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22.（8分）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是边$AB$上一点，过点$D$作$DE⊥ BC$，垂足为$E$，交$CA$的延长线于点$F$.（1）求证：$AD=AF$.（2）若$∠ B=2∠ F$，$BE=2$，$CF=16$，求$BC$的长.
答案
22. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C. \because DE⊥ BC,\therefore ∠FEC=∠DEB=90°. \therefore ∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°. \therefore ∠BDE=∠F. \because ∠BDE=∠ADF,\therefore ∠ADF=∠F. \therefore AF=AD$ (2) $\because ∠B=2∠F,∠B=∠C,\therefore ∠C=2∠F. \because ∠C+∠F=90°,\therefore ∠F=30°. \because ∠FEC=90°,CF=16,\therefore CE=\frac{1}{2}CF=8. \because BE=2,\therefore BC=BE+CE=8+2=10$
解析
【分析】
（1）要证$AD=AF$，可通过证明$∠ADF=∠F$，利用等角对等边推导。首先由$AB=AC$得等腰$△ ABC$底角$∠B=∠C$，再结合$DE⊥BC$得到的直角，利用同角的余角相等推出$∠BDE=∠F$，结合对顶角$∠BDE=∠ADF$，即可得到$∠ADF=∠F$，完成证明。
（2）结合已知$∠B=2∠F$和$∠B=∠C$，再利用$Rt△ FEC$中两锐角互余的性质，可求出$∠F=30°$，根据含$30°$角的直角三角形的边长关系求出$CE$的长度，与$BE$求和即可得到$BC$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\because DE⊥ BC,\therefore ∠FEC=∠DEB=90°$。
$\therefore ∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°$。
$\therefore ∠BDE=∠F$。
$\because ∠BDE=∠ADF,\therefore ∠ADF=∠F$。
$\therefore AF=AD$。
(2) 解：$\because ∠B=2∠F,∠B=∠C,\therefore ∠C=2∠F$。
$\because ∠C+∠F=90°,\therefore 3∠F=90°$，解得$∠F=30°$。
$\because ∠FEC=90°,CF=16,\therefore CE=\frac{1}{2}CF=8$。
$\because BE=2,\therefore BC=BE+CE=2+8=10$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BC=10$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量关系转化推导结论，重点考查等腰三角形、直角三角形相关基础定理的应用，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
（1）要证$AD=AF$，可通过证明$∠ADF=∠F$，利用等角对等边推导。首先由$AB=AC$得等腰$△ ABC$底角$∠B=∠C$，再结合$DE⊥BC$得到的直角，利用同角的余角相等推出$∠BDE=∠F$，结合对顶角$∠BDE=∠ADF$，即可得到$∠ADF=∠F$，完成证明。
（2）结合已知$∠B=2∠F$和$∠B=∠C$，再利用$Rt△ FEC$中两锐角互余的性质，可求出$∠F=30°$，根据含$30°$角的直角三角形的边长关系求出$CE$的长度，与$BE$求和即可得到$BC$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC,\therefore ∠B=∠C$。
$\because DE⊥ BC,\therefore ∠FEC=∠DEB=90°$。
$\therefore ∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°$。
$\therefore ∠BDE=∠F$。
$\because ∠BDE=∠ADF,\therefore ∠ADF=∠F$。
$\therefore AF=AD$。
(2) 解：$\because ∠B=2∠F,∠B=∠C,\therefore ∠C=2∠F$。
$\because ∠C+∠F=90°,\therefore 3∠F=90°$，解得$∠F=30°$。
$\because ∠FEC=90°,CF=16,\therefore CE=\frac{1}{2}CF=8$。
$\because BE=2,\therefore BC=BE+CE=2+8=10$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BC=10$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量关系转化推导结论，重点考查等腰三角形、直角三角形相关基础定理的应用，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
23. (10分)某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元.该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
(1) 求y关于x的函数表达式.
