登录
如图2-2，半径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点$O'$.点$O'$所表示的是什么数？这个数是有理数吗？
图2-2
图2-2
答案
解：
半径为1个单位长度的圆的周长为$C=2π r=2π×1=2π$。
圆从原点沿数轴向右滚动一周，点$O'$到原点的距离等于该圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$2π$。
$2π$是无限不循环小数，不属于有理数，即这个数不是有理数。
答：点$O'$所表示的数是$2π$，这个数不是有理数。
半径为1个单位长度的圆的周长为$C=2π r=2π×1=2π$。
圆从原点沿数轴向右滚动一周，点$O'$到原点的距离等于该圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$2π$。
$2π$是无限不循环小数，不属于有理数，即这个数不是有理数。
答：点$O'$所表示的数是$2π$，这个数不是有理数。
解析
【分析】
解题时首先明确：圆沿数轴滚动一周，起点到终点的距离等于圆的周长，这是解题的核心。第一步先根据圆的半径，利用圆的周长公式计算出周长；第二步，因为圆从原点向右滚动，所以终点$O'$对应的数就等于这个周长的数值；第三步，根据有理数的定义（有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数），判断所得的数是否为有理数即可。
【解析】
已知圆的半径$r=1$个单位长度，根据圆的周长公式可得：
圆的周长$C=2πr=2π×1=2π$。
圆从原点沿数轴向右滚动一周，点$O'$到原点的距离等于该圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$2π$。
有理数是整数和分数的统称，即有限小数或无限循环小数，而$2π$是无限不循环小数，因此这个数不是有理数。
【答案】
点$O'$所表示的数是$2π$，这个数不是有理数。
【知识点】
1. 圆的周长计算 2. 数轴的应用 3. 有理数与无理数判别
【点评】
本题结合圆的滚动场景，将几何长度计算和实数分类知识相结合，既考察了基础公式的应用，也考察了对有理数、无理数概念的理解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：圆沿数轴滚动一周，起点到终点的距离等于圆的周长，这是解题的核心。第一步先根据圆的半径，利用圆的周长公式计算出周长；第二步，因为圆从原点向右滚动，所以终点$O'$对应的数就等于这个周长的数值；第三步，根据有理数的定义（有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数），判断所得的数是否为有理数即可。
【解析】
已知圆的半径$r=1$个单位长度，根据圆的周长公式可得：
圆的周长$C=2πr=2π×1=2π$。
圆从原点沿数轴向右滚动一周，点$O'$到原点的距离等于该圆的周长，因此点$O'$所表示的数是$2π$。
有理数是整数和分数的统称，即有限小数或无限循环小数，而$2π$是无限不循环小数，因此这个数不是有理数。
【答案】
点$O'$所表示的数是$2π$，这个数不是有理数。
【知识点】
1. 圆的周长计算 2. 数轴的应用 3. 有理数与无理数判别
【点评】
本题结合圆的滚动场景，将几何长度计算和实数分类知识相结合，既考察了基础公式的应用，也考察了对有理数、无理数概念的理解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
$\sqrt{289},\frac{1}{2},\sqrt{5},\frac{22}{7},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\sqrt[3]{-27},\frac{π}{3},-0.\dot{8}\dot{9},\sqrt[3]{9}.$
$\sqrt{289},\frac{1}{2},\sqrt{5},\frac{22}{7},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\sqrt[3]{-27},\frac{π}{3},-0.\dot{8}\dot{9},\sqrt[3]{9}.$
答案
解：
先化简可计算的根式：
$\sqrt{289}=17$，$\sqrt[3]{-27}=-3$。
根据有理数、无理数的定义：
有理数有：$\sqrt{289},\frac{1}{2},\frac{22}{7},\sqrt[3]{-27},-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数有：$\sqrt{5},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\frac{π}{3},\sqrt[3]{9}$。
先化简可计算的根式：
$\sqrt{289}=17$，$\sqrt[3]{-27}=-3$。
根据有理数、无理数的定义：
