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3. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) $\frac{27}{8}$的立方根是$\pm\frac{3}{2}$；（）
(2) 负数没有立方根；（）
(3) $\sqrt[3]{0.8}=0.2$；（）
(4) $-a$的立方根是$-\sqrt[3]{a}$；（）
(5) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\pm\frac{2}{3}$；（）
(1) $\frac{27}{8}$的立方根是$\pm\frac{3}{2}$；（）
(2) 负数没有立方根；（）
(3) $\sqrt[3]{0.8}=0.2$；（）
(4) $-a$的立方根是$-\sqrt[3]{a}$；（）
(5) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\pm\frac{2}{3}$；（）
答案
解：
(1) $\because (\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$，任意实数仅有一个立方根，$\frac{27}{8}$的立方根是$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 该说法错误，$×$
(2) $\because$ 任意负数都有唯一的负立方根，例如$\sqrt[3]{-1}=-1$，
$\therefore$ 该说法错误，$×$
(3) $\because 0.2^3=0.008≠0.8$，
$\therefore \sqrt[3]{0.8}≠0.2$，该说法错误，$×$
(4) $\because (-\sqrt[3]{a})^3=-a$，
$\therefore -a$的立方根是$-\sqrt[3]{a}$，该说法正确，$\surd$
(5) $\because (\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$，正数的立方根是正数，$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 该说法错误，$×$
(1) $\because (\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$，任意实数仅有一个立方根，$\frac{27}{8}$的立方根是$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 该说法错误，$×$
(2) $\because$ 任意负数都有唯一的负立方根，例如$\sqrt[3]{-1}=-1$，
$\therefore$ 该说法错误，$×$
(3) $\because 0.2^3=0.008≠0.8$，
$\therefore \sqrt[3]{0.8}≠0.2$，该说法错误，$×$
(4) $\because (-\sqrt[3]{a})^3=-a$，
$\therefore -a$的立方根是$-\sqrt[3]{a}$，该说法正确，$\surd$
(5) $\because (\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$，正数的立方根是正数，$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 该说法错误，$×$
解析
【分析】
解题需先明确立方根的核心性质：任意实数都有且仅有一个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，且立方运算与开立方运算是互逆运算。我们结合上述要点逐个判断：涉及数值的说法通过计算对应数的立方验证，涉及符号的说法根据立方根的符号性质判断即可。
【解析】
(1) $\because (\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$，任意实数仅有一个立方根，$\frac{27}{8}$的立方根是$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 该说法错误。
(2) $\because$ 任意负数都有唯一的负立方根，例如$\sqrt[3]{-1}=-1$，
$\therefore$ 该说法错误。
(3) $\because 0.2^3=0.008≠0.8$，
$\therefore \sqrt[3]{0.8}≠0.2$，该说法错误。
(4) $\because (-\sqrt[3]{a})^3=-a$，
$\therefore -a$的立方根是$-\sqrt[3]{a}$，该说法正确。
(5) $\because (\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$，正数的立方根是正数，$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 该说法错误。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)×；(4)√；(5)×
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题重点考查立方根的基础概念，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，切勿将平方根的正负性规律套用到立方根上，涉及数值判断时可通过立方逆运算验证结果，降低失误率。
【难度系数】
0.8
解题需先明确立方根的核心性质：任意实数都有且仅有一个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，且立方运算与开立方运算是互逆运算。我们结合上述要点逐个判断：涉及数值的说法通过计算对应数的立方验证，涉及符号的说法根据立方根的符号性质判断即可。
【解析】
(1) $\because (\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$，任意实数仅有一个立方根，$\frac{27}{8}$的立方根是$\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 该说法错误。
(2) $\because$ 任意负数都有唯一的负立方根，例如$\sqrt[3]{-1}=-1$，
$\therefore$ 该说法错误。
(3) $\because 0.2^3=0.008≠0.8$，
$\therefore \sqrt[3]{0.8}≠0.2$，该说法错误。
(4) $\because (-\sqrt[3]{a})^3=-a$，
$\therefore -a$的立方根是$-\sqrt[3]{a}$，该说法正确。
(5) $\because (\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}$，正数的立方根是正数，$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 该说法错误。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)×；(4)√；(5)×
