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25.（12分）甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y m与挖掘时间x h之间关系的部分图象.请解答下列问题：
（1）在前2 h的挖掘中，甲队的挖掘速度为
（2）①当$2≤ x≤ 6$时，求乙队挖掘隧道长度$y_乙$关于x的函数表达式；
②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6 h后，施工速度增加到12 m/h，那么两队同时完成了任务，求甲队从开挖到完工所挖隧道的总长度.
（1）在前2 h的挖掘中，甲队的挖掘速度为
$10$
m/h，乙队的挖掘速度为$15$
m/h.（2）①当$2≤ x≤ 6$时，求乙队挖掘隧道长度$y_乙$关于x的函数表达式；
②开挖几小时后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6 h后，施工速度增加到12 m/h，那么两队同时完成了任务，求甲队从开挖到完工所挖隧道的总长度.
答案
25. (1) 10 15 (2) ① $y_乙=5x+20$ ② 4 h (3) 110 m
解析
【分析】
（1）求前2h的挖掘速度，根据“速度=挖掘长度÷挖掘时间”，提取图像中对应数据计算即可：甲队全程速度不变，6h共挖掘60m，直接计算可得速度；乙队前2h挖掘长度为30m，除以时间即可得前2h的速度。
（2）①当$2≤x≤6$时，乙队的挖掘长度和时间满足一次函数关系，已知图像过点$(2,30)$和$(6,50)$，用待定系数法设函数解析式，代入两点坐标解方程组即可得到结果；②先求出甲队挖掘长度关于时间的函数表达式，再令甲的挖掘长度大于乙的，列一元一次不等式求解，即可得到甲超过乙的时间。
（3）设甲队总施工时长为$t$小时，根据甲的速度可表示总长度；乙队前6h挖掘了50m，6h后速度变为12m/h，剩余施工时长为$(t-6)$h，结合两队挖掘总长度相等列方程，求解后计算总长度即可。
【解析】
（1）甲队挖掘速度：$\frac{60}{6}=10\ \mathrm{m/h}$；
乙队前2h挖掘速度：$\frac{30}{2}=15\ \mathrm{m/h}$。
（2）①设当$2≤x≤6$时，$y_乙=kx+b$，
将$(2,30)$、$(6,50)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=30 \\6k+b=50 \end{cases}$
两式相减得$4k=20$，解得$k=5$，
将$k=5$代入$2k+b=30$，得$b=20$，
∴$y_乙=5x+20（2≤x≤6）$。
②甲队的函数解析式为$y_甲=10x$，
令$y_甲＞y_乙$，即$10x＞5x+20$，
解得$x＞4$，即开挖4h后甲队长度超过乙队。
（3）设甲队从开挖到完工共施工$t$小时，甲的总挖掘长度为$10t\ \mathrm{m}$，
乙队6h后剩余施工时长为$(t-6)$h，总挖掘长度为$50+12(t-6)\ \mathrm{m}$，
由两队总长度相等列方程：
$10t=50+12(t-6)$
解得$t=11$，
总长度为$10×11=110\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；$\boxed{15}$
(2) ① $\boxed{y_乙=5x+20（2≤x≤6）}$；② $\boxed{4\ \mathrm{h}}$
(3) $\boxed{110\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合工程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂图像信息，结合工作量、时间、速度的基本数量关系列式求解，注重考查数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.65
（1）求前2h的挖掘速度，根据“速度=挖掘长度÷挖掘时间”，提取图像中对应数据计算即可：甲队全程速度不变，6h共挖掘60m，直接计算可得速度；乙队前2h挖掘长度为30m，除以时间即可得前2h的速度。
（2）①当$2≤x≤6$时，乙队的挖掘长度和时间满足一次函数关系，已知图像过点$(2,30)$和$(6,50)$，用待定系数法设函数解析式，代入两点坐标解方程组即可得到结果；②先求出甲队挖掘长度关于时间的函数表达式，再令甲的挖掘长度大于乙的，列一元一次不等式求解，即可得到甲超过乙的时间。
（3）设甲队总施工时长为$t$小时，根据甲的速度可表示总长度；乙队前6h挖掘了50m，6h后速度变为12m/h，剩余施工时长为$(t-6)$h，结合两队挖掘总长度相等列方程，求解后计算总长度即可。
【解析】
（1）甲队挖掘速度：$\frac{60}{6}=10\ \mathrm{m/h}$；
乙队前2h挖掘速度：$\frac{30}{2}=15\ \mathrm{m/h}$。
（2）①设当$2≤x≤6$时，$y_乙=kx+b$，
将$(2,30)$、$(6,50)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k+b=30 \\6k+b=50 \end{cases}$
两式相减得$4k=20$，解得$k=5$，
将$k=5$代入$2k+b=30$，得$b=20$，
∴$y_乙=5x+20（2≤x≤6）$。
②甲队的函数解析式为$y_甲=10x$，
令$y_甲＞y_乙$，即$10x＞5x+20$，
解得$x＞4$，即开挖4h后甲队长度超过乙队。
（3）设甲队从开挖到完工共施工$t$小时，甲的总挖掘长度为$10t\ \mathrm{m}$，
乙队6h后剩余施工时长为$(t-6)$h，总挖掘长度为$50+12(t-6)\ \mathrm{m}$，
由两队总长度相等列方程：
$10t=50+12(t-6)$
解得$t=11$，
总长度为$10×11=110\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；$\boxed{15}$
(2) ① $\boxed{y_乙=5x+20（2≤x≤6）}$；② $\boxed{4\ \mathrm{h}}$
(3) $\boxed{110\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合工程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂图像信息，结合工作量、时间、速度的基本数量关系列式求解，注重考查数形结合思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.65
26. (12分)(1) 问题:如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为边$BC$上一点(不与点$B$,$C$重合),将线段$AD$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$AE$,连接$EC$,则线段$BC$,$DC$,$EC$之间满足的等量关系为
(2) 探索:如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,将$△ ADE$绕点$A$旋转,使点$D$落在边$BC$上,试探索线段$AD$,$BD$,$CD$之间满足的等量关系,并证明结论.