有理数有：$\sqrt{289},\frac{1}{2},\frac{22}{7},\sqrt[3]{-27},-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数有：$\sqrt{5},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\frac{π}{3},\sqrt[3]{9}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确两个核心定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数，所有有理数都可写成两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题时先把能化简的根式计算出结果，再逐个对照定义判断每个数的类别即可。
【解析】
1. 先化简可计算的根式：
$\sqrt{289}=\sqrt{17^2}=17$，$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，二者都是整数，属于有理数范畴。
2. 结合定义分类判断：
有理数包含整数、分数、无限循环小数：$\frac{1}{2}$、$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；$-0.\dot{8}\dot{9}$是无限循环小数，属于有理数；加上化简后得到的17（即$\sqrt{289}$）、-3（即$\sqrt[3]{-27}$），均为有理数。
无理数是无限不循环小数：$\sqrt{5}$、$\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，属于无理数；$0.2020020002···$（每两个2之间0的个数逐次增加）是无限不循环小数，属于无理数；$\frac{π}{3}$含无理数π，属于无理数。
【答案】
有理数有：$\sqrt{289},\frac{1}{2},\frac{22}{7},\sqrt[3]{-27},-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数有：$\sqrt{5},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\frac{π}{3},\sqrt[3]{9}$。
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，根式化简
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题关键是先化简带根号的数，再紧扣定义判断，注意不要陷入“带根号的数都是无理数”“有规律的小数都是有理数”的误区，准确识别无理数的三类常见形式即可正确解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确两个核心定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数，所有有理数都可写成两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题时先把能化简的根式计算出结果，再逐个对照定义判断每个数的类别即可。
【解析】
1. 先化简可计算的根式：
$\sqrt{289}=\sqrt{17^2}=17$，$\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$，二者都是整数，属于有理数范畴。
2. 结合定义分类判断：
有理数包含整数、分数、无限循环小数：$\frac{1}{2}$、$\frac{22}{7}$是分数，属于有理数；$-0.\dot{8}\dot{9}$是无限循环小数，属于有理数；加上化简后得到的17（即$\sqrt{289}$）、-3（即$\sqrt[3]{-27}$），均为有理数。
无理数是无限不循环小数：$\sqrt{5}$、$\sqrt[3]{9}$是开方开不尽的数，属于无理数；$0.2020020002···$（每两个2之间0的个数逐次增加）是无限不循环小数，属于无理数；$\frac{π}{3}$含无理数π，属于无理数。
【答案】
有理数有：$\sqrt{289},\frac{1}{2},\frac{22}{7},\sqrt[3]{-27},-0.\dot{8}\dot{9}$；
无理数有：$\sqrt{5},0.2020020002···$(每两个2之间0的个数逐次增加),$\frac{π}{3},\sqrt[3]{9}$。
【知识点】
有理数的定义，无理数的定义，根式化简
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题关键是先化简带根号的数，再紧扣定义判断，注意不要陷入“带根号的数都是无理数”“有规律的小数都是有理数”的误区，准确识别无理数的三类常见形式即可正确解题。
【难度系数】
0.7
例2 判断$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$与1的大小.