(2) 该公司购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
(3) 实际进货时，厂家将A型电脑的进货价下调$a(0＜a＜200)$元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货，这100台电脑的销售利润不变，则a的值为
(1) 求y关于x的函数表达式.
(2) 该公司购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
(3) 实际进货时，厂家将A型电脑的进货价下调$a(0＜a＜200)$元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货，这100台电脑的销售利润不变，则a的值为
$100$
.答案
23. (1) 根据题意,$y=400x+500(100-x)=-100x+50\ 000$ (2) $\because 100-x≤3x,\therefore x≥25. \because k=-100＜0,\therefore y$随$x$的增大而减小,$\therefore$ 当$x=25$时,$y$取得最大值,最大值为47 500.答:该商店购进A型25台、B型电脑75台,才能使销售总利润最大,最大利润是47 500元 (3) 100
解析
【分析】
（1）要求总利润y关于x的函数表达式，可根据“总利润=A型电脑总利润+B型电脑总利润”的等量关系列式：已知A型x台，每台利润400元，B型共(100-x)台，每台利润500元，代入化简即可得到函数式。
（2）首先根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，判断x取何值时y最大，代入计算即可得到最大利润及对应的进货量。
（3）A型进货价下调a元且售价不变，则A型每台利润变为(400+a)元，重新写出总利润的函数表达式；题目要求无论如何进货利润不变，说明总利润y的取值和x无关，即函数表达式中x的系数为0，列方程求解即可得到a的值。
【解析】
解：（1）根据题意，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，
总利润$y=400x+500(100-x)$
化简得：$y=-100x+50000$
（2）由B型电脑进货量不超过A型电脑的3倍，可得不等式：
$100-x≤ 3x$
解得：$x≥ 25$
在一次函数$y=-100x+50000$中，$k=-100＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x$取最小值25时，$y$取得最大值，
将$x=25$代入函数得：$y=-100× 25+50000=47500$
此时B型电脑进货量为$100-25=75$（台）
（3）A型电脑进货价下调$a$元后，每台利润变为$(400+a)$元，
此时总利润$y=(400+a)x+500(100-x)$
整理得：$y=(a-100)x+50000$
∵无论如何进货总利润不变，即$y$的取值与$x$无关，
∴$x$的系数为0，即$a-100=0$
解得：$a=100$
【答案】
（1）$y=-100x+50000$
（2）购进A型电脑25台、B型电脑75台时销售总利润最大，最大利润是47500元
（3）$\boxed{100}$
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，结合了不等式求自变量取值范围、一次函数增减性求最值的考点，第三问侧重考查对一次函数性质的深度理解，即当一次项系数为0时，函数值与自变量无关，整体难度适中，能较好地考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）要求总利润y关于x的函数表达式，可根据“总利润=A型电脑总利润+B型电脑总利润”的等量关系列式：已知A型x台，每台利润400元，B型共(100-x)台，每台利润500元，代入化简即可得到函数式。
（2）首先根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式，求出x的取值范围；再结合一次函数的增减性，判断x取何值时y最大，代入计算即可得到最大利润及对应的进货量。
（3）A型进货价下调a元且售价不变，则A型每台利润变为(400+a)元，重新写出总利润的函数表达式；题目要求无论如何进货利润不变，说明总利润y的取值和x无关，即函数表达式中x的系数为0，列方程求解即可得到a的值。
【解析】
解：（1）根据题意，购进A型电脑x台，则购进B型电脑$(100-x)$台，
总利润$y=400x+500(100-x)$
化简得：$y=-100x+50000$
（2）由B型电脑进货量不超过A型电脑的3倍，可得不等式：
$100-x≤ 3x$
解得：$x≥ 25$
在一次函数$y=-100x+50000$中，$k=-100＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x$取最小值25时，$y$取得最大值，
将$x=25$代入函数得：$y=-100× 25+50000=47500$
此时B型电脑进货量为$100-25=75$（台）
（3）A型电脑进货价下调$a$元后，每台利润变为$(400+a)$元，
此时总利润$y=(400+a)x+500(100-x)$
整理得：$y=(a-100)x+50000$
∵无论如何进货总利润不变，即$y$的取值与$x$无关，
∴$x$的系数为0，即$a-100=0$
解得：$a=100$
【答案】
（1）$y=-100x+50000$
（2）购进A型电脑25台、B型电脑75台时销售总利润最大，最大利润是47500元
（3）$\boxed{100}$
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数实际应用的典型题型，结合了不等式求自变量取值范围、一次函数增减性求最值的考点，第三问侧重考查对一次函数性质的深度理解，即当一次项系数为0时，函数值与自变量无关，整体难度适中，能较好地考查学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
24. (10分)对于一个函数,如果存在当自变量取值为m时,其对应的函数值也为m,那么我们称该函数为“稳定函数”,点$(m,m)$为该函数图象上的一个“稳定点”.例如:在函数$y=2x+1$中,当$x=-1$时,$y=-1$,我们称函数$y=2x+1$为“稳定函数”,点$(-1,-1)$为该函数图象上的一个“稳定点”.