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题重点考查立方根的基础概念，解题时要注意区分立方根与平方根的性质差异，切勿将平方根的正负性规律套用到立方根上，涉及数值判断时可通过立方逆运算验证结果，降低失误率。
【难度系数】
0.8
4. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{0.027}$；
(2) $\sqrt[3]{-216}$；
(3) $(\sqrt[3]{-5})^3$；
(4)
(1) $\sqrt[3]{0.027}$；
(2) $\sqrt[3]{-216}$；
(3) $(\sqrt[3]{-5})^3$；
(4)
答案
解：
(1) 因为 $0.3^3 = 0.027$，所以 $\sqrt[3]{0.027}=0.3$。
(2) 因为 $(-6)^3 = -216$，所以 $\sqrt[3]{-216}=-6$。
(3) 根据立方根的性质 $(\sqrt[3]{a})^3 = a$，可得 $(\sqrt[3]{-5})^3=-5$。
(4) 先计算根号内的部分：$\frac{19}{27}-1 = \frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，
因为 $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}$，所以 $\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。
(1) 因为 $0.3^3 = 0.027$，所以 $\sqrt[3]{0.027}=0.3$。
(2) 因为 $(-6)^3 = -216$，所以 $\sqrt[3]{-216}=-6$。
(3) 根据立方根的性质 $(\sqrt[3]{a})^3 = a$，可得 $(\sqrt[3]{-5})^3=-5$。
(4) 先计算根号内的部分：$\frac{19}{27}-1 = \frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，
因为 $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}$，所以 $\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
这组题目是立方根的求值计算，解题核心是利用立方根的定义和性质求解：
1. 立方根定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，所以求一个数的立方根可以反向找哪个数的立方等于被开方数；
2. 立方根性质：负数的立方根是负数，且$(\sqrt[3]{a})^3=a$，计算带运算的被开方数时，先计算被开方数的结果，再求立方根。
具体到每小题：
(1) 找正数的立方等于0.027即可；
(2) 找负数的立方等于-216即可；
(3) 直接套用立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$计算；
(4) 先计算被开方数里的分数减法，得到结果后再找对应立方根。
【解析】
(1) 因为 $0.3^3 = 0.027$，根据立方根的定义，可得 $\sqrt[3]{0.027}=0.3$。
(2) 因为 $(-6)^3 = -216$，根据立方根的定义，可得 $\sqrt[3]{-216}=-6$。
(3) 根据立方根的性质 $(\sqrt[3]{a})^3 = a$，将$a=-5$代入，可得 $(\sqrt[3]{-5})^3=-5$。
(4) 先计算根号内的运算：$\frac{19}{27}-1 = \frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，
因为 $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}$，根据立方根的定义，可得 $\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $0.3$；(2) $-6$；(3) $-5$；(4) $-\frac{2}{3}$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，有理数的运算
【点评】
本题是立方根的基础计算题，重点考查对立方根定义、性质的理解与运用，解题时要注意区分立方根与平方根的差异，负数也有立方根，计算被开方数包含运算的题目时，要先化简被开方数再求立方根，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
这组题目是立方根的求值计算，解题核心是利用立方根的定义和性质求解：
1. 立方根定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，所以求一个数的立方根可以反向找哪个数的立方等于被开方数；
2. 立方根性质：负数的立方根是负数，且$(\sqrt[3]{a})^3=a$，计算带运算的被开方数时，先计算被开方数的结果，再求立方根。
具体到每小题：
(1) 找正数的立方等于0.027即可；
(2) 找负数的立方等于-216即可；
(3) 直接套用立方根性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$计算；
(4) 先计算被开方数里的分数减法，得到结果后再找对应立方根。
【解析】
(1) 因为 $0.3^3 = 0.027$，根据立方根的定义，可得 $\sqrt[3]{0.027}=0.3$。
(2) 因为 $(-6)^3 = -216$，根据立方根的定义，可得 $\sqrt[3]{-216}=-6$。
(3) 根据立方根的性质 $(\sqrt[3]{a})^3 = a$，将$a=-5$代入，可得 $(\sqrt[3]{-5})^3=-5$。
(4) 先计算根号内的运算：$\frac{19}{27}-1 = \frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，
因为 $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{8}{27}$，根据立方根的定义，可得 $\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $0.3$；(2) $-6$；(3) $-5$；(4) $-\frac{2}{3}$
【知识点】
立方根的定义，立方根的性质，有理数的运算
【点评】
本题是立方根的基础计算题，重点考查对立方根定义、性质的理解与运用，解题时要注意区分立方根与平方根的差异，负数也有立方根，计算被开方数包含运算的题目时，要先化简被开方数再求立方根，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.8
5. 求下列各式中的 $x$:
(1) $9x^3 + 2\frac{2}{3} = 0$;
(2) $(x+1)^3 = 8$.
