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6. 一个正方体木块的体积是$1000\ \mathrm{cm}^3$，把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长是多少？
答案
解：设小木块的棱长为$ x \, \mathrm{cm} $。
每块小正方体木块的体积为$ \frac{1000}{8} = 125 \, \mathrm{cm}^3 $，
由正方体体积公式可得：$ x^3 = 125 $，
解得$ x = \sqrt[3]{125} = 5 $。
答：小木块的棱长是$ 5\ \mathrm{cm} $。
每块小正方体木块的体积为$ \frac{1000}{8} = 125 \, \mathrm{cm}^3 $，
由正方体体积公式可得：$ x^3 = 125 $，
解得$ x = \sqrt[3]{125} = 5 $。
答：小木块的棱长是$ 5\ \mathrm{cm} $。
解析
【分析】
解题时首先明确思路：第一步根据大正方体的总体积和分割成的小正方体块数，求出每块小正方体的体积；第二步利用正方体体积=棱长³的公式，已知体积求棱长，即求对应体积的立方根，即可得出结果。
【解析】
解：设小木块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$。
每块小正方体木块的体积为$\frac{1000}{8}=125\ \mathrm{cm}^3$，
由正方体体积公式可得：
$x^3=125$
对等式两边开立方，解得$x=\sqrt[3]{125}=5$。
答：小木块的棱长是$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题是立方根的基础应用类题目，结合了立体图形体积计算的知识点，解题核心是先得到单个小正方体的体积，再通过开立方运算求解棱长，能够帮助学生巩固立方根的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确思路：第一步根据大正方体的总体积和分割成的小正方体块数，求出每块小正方体的体积；第二步利用正方体体积=棱长³的公式，已知体积求棱长，即求对应体积的立方根，即可得出结果。
【解析】
解：设小木块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$。
每块小正方体木块的体积为$\frac{1000}{8}=125\ \mathrm{cm}^3$，
由正方体体积公式可得：
$x^3=125$
对等式两边开立方，解得$x=\sqrt[3]{125}=5$。
答：小木块的棱长是$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正方体体积计算，立方根运算
【点评】
本题是立方根的基础应用类题目，结合了立体图形体积计算的知识点，解题核心是先得到单个小正方体的体积，再通过开立方运算求解棱长，能够帮助学生巩固立方根的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
7. (1) 计算：
① $(\sqrt[3]{-8})^3=$；② $(\sqrt[3]{2})^3=$；
③ $(\sqrt[3]{-3})^3=$；④ $\sqrt[3]{(-3)^3}=$.
(2) 由第(1)题的计算结果，你有什么发现？
(3) 你能根据立方根的定义等知识说明你发现的理由吗？
① $(\sqrt[3]{-8})^3=$；② $(\sqrt[3]{2})^3=$；
③ $(\sqrt[3]{-3})^3=$；④ $\sqrt[3]{(-3)^3}=$.
(2) 由第(1)题的计算结果，你有什么发现？
(3) 你能根据立方根的定义等知识说明你发现的理由吗？
答案
解：
(1) ① $\boldsymbol{-8}$；
② $\boldsymbol{2}$；
③ $\boldsymbol{-3}$；
④ $\boldsymbol{-3}$。
(2) 发现：对于任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
(3) 理由：根据立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
由定义可知，将$\sqrt[3]{a}$立方后，结果必然等于$a$，即$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；
同时，$a^3$的立方根是满足$x^3=a^3$的数，显然$a^3=a^3$，因此$\sqrt[3]{a^3}=a$。
综上可得$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
(1) ① $\boldsymbol{-8}$；
② $\boldsymbol{2}$；
③ $\boldsymbol{-3}$；
④ $\boldsymbol{-3}$。
(2) 发现：对于任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
(3) 理由：根据立方根的定义：如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
由定义可知，将$\sqrt[3]{a}$立方后，结果必然等于$a$，即$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；
同时，$a^3$的立方根是满足$x^3=a^3$的数，显然$a^3=a^3$，因此$\sqrt[3]{a^3}=a$。
综上可得$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
解析
【分析】
(1) 计算部分可利用开立方与立方互为逆运算的关系求解：①$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，对它再进行立方运算，逆运算后结果为原数-8；②同理$\sqrt[3]{2}$是2的立方根，立方后结果为2；③$\sqrt[3]{-3}$是-3的立方根，立方后结果为-3；④先计算$(-3)^3=-27$，再求-27的立方根，结果为-3。
