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1. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房。若设该店有客房$x$间，可列的方程为（
A.$7x -7 =9x -1$
B.$7x -7 =9(x -1)$
C.$7x +7 =9x -1$
D.$7x +7 =9(x -1)$
D
）。A.$7x -7 =9x -1$
B.$7x -7 =9(x -1)$
C.$7x +7 =9x -1$
D.$7x +7 =9(x -1)$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题核心是抓住题目中不变的量：客人的总人数。我们可以分别根据两种不同的住宿安排，表示出客人总人数，再利用总人数相等列出方程即可。思考时首先梳理两种住宿场景的数量关系：第一种场景每房住7人，x间房住满后还多7人，总人数应为住下的人数加没住下的人数；第二种场景每房住9人，空1间房，实际使用的房间数比总房间数少1，总人数为每房人数乘实际住人的房间数，最后让两个总人数相等就能得到方程。
【解析】
首先确定等量关系：两种住宿方式下，客人的总人数相等。
1. 根据“一房七客多七客”计算总人数：
共有x间客房，每间住7人，住满x间可住7x人，还多7人无房可住，因此总人数为：$7x + 7$。
2. 根据“一房九客一房空”计算总人数：
空出1间客房，因此实际住人的客房数量为$(x - 1)$间，每间住9人，因此总人数为：$9(x - 1)$。
3. 联立等式列方程：
因为总人数相等，所以$7x + 7 = 9(x - 1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系确定
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查列一元一次方程的能力，解题的关键是准确提取题目中的不变量作为等量关系，再结合题干描述分别表示出对应量即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题核心是抓住题目中不变的量：客人的总人数。我们可以分别根据两种不同的住宿安排，表示出客人总人数，再利用总人数相等列出方程即可。思考时首先梳理两种住宿场景的数量关系：第一种场景每房住7人，x间房住满后还多7人，总人数应为住下的人数加没住下的人数；第二种场景每房住9人，空1间房，实际使用的房间数比总房间数少1，总人数为每房人数乘实际住人的房间数，最后让两个总人数相等就能得到方程。
【解析】
首先确定等量关系：两种住宿方式下，客人的总人数相等。
1. 根据“一房七客多七客”计算总人数：
共有x间客房，每间住7人，住满x间可住7x人，还多7人无房可住，因此总人数为：$7x + 7$。
2. 根据“一房九客一房空”计算总人数：
空出1间客房，因此实际住人的客房数量为$(x - 1)$间，每间住9人，因此总人数为：$9(x - 1)$。
3. 联立等式列方程：
因为总人数相等，所以$7x + 7 = 9(x - 1)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系确定
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查列一元一次方程的能力，解题的关键是准确提取题目中的不变量作为等量关系，再结合题干描述分别表示出对应量即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
2. 我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟八斗，醑酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醑酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒$x$斗，那么可列的方程为（
A.$8x + 2(4 - x) = 20$
B.$2x + 8(4 - x) = 20$
C.$\frac{x}{8} + \frac{20 - 2x}{2} = 4$
D.$\frac{x}{2} + \frac{20 - x}{8} = 4$
A
）。A.$8x + 2(4 - x) = 20$
B.$2x + 8(4 - x) = 20$
C.$\frac{x}{8} + \frac{20 - 2x}{2} = 4$
D.$\frac{x}{2} + \frac{20 - x}{8} = 4$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题核心是找准题目中的等量关系。首先明确已知条件：清酒每斗值8斗谷子，醑酒每斗值2斗谷子，总换酒量为4斗，总共消耗20斗谷子。题目已设清酒为x斗，我们先表示出醑酒的数量，再根据“清酒消耗的谷子数+醑酒消耗的谷子数=总谷子数20斗”的等量关系列方程即可。
