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18. (6分)在平面直角坐标系中，点P的坐标为$(a-1,2a)$。
(1) 若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2) 若点P到x轴的距离为6，则点P的坐标为
(1) 若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2) 若点P到x轴的距离为6，则点P的坐标为
$(2,6)或(-4,-6)$
。答案
18. (1) $P(0,2)$ (2) $(2,6)$或$(-4,-6)$
解析
【分析】
(1) 首先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标均为0，因此令点P的横坐标a-1=0，解出a的取值后，代入纵坐标表达式即可求得点P的坐标。
(2) 明确点到x轴的距离的含义：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此可列绝对值方程|2a|=6，求解得到a的两个可能值，再分别代入横、纵坐标的表达式，即可得到两个符合条件的点的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点P(a-1,2a)在y轴上，y轴上的点横坐标为0，
∴a-1=0，
解得：a=1，
将a=1代入纵坐标得2a=2×1=2，
∴点P的坐标为(0,2)。
(2)
∵点P到x轴的距离为6，点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，
∴|2a|=6，
即2a=6或2a=-6，
解得：a=3或a=-3，
当a=3时，横坐标a-1=3-1=2，纵坐标2a=6，此时点P坐标为(2,6)；
当a=-3时，横坐标a-1=-3-1=-4，纵坐标2a=-6，此时点P坐标为(-4,-6)。
【答案】
(1) $P(0,2)$ (2) $(2,6)$或$(-4,-6)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离；绝对值方程求解
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考查点的坐标的基本性质，解题时需注意距离是绝对值形式，涉及绝对值方程时不要漏解负数情况。
【难度系数】
0.9
(1) 首先回忆y轴上点的坐标特征：y轴上所有点的横坐标均为0，因此令点P的横坐标a-1=0，解出a的取值后，代入纵坐标表达式即可求得点P的坐标。
(2) 明确点到x轴的距离的含义：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此可列绝对值方程|2a|=6，求解得到a的两个可能值，再分别代入横、纵坐标的表达式，即可得到两个符合条件的点的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵点P(a-1,2a)在y轴上，y轴上的点横坐标为0，
∴a-1=0，
解得：a=1，
将a=1代入纵坐标得2a=2×1=2，
∴点P的坐标为(0,2)。
(2)
∵点P到x轴的距离为6，点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，
∴|2a|=6，
即2a=6或2a=-6，
解得：a=3或a=-3，
当a=3时，横坐标a-1=3-1=2，纵坐标2a=6，此时点P坐标为(2,6)；
当a=-3时，横坐标a-1=-3-1=-4，纵坐标2a=-6，此时点P坐标为(-4,-6)。
【答案】
(1) $P(0,2)$ (2) $(2,6)$或$(-4,-6)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；点到坐标轴的距离；绝对值方程求解
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考查点的坐标的基本性质，解题时需注意距离是绝对值形式，涉及绝对值方程时不要漏解负数情况。
【难度系数】
0.9
19. (8分)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$.
(1)尺规作图:在边AB上作一点P,使点P到点B,C的距离相等(保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)的条件下,当点P到直线BC,AC的距离也相等时,则$∠ B$的度数为________°.
(1)尺规作图:在边AB上作一点P,使点P到点B,C的距离相等(保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)的条件下,当点P到直线BC,AC的距离也相等时,则$∠ B$的度数为________°.
答案
19. (1) 如图,点P即为所求
(2) 30解析
【分析】
(1) 要找到AB上到B、C两点距离相等的点P，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需作出线段BC的垂直平分线，它与AB的交点就是所求的点P。
(2) 已知点P到AC、BC的距离相等，根据角平分线的判定定理可知CP平分∠ACB，即∠ACP=∠BCP；再结合PB=PC可得∠B=∠BCP，由此可推出∠ACB=2∠B，最后结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 依据线段垂直平分线的性质，作BC的垂直平分线，该线与AB的交点即为点P，作图结果如图所示。
(2)
∵点P到直线AC、BC的距离相等，
∴CP平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ACP=∠BCP。
又
∵PB=PC，
∴∠B=∠BCP（等边对等角），
∴∠ACP=∠BCP=∠B，即∠ACB=2∠B。
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），
将∠ACB=2∠B代入得：∠B + 2∠B = 90°，
解得∠B=30°。
【答案】
(1) 如图,点P即为所求
(2) 30
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何性质计算结合，考查了基础几何定理的理解与应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的相关性质，能够通过边角关系建立等式求解角度。
【难度系数】
0.7
(1) 要找到AB上到B、C两点距离相等的点P，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需作出线段BC的垂直平分线，它与AB的交点就是所求的点P。
(2) 已知点P到AC、BC的距离相等，根据角平分线的判定定理可知CP平分∠ACB，即∠ACP=∠BCP；再结合PB=PC可得∠B=∠BCP，由此可推出∠ACB=2∠B，最后结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 依据线段垂直平分线的性质，作BC的垂直平分线，该线与AB的交点即为点P，作图结果如图所示。
(2)
∵点P到直线AC、BC的距离相等，
∴CP平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ACP=∠BCP。
又
∵PB=PC，
∴∠B=∠BCP（等边对等角），
∴∠ACP=∠BCP=∠B，即∠ACB=2∠B。
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°（直角三角形两锐角互余），
将∠ACB=2∠B代入得：∠B + 2∠B = 90°，
解得∠B=30°。
【答案】
(1) 如图,点P即为所求
(2) 30
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与几何性质计算结合，考查了基础几何定理的理解与应用，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的相关性质，能够通过边角关系建立等式求解角度。
【难度系数】
0.7
20. (8 分)已知一次函数$y=kx-3$的图象经过点$(1,-2)$.