(2) 观察(1)的计算结果，对比$(\sqrt[3]{a})^3$和$\sqrt[3]{a^3}$的结果，归纳通用规律即可。
(3) 结合立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，从互逆运算的角度推导规律的合理性即可。
【解析】
(1) ① $(\sqrt[3]{-8})^3=-8$；
② $(\sqrt[3]{2})^3=2$；
③ $(\sqrt[3]{-3})^3=-3$；
④ $\sqrt[3]{(-3)^3}=\sqrt[3]{-27}=-3$。
(2) 观察上述计算结果可发现：对于任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
(3) 理由如下：根据立方根的定义，如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
由定义可得，$\sqrt[3]{a}$是$a$的立方根，因此将$\sqrt[3]{a}$立方后结果等于$a$，即$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；
同时，对$a^3$求立方根，即找满足$x^3=a^3$的数$x$，显然$x=a$时等式成立，因此$\sqrt[3]{a^3}=a$。
综上可得$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{-8}$；② $\boldsymbol{2}$；③ $\boldsymbol{-3}$；④ $\boldsymbol{-3}$
(2) 对于任意实数$a$，都有$\boldsymbol{(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a}$
(3) 理由：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，因此$(\sqrt[3]{a})^3=a$；又因为$a^3$是$a$的立方，所以其立方根为$a$，即$\sqrt[3]{a^3}=a$，故$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
【知识点】
立方根的运算；立方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题从具体的立方根运算入手，引导学生归纳通用性质并结合定义推导验证，体现了从特殊到一般的数学思维，能帮助学生深入理解立方与开立方的互逆关系，是立方根部分的基础训练题。
【难度系数】
0.8
(1) 计算部分可利用开立方与立方互为逆运算的关系求解：①$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，对它再进行立方运算，逆运算后结果为原数-8；②同理$\sqrt[3]{2}$是2的立方根，立方后结果为2；③$\sqrt[3]{-3}$是-3的立方根，立方后结果为-3；④先计算$(-3)^3=-27$，再求-27的立方根，结果为-3。
(2) 观察(1)的计算结果，对比$(\sqrt[3]{a})^3$和$\sqrt[3]{a^3}$的结果，归纳通用规律即可。
(3) 结合立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，从互逆运算的角度推导规律的合理性即可。
【解析】
(1) ① $(\sqrt[3]{-8})^3=-8$；
② $(\sqrt[3]{2})^3=2$；
③ $(\sqrt[3]{-3})^3=-3$；
④ $\sqrt[3]{(-3)^3}=\sqrt[3]{-27}=-3$。
(2) 观察上述计算结果可发现：对于任意实数$a$，都有$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
(3) 理由如下：根据立方根的定义，如果一个数的立方等于$a$，那么这个数叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
由定义可得，$\sqrt[3]{a}$是$a$的立方根，因此将$\sqrt[3]{a}$立方后结果等于$a$，即$(\sqrt[3]{a})^3 = a$；
同时，对$a^3$求立方根，即找满足$x^3=a^3$的数$x$，显然$x=a$时等式成立，因此$\sqrt[3]{a^3}=a$。
综上可得$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{-8}$；② $\boldsymbol{2}$；③ $\boldsymbol{-3}$；④ $\boldsymbol{-3}$
(2) 对于任意实数$a$，都有$\boldsymbol{(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a}$
(3) 理由：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，因此$(\sqrt[3]{a})^3=a$；又因为$a^3$是$a$的立方，所以其立方根为$a$，即$\sqrt[3]{a^3}=a$，故$(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$。
【知识点】
立方根的运算；立方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题从具体的立方根运算入手，引导学生归纳通用性质并结合定义推导验证，体现了从特殊到一般的数学思维，能帮助学生深入理解立方与开立方的互逆关系，是立方根部分的基础训练题。
【难度系数】
0.8
8. 我们知道$a+b=0$时，$a^3+b^3=0$也成立，若将$a$看成$a^3$的立方根，$b$看成$b^3$的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立。
（2）你能利用所学知识证明上述猜测吗？
（3）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立。