【解析】
设清酒有$x$斗，因为一共换了4斗酒，所以醑酒的数量为$(4-x)$斗。
1斗清酒价值8斗谷子，因此$x$斗清酒消耗的谷子数为$8x$斗；1斗醑酒价值2斗谷子，因此$(4-x)$斗醑酒消耗的谷子数为$2(4-x)$斗。
已知总共消耗20斗谷子，据此可列方程：$8x + 2(4-x) = 20$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 实际问题等量关系梳理
【点评】
本题结合古代数学典籍出题，既考查了根据实际问题列方程的能力，也能让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题关键是找准总消耗谷子数等于两类酒分别消耗谷子数之和的等量关系。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程实际应用类题目，解题核心是找准题目中的等量关系。首先明确已知条件：清酒每斗值8斗谷子，醑酒每斗值2斗谷子，总换酒量为4斗，总共消耗20斗谷子。题目已设清酒为x斗，我们先表示出醑酒的数量，再根据“清酒消耗的谷子数+醑酒消耗的谷子数=总谷子数20斗”的等量关系列方程即可。
【解析】
设清酒有$x$斗，因为一共换了4斗酒，所以醑酒的数量为$(4-x)$斗。
1斗清酒价值8斗谷子，因此$x$斗清酒消耗的谷子数为$8x$斗；1斗醑酒价值2斗谷子，因此$(4-x)$斗醑酒消耗的谷子数为$2(4-x)$斗。
已知总共消耗20斗谷子，据此可列方程：$8x + 2(4-x) = 20$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 实际问题等量关系梳理
【点评】
本题结合古代数学典籍出题，既考查了根据实际问题列方程的能力，也能让学生感受到中国传统数学文化的魅力，解题关键是找准总消耗谷子数等于两类酒分别消耗谷子数之和的等量关系。
【难度系数】
0.8
3. 以下表示小张到商店购买2个单价相同的布丁和10根单价相同的棒棒糖的经过。
小张：“您好，我要2个布丁和10根棒棒糖。”
老板：“好的，这是你要的2个布丁和10根棒棒糖，总共50元。”
老板：“等等，小朋友，我把钱算错了，多算了2根棒棒糖的钱，退你6元。”
根据上文，知布丁的单价为
小张：“您好，我要2个布丁和10根棒棒糖。”
老板：“好的，这是你要的2个布丁和10根棒棒糖，总共50元。”
老板：“等等，小朋友，我把钱算错了，多算了2根棒棒糖的钱，退你6元。”
根据上文，知布丁的单价为
7
元。答案
3.7
解析
【分析】
解题时先从退款信息切入：老板退回的6元就是多算的2根棒棒糖的总价，据此可先算出棒棒糖的单价；再用老板最初错收的50元减去多收的6元，得到2个布丁和10根棒棒糖的实际总价；用实际总价减去10根棒棒糖的总费用，得到2个布丁的总价，最后除以2就能算出布丁的单价，也可以通过设未知数列一元一次方程求解。
【解析】
方法1（算术法）：
1. 计算棒棒糖单价：多算2根棒棒糖对应多收6元，因此棒棒糖单价为 $6÷2=3$ 元/根
2. 计算实际应付总金额：$50-6=44$ 元，该金额为2个布丁加10根棒棒糖的总价
3. 计算10根棒棒糖总费用：$10×3=30$ 元
4. 计算2个布丁总费用：$44-30=14$ 元
5. 计算布丁单价：$14÷2=7$ 元/个
方法2（方程法）：
设布丁的单价为 $x$ 元，由多算2根棒棒糖退6元，可得棒棒糖单价为 $6÷2=3$ 元。
根据2个布丁加10根棒棒糖总价为 $50-6=44$ 元，列方程：
$2x + 10×3 = 44$
解得 $2x=14$，即 $x=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 单价数量总价关系
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合日常消费场景，考查学生从对话中提取有效数量关系的能力，只要理清退款对应商品的数量关系，就能逐步推导出结果，对基础运算能力也有一定要求。
【难度系数】
0.8
解题时先从退款信息切入：老板退回的6元就是多算的2根棒棒糖的总价，据此可先算出棒棒糖的单价；再用老板最初错收的50元减去多收的6元，得到2个布丁和10根棒棒糖的实际总价；用实际总价减去10根棒棒糖的总费用，得到2个布丁的总价，最后除以2就能算出布丁的单价，也可以通过设未知数列一元一次方程求解。
【解析】
方法1（算术法）：
1. 计算棒棒糖单价：多算2根棒棒糖对应多收6元，因此棒棒糖单价为 $6÷2=3$ 元/根
2. 计算实际应付总金额：$50-6=44$ 元，该金额为2个布丁加10根棒棒糖的总价
3. 计算10根棒棒糖总费用：$10×3=30$ 元
4. 计算2个布丁总费用：$44-30=14$ 元
5. 计算布丁单价：$14÷2=7$ 元/个
方法2（方程法）：
设布丁的单价为 $x$ 元，由多算2根棒棒糖退6元，可得棒棒糖单价为 $6÷2=3$ 元。