(1) 求这个一次函数的表达式.
(2) 点$(2,-1)$是否在此函数的图象上？说明理由.
(3) 当$x$为何值时，$y≤0$？
(1) 求这个一次函数的表达式.
(2) 点$(2,-1)$是否在此函数的图象上？说明理由.
(3) 当$x$为何值时，$y≤0$？
答案
20. (1) $y=x-3$ (2) 在,证明略 (3) $x≤3$
解析
【分析】
(1) 要确定一次函数的表达式，可使用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，求解未知系数k即可得到完整的表达式；
(2) 判断点是否在函数图象上，只需将该点的横坐标代入函数表达式，计算出对应的y值，与点的纵坐标对比，若二者相等则点在图象上，反之不在；
(3) 要求y≤0时x的取值，只需将得到的函数表达式代入不等式，解一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$(1,-2)$代入一次函数$y=kx-3$，可得：
$-2 = k×1 - 3$
解得$k=1$，
因此这个一次函数的表达式为$y=x-3$。
(2) 点$(2,-1)$在此函数的图象上，理由如下：
把$x=2$代入$y=x-3$，计算得$y=2-3=-1$，
计算结果与点$(2,-1)$的纵坐标相等，因此该点在此函数的图象上。
(3) 令$y≤0$，代入表达式可得：
$x-3≤0$
解不等式得$x≤3$，即当$x≤3$时，$y≤0$。
【答案】
(1) $y=x-3$
(2) 在
(3) $x≤3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础题型，考查一次函数的核心基础应用，熟练掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定一次函数的表达式，可使用待定系数法，将已知点的坐标代入函数解析式，求解未知系数k即可得到完整的表达式；
(2) 判断点是否在函数图象上，只需将该点的横坐标代入函数表达式，计算出对应的y值，与点的纵坐标对比，若二者相等则点在图象上，反之不在；
(3) 要求y≤0时x的取值，只需将得到的函数表达式代入不等式，解一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$(1,-2)$代入一次函数$y=kx-3$，可得：
$-2 = k×1 - 3$
解得$k=1$，
因此这个一次函数的表达式为$y=x-3$。
(2) 点$(2,-1)$在此函数的图象上，理由如下：
把$x=2$代入$y=x-3$，计算得$y=2-3=-1$，
计算结果与点$(2,-1)$的纵坐标相等，因此该点在此函数的图象上。
(3) 令$y≤0$，代入表达式可得：
$x-3≤0$
解不等式得$x≤3$，即当$x≤3$时，$y≤0$。
【答案】
(1) $y=x-3$
(2) 在
(3) $x≤3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数的基础题型，考查一次函数的核心基础应用，熟练掌握相关基础知识点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
21. (8分)如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度 $DE =5\ \mathrm{cm}$，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度 $BF=7\ \mathrm{cm}$，且与摆锤在最低点时的水平距离为 $BC=10\ \mathrm{cm}$.
（1）如图②，$CD=$
（2）求钟摆 $AD$ 的长度.
（1）如图②，$CD=$
$2$
$\mathrm{cm}$；（2）求钟摆 $AD$ 的长度.
答案
21. (1) 2 (2) 设$AB=x$ cm,依题意得,$BC=10$ cm,$AC=AD-CD=(x-2)$ cm,$\because ∠ACB=90°,\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,即$(x-2)^2+10^2=x^2$,解得$x=26$. $\therefore$ 钟摆$AD$的长26 cm
解析
【分析】
（1）要求CD的长度，观察图形可知CE和BF均为最高点摆锤到底座的垂直高度，二者相等，CD为CE与DE的差，代入数值计算即可。
（2）钟摆摆动过程中长度不变，因此AB=AD，可设AD长度为x cm，用含x的式子表示出AC的长度，再在Rt△ACB中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意可知BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，因此四边形BCEF是矩形，可得CE=BF=7cm。
已知DE=5cm，所以$CD=CE-DE=7-5=2\ \mathrm{cm}$。
（2）设钟摆AD的长度为x cm，因为摆长不变，所以$AB=AD=x\ \mathrm{cm}$，$AC=AD-CD=(x-2)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACB中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$
代入数值得：$(x-2)^2+10^2=x^2$
展开计算：$x^2-4x+4+100=x^2$
移项化简得：$-4x=-104$
解得：$x=26$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{26\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的摆钟场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是抓住摆长不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过建立方程求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求CD的长度，观察图形可知CE和BF均为最高点摆锤到底座的垂直高度，二者相等，CD为CE与DE的差，代入数值计算即可。
（2）钟摆摆动过程中长度不变，因此AB=AD，可设AD长度为x cm，用含x的式子表示出AC的长度，再在Rt△ACB中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意可知BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，因此四边形BCEF是矩形，可得CE=BF=7cm。
已知DE=5cm，所以$CD=CE-DE=7-5=2\ \mathrm{cm}$。
（2）设钟摆AD的长度为x cm，因为摆长不变，所以$AB=AD=x\ \mathrm{cm}$，$AC=AD-CD=(x-2)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACB中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理可得：$AC^2+BC^2=AB^2$
代入数值得：$(x-2)^2+10^2=x^2$
展开计算：$x^2-4x+4+100=x^2$
移项化简得：$-4x=-104$
解得：$x=26$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{26\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的摆钟场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是抓住摆长不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过建立方程求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