（2）你能利用所学知识证明上述猜测吗？
（3）若$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，求$1-\sqrt{x}$的值。
答案
解：
(1) 举例：取8和-8，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，可知该猜测结论成立。
(2) 证明：设数$m$的立方根为$a$，数$n$的立方根为$b$，由题意得$a+b=0$，即$a=-b$。
根据立方根的定义，可得$m=a^3$，$n=b^3$，
因此$m=(-b)^3=-b^3=-n$，即$m+n=0$，
所以$m$与$n$互为相反数，即若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
(3) 由上述结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$，得$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
(1) 举例：取8和-8，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，可知该猜测结论成立。
(2) 证明：设数$m$的立方根为$a$，数$n$的立方根为$b$，由题意得$a+b=0$，即$a=-b$。
根据立方根的定义，可得$m=a^3$，$n=b^3$，
因此$m=(-b)^3=-b^3=-n$，即$m+n=0$，
所以$m$与$n$互为相反数，即若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
(3) 由上述结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$，得$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
解析
【分析】
本题分三小问逐步递进考查立方根相关知识，解题思路如下：
1. 第(1)问为猜想验证类问题，只需选取一组互为相反数的数，分别计算二者的立方根，验证立方根也互为相反数即可，举例不唯一，符合要求即可。
2. 第(2)问为证明类问题，可先设两个数的立方根互为相反数（即和为0），再结合立方根的定义，将两个原数用各自的立方根表示，利用负数的立方仍为负数的性质，推导得出两个原数也互为相反数即可。
3. 第(3)问为结论应用题，直接使用第(2)问证明的结论：立方根互为相反数时，被开方数也互为相反数，据此列方程求解x，再代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 举例：取8和-8，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，可知该猜测结论成立。（举例不唯一，合理即可）
(2) 证明：设数$m$的立方根为$a$，数$n$的立方根为$b$，由题意得$a+b=0$，即$a=-b$。
根据立方根的定义，可得$m=a^3$，$n=b^3$，
因此$m=(-b)^3=-b^3=-n$，即$m+n=0$，
所以$m$与$n$互为相反数，即若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
(3) 由上述结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$，得$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
【答案】
(1) 举例见解析，猜测结论成立；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的定义，代数式求值
【点评】
本题属于探究应用型题目，从猜想验证到逻辑证明再到实际应用，逐层考查对立方根与相反数关系的理解，熟练掌握立方根的运算性质、学会使用已证结论解决后续问题是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题分三小问逐步递进考查立方根相关知识，解题思路如下：
1. 第(1)问为猜想验证类问题，只需选取一组互为相反数的数，分别计算二者的立方根，验证立方根也互为相反数即可，举例不唯一，符合要求即可。
2. 第(2)问为证明类问题，可先设两个数的立方根互为相反数（即和为0），再结合立方根的定义，将两个原数用各自的立方根表示，利用负数的立方仍为负数的性质，推导得出两个原数也互为相反数即可。
3. 第(3)问为结论应用题，直接使用第(2)问证明的结论：立方根互为相反数时，被开方数也互为相反数，据此列方程求解x，再代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 举例：取8和-8，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，2与-2互为相反数，8与-8也互为相反数，可知该猜测结论成立。（举例不唯一，合理即可）
(2) 证明：设数$m$的立方根为$a$，数$n$的立方根为$b$，由题意得$a+b=0$，即$a=-b$。
根据立方根的定义，可得$m=a^3$，$n=b^3$，
因此$m=(-b)^3=-b^3=-n$，即$m+n=0$，
所以$m$与$n$互为相反数，即若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
(3) 由上述结论可知，$\sqrt[3]{1-2x}$与$\sqrt[3]{3x-5}$互为相反数，则它们的被开方数互为相反数，即：
$1-2x+3x-5=0$
解得$x=4$。
将$x=4$代入$1-\sqrt{x}$，得$1-\sqrt{4}=1-2=-1$。
【答案】
(1) 举例见解析，猜测结论成立；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的定义，代数式求值
【点评】
本题属于探究应用型题目，从猜想验证到逻辑证明再到实际应用，逐层考查对立方根与相反数关系的理解，熟练掌握立方根的运算性质、学会使用已证结论解决后续问题是解题的关键。
【难度系数】
0.7