根据2个布丁加10根棒棒糖总价为 $50-6=44$ 元，列方程：
$2x + 10×3 = 44$
解得 $2x=14$，即 $x=7$
【答案】
7
【知识点】
1. 单价数量总价关系
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合日常消费场景，考查学生从对话中提取有效数量关系的能力，只要理清退款对应商品的数量关系，就能逐步推导出结果，对基础运算能力也有一定要求。
【难度系数】
0.8
4. 某天某百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1 000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了
九
折优惠。答案
4.九
解析
【分析】
这是典型的打折销售类问题，解题核心是理清多次折扣的计算逻辑，找准等量关系。首先我们可以先算出实际付款金额（标价减去总共节省的金额），再明确两次折扣的计算顺序：先按全场八折计算出第一次打折后的价格，再设贵宾卡的折扣为未知数，根据“八折后价格×贵宾折扣率=实际付款额”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用贵宾卡又享受了$x$折优惠。
第一步：计算实际付款金额
实际付款 = 标价 - 节省金额 = $1000 - 280 = 720$（元）
第二步：根据折扣规则列方程
全场八折后价格为$1000×0.8$，再打$x$折的售价为$1000×0.8×\frac{x}{10}$，等于实际付款额，因此列方程：
$1000×0.8×\frac{x}{10}=720$
第三步：解方程
化简得：$80x=720$
解得：$x=9$
【答案】
九
【知识点】
1. 打折销售计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考察折扣计算，难度不高，核心是要明确多次折扣是在上一次折扣后的价格基础上叠加计算，准确找到等量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的打折销售类问题，解题核心是理清多次折扣的计算逻辑，找准等量关系。首先我们可以先算出实际付款金额（标价减去总共节省的金额），再明确两次折扣的计算顺序：先按全场八折计算出第一次打折后的价格，再设贵宾卡的折扣为未知数，根据“八折后价格×贵宾折扣率=实际付款额”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用贵宾卡又享受了$x$折优惠。
第一步：计算实际付款金额
实际付款 = 标价 - 节省金额 = $1000 - 280 = 720$（元）
第二步：根据折扣规则列方程
全场八折后价格为$1000×0.8$，再打$x$折的售价为$1000×0.8×\frac{x}{10}$，等于实际付款额，因此列方程：
$1000×0.8×\frac{x}{10}=720$
第三步：解方程
化简得：$80x=720$
解得：$x=9$
【答案】
九
【知识点】
1. 打折销售计算
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考察折扣计算，难度不高，核心是要明确多次折扣是在上一次折扣后的价格基础上叠加计算，准确找到等量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
5. 本地某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按质量计费。小丽分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费分别如表5-3-3、表5-3-4所示:
表5-3-3 收费标准
表5-3-4 实际收费
求$a,b$的值。
表5-3-3 收费标准
表5-3-4 实际收费
求$a,b$的值。
答案
5. 解:依题意得 $a=7+2×(2-1),10+6(b-1)=22$,
解得 $a=9,b=3$,
所以 $a$ 的值为 $9,b$ 的值为 $3$。
解得 $a=9,b=3$,
所以 $a$ 的值为 $9,b$ 的值为 $3$。
解析
【分析】
解题时首先明确快递分段计费规则：①寄件重量不超过1千克时，仅收取对应目的地的起步价；②寄件重量超过1千克时，总费用=起步价 +（重量-1）×超过1千克部分的每千克收费。接下来分别对应两地的寄件信息求解：首先根据上海的寄件重量、收费标准，直接代入分段计费公式即可算出a；再根据北京的总收费、收费标准，判断重量超过1千克后，代入公式列一元一次方程，解方程即可求出b。
【解析】
解：根据题意和分段计费规则：
1. 计算a的值：
寄往上海的快递重量为2千克（超过1千克），上海收费标准为起步价7元，超过1千克部分每千克2元，因此总费用：
$a=7+2×(2-1)=7+2=9$
2. 计算b的值：
寄往北京的快递总收费22元，大于北京的起步价10元，因此重量$b＞1$千克，北京收费标准为超过1千克部分每千克6元，列方程得：