(1) 以下关于“稳定函数”的结论中,正确的序号是
① $y=x+2$不是“稳定函数”;
② $y=-3x+2$是“稳定函数”,只有一个“稳定点”;
③ $y=x$是“稳定函数”,有无数个“稳定点”.
(2) 若“稳定函数”$y=mx+n$的图象上的一个“稳定点”为$(3,n-1)$,求$m,n$的值;
(3) 已知一次函数$y=kx-3(k≠0)$不是“稳定函数”,图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.若点$P$为$x$轴上一个动点,使得$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,直接写出满足条件的点$P$坐标.
(1) 以下关于“稳定函数”的结论中,正确的序号是
①②③
;① $y=x+2$不是“稳定函数”;
② $y=-3x+2$是“稳定函数”,只有一个“稳定点”;
③ $y=x$是“稳定函数”,有无数个“稳定点”.
(2) 若“稳定函数”$y=mx+n$的图象上的一个“稳定点”为$(3,n-1)$,求$m,n$的值;
(3) 已知一次函数$y=kx-3(k≠0)$不是“稳定函数”,图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.若点$P$为$x$轴上一个动点,使得$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,直接写出满足条件的点$P$坐标.
答案
24. (1) ①②③ (2) $\because$ 一次函数$y=mx+n$的“稳定点”为$(3,n-1),\therefore n-1=3,\therefore n=4,\therefore$ “稳定点”为$(3,3),\therefore 3=3m+4$,解得$m=-\frac{1}{3}$ (3) $P(-6,0)$或$P(12,0)$
解析
【分析】
本题围绕“稳定函数”新定义展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“稳定函数”定义，判断函数是否为稳定函数只需令$y=x$，看所得方程是否有解，解的个数就是稳定点的个数，逐个验证三个结论即可。
2. 第(2)问：稳定点的横、纵坐标相等，因此先由稳定点$(3,n-1)$得$n-1=3$求出$n$，再将稳定点坐标代入一次函数解析式即可求出$m$。
3. 第(3)问：首先由函数不是稳定函数，可知方程$kx-3=x$无解，据此求出$k$的值得到一次函数解析式；再求出函数与坐标轴交点$A$、$B$的坐标，计算$△ ABO$的面积；设$P(x,0)$，根据面积等量关系列方程，注意$AP$长度带绝对值，求解即可得到$P$的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 逐个验证结论：
① 对$y=x+2$，令$y=x$得$x=x+2$，化简得$0=2$，方程无解，故$y=x+2$不是“稳定函数”，①正确；
② 对$y=-3x+2$，令$y=x$得$x=-3x+2$，解得$x=\frac{1}{2}$，方程有唯一解，故该函数是“稳定函数”，仅1个稳定点，②正确；
③ 对$y=x$，令$y=x$等式恒成立，所有点均为稳定点，有无数个，③正确。
(2) $\because$ 点$(3,n-1)$是$y=mx+n$的稳定点，稳定点横纵坐标相等
$\therefore n-1=3$，解得$n=4$，即稳定点为$(3,3)$
将$(3,3)$代入$y=mx+4$得：$3=3m+4$，解得$m=-\frac{1}{3}$
(3) $\because y=kx-3(k≠0)$不是稳定函数，$\therefore$ 方程$kx-3=x$无解
整理得$(k-1)x=3$，当$k-1=0$即$k=1$时方程无解，符合题意
$\therefore$ 一次函数解析式为$y=x-3$
令$y=0$得$x=3$，即$A(3,0)$；令$x=0$得$y=-3$，即$B(0,-3)$
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$