答案
解：
∵ $\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$，
∴ $\sqrt{5} - 1 ＜ 3 - 1 = 2$，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{2}{2} = 1$，
即 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
∵ $\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$，
∴ $\sqrt{5} - 1 ＜ 3 - 1 = 2$，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{2}{2} = 1$，
即 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
解析
【分析】
要比较含无理数的式子$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$与1的大小，首先需要估算出无理数$\sqrt{5}$的取值范围，再根据不等式的基本性质对不等式逐步变形，最终得到目标式子和1的大小关系。我们可以利用已知的完全平方数的算术平方根$\sqrt{9}=3$，结合$\sqrt{5}＜\sqrt{9}$作为推导起点。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$，
根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去1，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{5} - 1 ＜ 3 - 1 = 2$，
又
∵2是正数，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{2}{2} = 1$，
即 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题考查无理数大小比较的基础应用，解题的核心是先通过相邻完全平方数的算术平方根确定无理数的取值范围，再结合不等式性质变形得到结果，掌握无理数估算的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较含无理数的式子$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$与1的大小，首先需要估算出无理数$\sqrt{5}$的取值范围，再根据不等式的基本性质对不等式逐步变形，最终得到目标式子和1的大小关系。我们可以利用已知的完全平方数的算术平方根$\sqrt{9}=3$，结合$\sqrt{5}＜\sqrt{9}$作为推导起点。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{5} ＜ \sqrt{9} = 3$，
根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去1，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{5} - 1 ＜ 3 - 1 = 2$，
又
∵2是正数，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，可得：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ \frac{2}{2} = 1$，
即 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2} ＜ 1$
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题考查无理数大小比较的基础应用，解题的核心是先通过相邻完全平方数的算术平方根确定无理数的取值范围，再结合不等式性质变形得到结果，掌握无理数估算的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）称为无理数。
答案
解：无限不循环小数
解析
【分析】
本题考查无理数的基本定义，属于基础概念识记类题目。解题时只需回忆无理数的定义内容即可：我们已学过有理数包含整数和分数，有理数都可以化为有限小数或者无限循环小数，与之相对的，同时满足“无限”和“不循环”两个特征的小数就是无理数，直接对应填写定义内容即可。
【解析】
根据无理数的定义可知：无限不循环小数称为无理数，因此横线处填写“无限不循环小数”即可。
【答案】
无限不循环小数
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的记忆与识别，难度较低，熟练掌握相关基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查无理数的基本定义，属于基础概念识记类题目。解题时只需回忆无理数的定义内容即可：我们已学过有理数包含整数和分数，有理数都可以化为有限小数或者无限循环小数，与之相对的，同时满足“无限”和“不循环”两个特征的小数就是无理数，直接对应填写定义内容即可。
【解析】
根据无理数的定义可知：无限不循环小数称为无理数，因此横线处填写“无限不循环小数”即可。
【答案】
无限不循环小数
【知识点】
无理数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的记忆与识别，难度较低，熟练掌握相关基础概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
（2）请写出4个无理数：.
答案
解：$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$π$，$\sqrt{5}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题核心是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，如√2、√3等；②含π的数，如π、2π等；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。解题时只需从这几类中任选4个符合要求的数即可，注意不要选有限小数、无限循环小数或开得尽方的数（如√4=2，属于有理数，不符合要求）。
【解析】
根据无理数是无限不循环小数的定义，我们可选取开方开不尽的数和含π的数作为示例：
√2是开方开不尽的数，属于无理数；
√3是开方开不尽的数，属于无理数；
π是无限不循环小数，属于无理数；
√5是开方开不尽的数，属于无理数。
符合要求的无理数有很多，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$π$，$\sqrt{5}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对无理数定义的理解，只要能区分有理数和无理数的差异，熟记常见的无理数类型就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题核心是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，如√2、√3等；②含π的数，如π、2π等；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）。解题时只需从这几类中任选4个符合要求的数即可，注意不要选有限小数、无限循环小数或开得尽方的数（如√4=2，属于有理数，不符合要求）。
【解析】
根据无理数是无限不循环小数的定义，我们可选取开方开不尽的数和含π的数作为示例：
√2是开方开不尽的数，属于无理数；
√3是开方开不尽的数，属于无理数；
π是无限不循环小数，属于无理数；
√5是开方开不尽的数，属于无理数。
符合要求的无理数有很多，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$π$，$\sqrt{5}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对无理数定义的理解，只要能区分有理数和无理数的差异，熟记常见的无理数类型就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