$10+6(b-1)=22$
移项计算：$6(b-1)=22-10=12$
两边同除以6：$b-1=2$
解得：$b=3$
【答案】
$a=9$，$b=3$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是分段计费类的常规应用题，解题核心是准确理解不同重量区间的收费规则，找准等量关系列算式或方程求解，掌握分段计费的通用公式就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确快递分段计费规则：①寄件重量不超过1千克时，仅收取对应目的地的起步价；②寄件重量超过1千克时，总费用=起步价 +（重量-1）×超过1千克部分的每千克收费。接下来分别对应两地的寄件信息求解：首先根据上海的寄件重量、收费标准，直接代入分段计费公式即可算出a；再根据北京的总收费、收费标准，判断重量超过1千克后，代入公式列一元一次方程，解方程即可求出b。
【解析】
解：根据题意和分段计费规则：
1. 计算a的值：
寄往上海的快递重量为2千克（超过1千克），上海收费标准为起步价7元，超过1千克部分每千克2元，因此总费用：
$a=7+2×(2-1)=7+2=9$
2. 计算b的值：
寄往北京的快递总收费22元，大于北京的起步价10元，因此重量$b＞1$千克，北京收费标准为超过1千克部分每千克6元，列方程得：
$10+6(b-1)=22$
移项计算：$6(b-1)=22-10=12$
两边同除以6：$b-1=2$
解得：$b=3$
【答案】
$a=9$，$b=3$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是分段计费类的常规应用题，解题核心是准确理解不同重量区间的收费规则，找准等量关系列算式或方程求解，掌握分段计费的通用公式就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两家超市销售同一种牛奶，每箱的原价相同。甲超市直接打九八折，乙超市先涨价20％，再打八折。甲超市店员说：“乙超市的售价比我们超市贵1元。”小明通过计算发现店员的说法不正确，实际乙超市比甲超市便宜1元。请求出这种牛奶每箱的原价。
答案
6. 解:设这种牛奶每箱的原价为 $x$ 元,
则 $0.98x-(1+20\%)x×0.8=1$,
解得 $x=50$,
所以这种牛奶每箱的原价为 50 元。
则 $0.98x-(1+20\%)x×0.8=1$,
解得 $x=50$,
所以这种牛奶每箱的原价为 50 元。
解析
【分析】
这是一道打折销售类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确题目等量关系，再分别表示出两个超市的牛奶售价列方程求解。首先设每箱牛奶原价为x元，再分别计算两家的实际售价：甲超市打九八折，售价为原价的98%即0.98x；乙超市先涨价20%，此时价格是原价的(1+20%)，再打八折即取涨价后价格的80%，因此乙的售价为(1+20%)x×0.8；最后根据“实际乙超市比甲超市便宜1元”可得等量关系：甲超市售价-乙超市售价=1元，代入表达式列方程求解即可。
【解析】
解：设这种牛奶每箱的原价为$x$元。
根据题意列方程：
$0.98x-(1+20\%)x×0.8=1$
先计算方程左侧的乘法项：
$0.98x-1.2x×0.8=1$
$0.98x-0.96x=1$
合并同类项得：
$0.02x=1$
系数化为1得：
$x=50$
【答案】
这种牛奶每箱的原价为50元。
【知识点】
一元一次方程应用、打折销售问题、百分数运算
【点评】
本题属于生活中常见的促销打折类数学问题，解题的关键是准确理解打折、涨价的含义，正确表示出不同促销方案下的售价，同时要注意理清两个售价的大小关系，避免列方程时将等量关系写反。
【难度系数】
0.7
这是一道打折销售类的一元一次方程应用题，解题核心是先明确题目等量关系，再分别表示出两个超市的牛奶售价列方程求解。首先设每箱牛奶原价为x元，再分别计算两家的实际售价：甲超市打九八折，售价为原价的98%即0.98x；乙超市先涨价20%，此时价格是原价的(1+20%)，再打八折即取涨价后价格的80%，因此乙的售价为(1+20%)x×0.8；最后根据“实际乙超市比甲超市便宜1元”可得等量关系：甲超市售价-乙超市售价=1元，代入表达式列方程求解即可。
【解析】
解：设这种牛奶每箱的原价为$x$元。
根据题意列方程：
$0.98x-(1+20\%)x×0.8=1$
先计算方程左侧的乘法项：
$0.98x-1.2x×0.8=1$
$0.98x-0.96x=1$
合并同类项得：
$0.02x=1$
系数化为1得：
$x=50$
【答案】
这种牛奶每箱的原价为50元。
【知识点】
一元一次方程应用、打折销售问题、百分数运算
【点评】
本题属于生活中常见的促销打折类数学问题，解题的关键是准确理解打折、涨价的含义，正确表示出不同促销方案下的售价，同时要注意理清两个售价的大小关系，避免列方程时将等量关系写反。
【难度系数】
0.7
