,∠ ABC=30°,\therefore AB=4\sqrt{3}$,即圆的半径为$2\sqrt{3}$,则劣弧 BC 的长为$\frac{120π × 2\sqrt{3}}{180}=\frac{4\sqrt{3}}{3}π$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了圆周角性质、切线判定、弧长计算等多个考点，解题的关键是灵活运用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形求解边长，熟练掌握相关定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的半圆$O$分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$.
（1）求证：点$E$是$BC$的中点.
（2）若$∠ BOD=80°$，求$∠ CED$的度数.
（1）求证：点$E$是$BC$的中点.
（2）若$∠ BOD=80°$，求$∠ CED$的度数.
答案
10. (1) 如图,连接AE,$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,即$AE⊥ BC$,$\because AB=AC$,$\therefore BE=CE$,即点E为BC的中点
(2) $\because ∠ BOD=80°,\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BOD=40°$,$\because ∠ DAB+∠ DEB=180°$,$∠ CED+∠ DEB=180°$,$\therefore ∠ CED=∠ DAB=40°$
解析
【分析】
（1）要证点E是BC的中点，已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AE是BC边上的高即可。结合AB是半圆O的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此连接辅助线AE，得到AE⊥BC，即可推导得出E为BC中点。
（2）要求∠CED的度数，首先根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，由已知∠BOD=80°可求出对应圆周角∠DAB的度数；再观察角的关系，四边形ABED是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得∠DAB与∠DEB互补，而∠CED与∠DEB是邻补角也互补，根据“同角的补角相等”即可得到∠CED=∠DAB，从而求出结果。
【解析】
(1) 连接辅助线AE，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90°，即AE⊥BC，
又
∵ AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质可得：
BE=CE，即点E为BC的中点。
(2)
∵ ∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠DAB是弧BD对应的圆周角，
∴ ∠DAB = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵ 四边形ABED是圆内接四边形，
∴ ∠DAB + ∠DEB = 180°，
又
∵ ∠CED + ∠DEB = 180°（平角的定义），
∴ ∠CED = ∠DAB = 40°。
【答案】
10. (1) 如图,连接AE,$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,即$AE⊥ BC$,$\because AB=AC$,$\therefore BE=CE$,即点E为BC的中点
(2) $\because ∠ BOD=80°,\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BOD=40°$,$\because ∠ DAB+∠ DEB=180°$,$∠ CED+∠ DEB=180°$,$\therefore ∠ CED=∠ DAB=40°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，解题的关键是合理添加辅助线，灵活运用圆的相关性质和等腰三角形的性质推导边角关系，是常考的基础类几何题。
【难度系数】
0.7
（1）要证点E是BC的中点，已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AE是BC边上的高即可。结合AB是半圆O的直径，联想到“直径所对的圆周角是直角”，因此连接辅助线AE，得到AE⊥BC，即可推导得出E为BC中点。
（2）要求∠CED的度数，首先根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，由已知∠BOD=80°可求出对应圆周角∠DAB的度数；再观察角的关系，四边形ABED是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补可得∠DAB与∠DEB互补，而∠CED与∠DEB是邻补角也互补，根据“同角的补角相等”即可得到∠CED=∠DAB，从而求出结果。
【解析】
(1) 连接辅助线AE，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AEB=90°，即AE⊥BC，
又
∵ AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质可得：
BE=CE，即点E为BC的中点。
(2)
∵ ∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠DAB是弧BD对应的圆周角，
∴ ∠DAB = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}×80°=40°$，
∵ 四边形ABED是圆内接四边形，
∴ ∠DAB + ∠DEB = 180°，
又
∵ ∠CED + ∠DEB = 180°（平角的定义），
∴ ∠CED = ∠DAB = 40°。
【答案】
10. (1) 如图,连接AE,$\because AB$为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AEB=90°$,即$AE⊥ BC$,$\because AB=AC$,$\therefore BE=CE$,即点E为BC的中点
(2) $\because ∠ BOD=80°,\therefore ∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BOD=40°$,$\because ∠ DAB+∠ DEB=180°$,$∠ CED+∠ DEB=180°$,$\therefore ∠ CED=∠ DAB=40°$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆内接四边形性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，解题的关键是合理添加辅助线，灵活运用圆的相关性质和等腰三角形的性质推导边角关系，是常考的基础类几何题。
【难度系数】
0.7