设$P(x,0)$，则$AP=|x-3|$，$△ ABP$中$AP$边上的高为点$B$到$x$轴的距离$3$
由$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$得：$\frac{1}{2}×|x-3|×3=3×\frac{9}{2}$
化简得$|x-3|=9$，解得$x=12$或$x=-6$
【答案】
(1) $\boxed{①②③}$
(2) $\boxed{m=-\dfrac{1}{3},n=4}$
(3) $\boxed{(-6,0)}$或$\boxed{(12,0)}$
【知识点】
新定义运算，一次函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义为载体考查一次函数相关知识，解题关键是将新定义问题转化为常规方程求解问题，第三问涉及动点，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕“稳定函数”新定义展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“稳定函数”定义，判断函数是否为稳定函数只需令$y=x$，看所得方程是否有解，解的个数就是稳定点的个数，逐个验证三个结论即可。
2. 第(2)问：稳定点的横、纵坐标相等，因此先由稳定点$(3,n-1)$得$n-1=3$求出$n$，再将稳定点坐标代入一次函数解析式即可求出$m$。
3. 第(3)问：首先由函数不是稳定函数，可知方程$kx-3=x$无解，据此求出$k$的值得到一次函数解析式；再求出函数与坐标轴交点$A$、$B$的坐标，计算$△ ABO$的面积；设$P(x,0)$，根据面积等量关系列方程，注意$AP$长度带绝对值，求解即可得到$P$的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 逐个验证结论：
① 对$y=x+2$，令$y=x$得$x=x+2$，化简得$0=2$，方程无解，故$y=x+2$不是“稳定函数”，①正确；
② 对$y=-3x+2$，令$y=x$得$x=-3x+2$，解得$x=\frac{1}{2}$，方程有唯一解，故该函数是“稳定函数”，仅1个稳定点，②正确；
③ 对$y=x$，令$y=x$等式恒成立，所有点均为稳定点，有无数个，③正确。
(2) $\because$ 点$(3,n-1)$是$y=mx+n$的稳定点，稳定点横纵坐标相等
$\therefore n-1=3$，解得$n=4$，即稳定点为$(3,3)$
将$(3,3)$代入$y=mx+4$得：$3=3m+4$，解得$m=-\frac{1}{3}$
(3) $\because y=kx-3(k≠0)$不是稳定函数，$\therefore$ 方程$kx-3=x$无解
整理得$(k-1)x=3$，当$k-1=0$即$k=1$时方程无解，符合题意
$\therefore$ 一次函数解析式为$y=x-3$
令$y=0$得$x=3$，即$A(3,0)$；令$x=0$得$y=-3$，即$B(0,-3)$
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$
设$P(x,0)$，则$AP=|x-3|$，$△ ABP$中$AP$边上的高为点$B$到$x$轴的距离$3$
由$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$得：$\frac{1}{2}×|x-3|×3=3×\frac{9}{2}$
化简得$|x-3|=9$，解得$x=12$或$x=-6$
【答案】
(1) $\boxed{①②③}$
(2) $\boxed{m=-\dfrac{1}{3},n=4}$
(3) $\boxed{(-6,0)}$或$\boxed{(12,0)}$
【知识点】
新定义运算，一次函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题以新定义为载体考查一次函数相关知识，解题关键是将新定义问题转化为常规方程求解问题，第三问涉及动点，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
