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27. (14分)【发现问题】
因为$(a-b)^2≥0$，所以$a^2+b^2≥2ab$.由此可得:若$a＞0,b＞0$,则有不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时取等号.
【提出问题】
若$a＞0,b＞0$,能否求出$a+b$的最小值呢?
【分析问题】
例:已知$x＞0$,求式子$x+\frac{4}{x}$的最小值.
解:令$a=x,b=\frac{4}{x}$,由$a+b≥2\sqrt{ab}$,得$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x·\frac{4}{x}}=4$.当且仅当$x=\frac{4}{x}$,即$x=2$时,式子有最小值,最小值为4.
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题:
(1) 比较大小:$2+3\_\_\_\_\_\_2\sqrt{2×3}$;当$x＞0$时,式子$x+\frac{1}{x}$的最小值为
【能力提升】
(2) 如图①,用篱笆围一个面积为$32\ \mathrm{m}^2$的长方形花园,该长方形花园的一边靠墙,墙长20 m,该长方形花园的长、宽各为多少米时,所用的篱笆最短?最短的篱笆是多少?
(3) 如图②,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$△ AOB,△ COD$的面积分别是8和14,求四边形ABCD面积的最小值.
因为$(a-b)^2≥0$，所以$a^2+b^2≥2ab$.由此可得:若$a＞0,b＞0$,则有不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时取等号.
【提出问题】
若$a＞0,b＞0$,能否求出$a+b$的最小值呢?
【分析问题】
例:已知$x＞0$,求式子$x+\frac{4}{x}$的最小值.
解:令$a=x,b=\frac{4}{x}$,由$a+b≥2\sqrt{ab}$,得$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x·\frac{4}{x}}=4$.当且仅当$x=\frac{4}{x}$,即$x=2$时,式子有最小值,最小值为4.
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题:
(1) 比较大小:$2+3\_\_\_\_\_\_2\sqrt{2×3}$;当$x＞0$时,式子$x+\frac{1}{x}$的最小值为
$2$
.【能力提升】
(2) 如图①,用篱笆围一个面积为$32\ \mathrm{m}^2$的长方形花园,该长方形花园的一边靠墙,墙长20 m,该长方形花园的长、宽各为多少米时,所用的篱笆最短?最短的篱笆是多少?
(3) 如图②,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$△ AOB,△ COD$的面积分别是8和14,求四边形ABCD面积的最小值.
答案
27. (1) $＞$ 2 (2) 设这个长方形花园靠墙的一边的长为$x$ m,另一边为$y$ m. 根据题意得$xy=32$,$\therefore y=\frac{32}{x}$,$\therefore$ 篱笆长为$\frac{32}{x}·2+x=(\frac{64}{x}+x)$ m. 根据材料,得$\frac{64}{x}+x≥2\sqrt{\frac{64}{x}·x}$,当且仅当$\frac{64}{x}=x$,即$x=8$时取等号,$\therefore y=\frac{32}{x}=\frac{32}{8}=4(\mathrm{m})$,$\frac{64}{x}+x=8+8=16(\mathrm{m}). \therefore$ 当长、宽分别为8 m,4 m时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是16 m (3) 设$S_{△BOC}=x$,已知$S_{△AOB}=8,S_{△COD}=14$,则由等高三角形可知:$S_{△BOC}:S_{△COD}=BO:OD=S_{△AOB}:S_{△AOD}$,$\therefore x:14=8:S_{△AOD}$,$\therefore S_{△AOD}=\frac{112}{x}$,$\therefore S_{四边形ABCD}=8+14+x+\frac{112}{x}≥22+2\sqrt{x·\frac{112}{x}}=22+2\sqrt{112}$,当且仅当$x=\frac{112}{x}$,即$x=\sqrt{112}$时,取等号. $\therefore$ 四边形ABCD面积的最小值为$22+2\sqrt{112}$
解析
【分析】
1. 第(1)题：第一空可直接计算两边数值比较，也可利用题干给出的$a+b≥2\sqrt{ab}$（$a＞0,b＞0$，$a≠b$时取大于号）直接判断；第二空参照例题方法，令$a=x,b=\frac{1}{x}$，代入给定不等式即可求得最小值。
2. 第(2)题：先设长方形靠墙边长为$x\ \mathrm{m}$，另一边长为$y\ \mathrm{m}$，根据面积公式得到$xy=32$，再结合篱笆的围法写出总长的表达式，将$y=\frac{32}{x}$代入得到仅含$x$的代数式，再利用题干不等式求最值，同时验证$x$符合墙长限制即可。
3. 第(3)题：利用“等高三角形的面积比等于对应底的比”的性质，得到$△BOC$和$△AOD$的面积关系，设$S_{△BOC}=x$，表示出$S_{△AOD}$，再将四边形总面积整理为四个三角形面积之和，构造出可套用均值不等式的代数式，进而求得最小值。
【解析】
(1) 计算得左边$2+3=5$，右边$2\sqrt{2×3}=2\sqrt{6}\approx4.90＜5$，故填$＞$；