(3) 应用:如图③,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45°$.若$BD=12$,$CD=4$,求$AD$的长.
$BC=DC+EC$
.(2) 探索:如图②,在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,将$△ ADE$绕点$A$旋转,使点$D$落在边$BC$上,试探索线段$AD$,$BD$,$CD$之间满足的等量关系,并证明结论.
(3) 应用:如图③,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45°$.若$BD=12$,$CD=4$,求$AD$的长.
答案
26. (1) $BC=DC+EC$ (2) $BD^2+CD^2=2AD^2$ (3) 8
解析
【分析】
(1) 首先根据旋转性质得到AD=AE、∠DAE=90°，结合等腰Rt△ABC的∠BAC=90°、AB=AC，可推出∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE得到BD=EC，结合BC=BD+DC即可推导三者的等量关系。
(2) 同(1)先证△BAD≌△CAE，得BD=CE、∠B=∠ACE=45°，进而推出∠DCE=90°，在Rt△DCE中用勾股定理得到CE²+CD²=DE²，再结合等腰Rt△ADE中DE²=2AD²，替换CE为BD即可得到三者关系。
(3) 先由∠ABC=∠ACB=45°推出△ABC是等腰直角三角形，将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE、DE，类比前两问的思路证△BAD≌△CAE，得BD=CE，再推出∠EDC=90°，用勾股定理求出DE的长度，最后结合等腰Rt△ADE的边的关系求出AD即可。
【解析】
(1)
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC，
∵BC=BD+DC，
∴BC=DC+EC。
(2) 结论：$\boldsymbol{BD^2+CD^2=2AD^2}$，证明如下：
同理(1)可证△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，△DCE为直角三角形，
由勾股定理得：$CE^2+CD^2=DE^2$，即$BD^2+CD^2=DE^2$，
∵Rt△ADE中AD=AE，∠DAE=90°，
∴$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，
∴$BD^2+CD^2=2AD^2$。
(3) 过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE、DE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=12，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
又
∵∠ADC=45°，
∴∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°，△CDE为直角三角形，
由勾股定理得：$DE^2=CE^2-CD^2=12^2-4^2=128$，
∵Rt△ADE中$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，
∴$2AD^2=128$，即$AD^2=64$，
∵AD＞0，
∴AD=8。
【答案】
(1) $BC=DC+EC$；(2) $BD^2+CD^2=2AD^2$；(3) $8$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类综合题，遵循由特殊到一般的探究逻辑，前两问的全等证明思路可直接迁移到第三问的辅助线构造中，解题核心是通过旋转构造全等三角形实现线段的等量转化，再结合勾股定理求解，对几何逻辑推理能力和知识迁移能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
(1) 首先根据旋转性质得到AD=AE、∠DAE=90°，结合等腰Rt△ABC的∠BAC=90°、AB=AC，可推出∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE得到BD=EC，结合BC=BD+DC即可推导三者的等量关系。
(2) 同(1)先证△BAD≌△CAE，得BD=CE、∠B=∠ACE=45°，进而推出∠DCE=90°，在Rt△DCE中用勾股定理得到CE²+CD²=DE²，再结合等腰Rt△ADE中DE²=2AD²，替换CE为BD即可得到三者关系。
(3) 先由∠ABC=∠ACB=45°推出△ABC是等腰直角三角形，将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE、DE，类比前两问的思路证△BAD≌△CAE，得BD=CE，再推出∠EDC=90°，用勾股定理求出DE的长度，最后结合等腰Rt△ADE的边的关系求出AD即可。
【解析】
(1)
∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∵Rt△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DAE，即∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC，
∵BC=BD+DC，
∴BC=DC+EC。
(2) 结论：$\boldsymbol{BD^2+CD^2=2AD^2}$，证明如下：
同理(1)可证△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°，△DCE为直角三角形，
由勾股定理得：$CE^2+CD^2=DE^2$，即$BD^2+CD^2=DE^2$，
∵Rt△ADE中AD=AE，∠DAE=90°，
∴$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，
∴$BD^2+CD^2=2AD^2$。
(3) 过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE、DE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=12，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
又
∵∠ADC=45°，
∴∠EDC=∠ADE+∠ADC=90°，△CDE为直角三角形，
由勾股定理得：$DE^2=CE^2-CD^2=12^2-4^2=128$，
∵Rt△ADE中$DE^2=AD^2+AE^2=2AD^2$，
∴$2AD^2=128$，即$AD^2=64$，
∵AD＞0，
∴AD=8。
【答案】
(1) $BC=DC+EC$；(2) $BD^2+CD^2=2AD^2$；(3) $8$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类综合题，遵循由特殊到一般的探究逻辑，前两问的全等证明思路可直接迁移到第三问的辅助线构造中，解题核心是通过旋转构造全等三角形实现线段的等量转化，再结合勾股定理求解，对几何逻辑推理能力和知识迁移能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