(1) $9x^3 + 2\frac{2}{3} = 0$;
(2) $(x+1)^3 = 8$.
答案
解：
(1) 移项得：
$9x^3 = -2\frac{2}{3}$
将带分数化为假分数：
$9x^3 = -\frac{8}{3}$
系数化为1：
$x^3 = -\frac{8}{27}$
由立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$
(2) 对等式两边同时开立方，由立方根的定义得：
$x+1 = \sqrt[3]{8} = 2$
移项计算得：
$x = 2 - 1 = 1$
(1) 移项得：
$9x^3 = -2\frac{2}{3}$
将带分数化为假分数：
$9x^3 = -\frac{8}{3}$
系数化为1：
$x^3 = -\frac{8}{27}$
由立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$
(2) 对等式两边同时开立方，由立方根的定义得：
$x+1 = \sqrt[3]{8} = 2$
移项计算得：
$x = 2 - 1 = 1$
解析
【分析】
这两道题均是利用立方根定义求解未知数的方程题，解题核心是将方程整理为“某式的立方等于常数”的形式，再转化为一次方程计算。对于第(1)题，先通过移项、系数化为1把方程变形为$x^3=a$的形式，注意先把带分数转化为假分数方便运算，再对常数开立方得到x的值；对于第(2)题，把$x+1$看作整体，直接对等式两边开立方，得到一元一次方程后移项计算即可，立方根具有唯一性，无需像平方根一样考虑正负两种结果。
【解析】
(1) 移项得：
$9x^3 = -2\frac{2}{3}$
将带分数化为假分数：
$9x^3 = -\frac{8}{3}$
系数化为1：
$x^3 = -\frac{8}{27}$
由立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$
(2) 对等式两边同时开立方，由立方根的定义得：
$x+1 = \sqrt[3]{8} = 2$
移项计算得：
$x = 2 - 1 = 1$
【答案】
(1)$x=-\frac{2}{3}$；(2)$x=1$
【知识点】
立方根的定义、解含立方的方程
【点评】
本题属于立方根应用的基础题，解题关键是掌握立方根的性质，注意区分立方根和平方根的差异，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均是利用立方根定义求解未知数的方程题，解题核心是将方程整理为“某式的立方等于常数”的形式，再转化为一次方程计算。对于第(1)题，先通过移项、系数化为1把方程变形为$x^3=a$的形式，注意先把带分数转化为假分数方便运算，再对常数开立方得到x的值；对于第(2)题，把$x+1$看作整体，直接对等式两边开立方，得到一元一次方程后移项计算即可，立方根具有唯一性，无需像平方根一样考虑正负两种结果。
【解析】
(1) 移项得：
$9x^3 = -2\frac{2}{3}$
将带分数化为假分数：
$9x^3 = -\frac{8}{3}$
系数化为1：
$x^3 = -\frac{8}{27}$
由立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = -\frac{2}{3}$
(2) 对等式两边同时开立方，由立方根的定义得：
$x+1 = \sqrt[3]{8} = 2$
移项计算得：
$x = 2 - 1 = 1$
【答案】
(1)$x=-\frac{2}{3}$；(2)$x=1$
【知识点】
立方根的定义、解含立方的方程
【点评】
本题属于立方根应用的基础题，解题关键是掌握立方根的性质，注意区分立方根和平方根的差异，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