当$x＞0$时，由$a+b≥2\sqrt{ab}$，令$a=x,b=\frac{1}{x}$，则$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$即$x=1$时取等号，因此最小值为2。
(2) 设这个长方形花园靠墙的一边的长为$x\ \mathrm{m}$，另一边为$y\ \mathrm{m}$。
根据题意得$xy=32$，$\therefore y=\frac{32}{x}$，篱笆总长为$2y+x=2×\frac{32}{x}+x=\frac{64}{x}+x\ \mathrm{m}$。
根据题干结论，$\frac{64}{x}+x≥2\sqrt{\frac{64}{x}·x}=16$，当且仅当$\frac{64}{x}=x$，即$x=8$（长度为正，舍去负解）时取等号，此时$x=8＜20$，符合墙长限制。
代入得$y=\frac{32}{8}=4\ \mathrm{m}$，最短篱笆长为16m。
(3) 设$S_{△BOC}=x$，已知$S_{△AOB}=8$，$S_{△COD}=14$。
$△BOC$和$△COD$等高，面积比等于底的比，即$S_{△BOC}:S_{△COD}=BO:OD$；同理$△AOB$和$△AOD$等高，故$S_{△AOB}:S_{△AOD}=BO:OD$。
因此可得$x:14=8:S_{△AOD}$，解得$S_{△AOD}=\frac{112}{x}$。
则四边形ABCD的面积为$S=8+14+x+\frac{112}{x}=22+x+\frac{112}{x}$。
根据题干结论，$x+\frac{112}{x}≥2\sqrt{x·\frac{112}{x}}=2\sqrt{112}$，当且仅当$x=\frac{112}{x}$即$x=\sqrt{112}$时取等号。
因此四边形ABCD面积的最小值为$22+2\sqrt{112}$。
【答案】
(1) $＞$；2
(2) 当长为8m、宽为4m时，所用篱笆最短，最短篱笆是16m
(3) $22+2\sqrt{112}$
【知识点】
1. 均值不等式求最值
2. 矩形周长面积应用
3. 等高三角形面积性质
【点评】
本题为新定义应用类题型，先给出均值不等式的基础结论，要求学生理解并灵活运用该结论解决基础计算、实际生活、几何综合三类最值问题，既考察知识迁移应用能力，也考察代数与几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：第一空可直接计算两边数值比较，也可利用题干给出的$a+b≥2\sqrt{ab}$（$a＞0,b＞0$，$a≠b$时取大于号）直接判断；第二空参照例题方法，令$a=x,b=\frac{1}{x}$，代入给定不等式即可求得最小值。
2. 第(2)题：先设长方形靠墙边长为$x\ \mathrm{m}$，另一边长为$y\ \mathrm{m}$，根据面积公式得到$xy=32$，再结合篱笆的围法写出总长的表达式，将$y=\frac{32}{x}$代入得到仅含$x$的代数式，再利用题干不等式求最值，同时验证$x$符合墙长限制即可。
3. 第(3)题：利用“等高三角形的面积比等于对应底的比”的性质，得到$△BOC$和$△AOD$的面积关系，设$S_{△BOC}=x$，表示出$S_{△AOD}$，再将四边形总面积整理为四个三角形面积之和，构造出可套用均值不等式的代数式，进而求得最小值。
【解析】
(1) 计算得左边$2+3=5$，右边$2\sqrt{2×3}=2\sqrt{6}\approx4.90＜5$，故填$＞$；
当$x＞0$时，由$a+b≥2\sqrt{ab}$，令$a=x,b=\frac{1}{x}$，则$x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{x·\frac{1}{x}}=2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$即$x=1$时取等号，因此最小值为2。
(2) 设这个长方形花园靠墙的一边的长为$x\ \mathrm{m}$，另一边为$y\ \mathrm{m}$。
根据题意得$xy=32$，$\therefore y=\frac{32}{x}$，篱笆总长为$2y+x=2×\frac{32}{x}+x=\frac{64}{x}+x\ \mathrm{m}$。
根据题干结论，$\frac{64}{x}+x≥2\sqrt{\frac{64}{x}·x}=16$，当且仅当$\frac{64}{x}=x$，即$x=8$（长度为正，舍去负解）时取等号，此时$x=8＜20$，符合墙长限制。
代入得$y=\frac{32}{8}=4\ \mathrm{m}$，最短篱笆长为16m。
(3) 设$S_{△BOC}=x$，已知$S_{△AOB}=8$，$S_{△COD}=14$。
$△BOC$和$△COD$等高，面积比等于底的比，即$S_{△BOC}:S_{△COD}=BO:OD$；同理$△AOB$和$△AOD$等高，故$S_{△AOB}:S_{△AOD}=BO:OD$。
因此可得$x:14=8:S_{△AOD}$，解得$S_{△AOD}=\frac{112}{x}$。
则四边形ABCD的面积为$S=8+14+x+\frac{112}{x}=22+x+\frac{112}{x}$。
根据题干结论，$x+\frac{112}{x}≥2\sqrt{x·\frac{112}{x}}=2\sqrt{112}$，当且仅当$x=\frac{112}{x}$即$x=\sqrt{112}$时取等号。
因此四边形ABCD面积的最小值为$22+2\sqrt{112}$。
【答案】
(1) $＞$；2
(2) 当长为8m、宽为4m时，所用篱笆最短，最短篱笆是16m
(3) $22+2\sqrt{112}$
【知识点】
1. 均值不等式求最值
2. 矩形周长面积应用
3. 等高三角形面积性质
【点评】
本题为新定义应用类题型，先给出均值不等式的基础结论，要求学生理解并灵活运用该结论解决基础计算、实际生活、几何综合三类最值问题，既考察知识迁移应用能力，也考察代数与几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
