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2. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
(1) $\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$都是无理数； （）
(2) 无理数可以分为正无理数和负无理数两类； （）
(3) 无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点表示。 （）
(1) $\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$都是无理数； （）
(2) 无理数可以分为正无理数和负无理数两类； （）
(3) 无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点表示。 （）
答案
解：
(1) $\sqrt{4}=2$，是有理数，因此该说法错误，$×$
(2) 0属于有理数，无理数没有0，仅可分为正无理数和负无理数两类，因此该说法正确，$\checkmark$
(3) 有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应，因此有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，该说法正确，$\checkmark$
(1) $\sqrt{4}=2$，是有理数，因此该说法错误，$×$
(2) 0属于有理数，无理数没有0，仅可分为正无理数和负无理数两类，因此该说法正确，$\checkmark$
(3) 有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应，因此有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，该说法正确，$\checkmark$
解析
【分析】
解决本题需要结合无理数、实数的相关概念逐一判断：
1. 判断第(1)题时，首先明确无理数是无限不循环小数，判断带根号的数是否为无理数需要先化简，再根据化简结果判断；
2. 判断第(2)题时，要牢记0属于有理数，不属于无理数，据此分析无理数的分类即可；
3. 判断第(3)题时，回忆实数的定义以及实数与数轴的对应关系：有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应，据此推导判断。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，因此“$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$都是无理数”的说法错误；
(2) 0是有理数，不属于无理数，因此无理数仅可分为正无理数和负无理数两类，该说法正确；
(3) 有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的，因此无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点表示，该说法正确。
【答案】
(1)×；(2)√；(3)√
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类；实数与数轴的关系
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，解题时要注意不要直接认为带根号的数都是无理数，需先化简再判断，同时要准确区分有理数和无理数的范畴，牢记实数与数轴的一一对应关系。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合无理数、实数的相关概念逐一判断：
1. 判断第(1)题时，首先明确无理数是无限不循环小数，判断带根号的数是否为无理数需要先化简，再根据化简结果判断；
2. 判断第(2)题时，要牢记0属于有理数，不属于无理数，据此分析无理数的分类即可；
3. 判断第(3)题时，回忆实数的定义以及实数与数轴的对应关系：有理数和无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应，据此推导判断。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{4}=2$，2是整数，属于有理数，因此“$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$都是无理数”的说法错误；
(2) 0是有理数，不属于无理数，因此无理数仅可分为正无理数和负无理数两类，该说法正确；
(3) 有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的，因此无论是有理数还是无理数，都可以用数轴上的点表示，该说法正确。
【答案】
(1)×；(2)√；(3)√
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类；实数与数轴的关系
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，解题时要注意不要直接认为带根号的数都是无理数，需先化简再判断，同时要准确区分有理数和无理数的范畴，牢记实数与数轴的一一对应关系。
【难度系数】
0.8
3. 整数a满足$\sqrt{19}＜a＜\sqrt{29}$，则a的值为（）。
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
要找到满足$\sqrt{19}＜a＜\sqrt{29}$的整数a，首先需要分别估算出$\sqrt{19}$和$\sqrt{29}$的取值范围，思路如下：第一步，找出与19、29相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定两个无理数的大小范围；第二步，结合a是整数的条件，找出两个范围之间的整数即可得到a的值。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{19}$的取值范围
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{19}＜5$
第二步：估算$\sqrt{29}$的取值范围
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜29＜36$
∴ $\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即 $5＜\sqrt{29}＜6$
第三步：确定整数a的值
结合条件$\sqrt{19}＜a＜\sqrt{29}$，可得$4＜ a ＜6$，又
∵a是整数，
∴a=5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题考查对无理数大小的估算能力，解题核心是找到与被开方数相邻的完全平方数，从而快速确定无理数的取值范围，是实数板块的基础题型，熟练掌握估算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要找到满足$\sqrt{19}＜a＜\sqrt{29}$的整数a，首先需要分别估算出$\sqrt{19}$和$\sqrt{29}$的取值范围，思路如下：第一步，找出与19、29相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定两个无理数的大小范围；第二步，结合a是整数的条件，找出两个范围之间的整数即可得到a的值。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{19}$的取值范围
∵ $4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{19}＜5$
第二步：估算$\sqrt{29}$的取值范围
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜29＜36$
∴ $\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即 $5＜\sqrt{29}＜6$
第三步：确定整数a的值
结合条件$\sqrt{19}＜a＜\sqrt{29}$，可得$4＜ a ＜6$，又
∵a是整数，
∴a=5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题考查对无理数大小的估算能力，解题核心是找到与被开方数相邻的完全平方数，从而快速确定无理数的取值范围，是实数板块的基础题型，熟练掌握估算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 把下列各数填入相应的括号内：
$\frac{1}{3}, -\sqrt{2}, 0, -\sqrt[3]{8}, π, 0.\dot{2}, 0.3030030003···$(每两个3之间0的个数逐次增加).
有理数：$\{ ··· \}$；
无理数：$\{ ··· \}$；
负数：$\{ ··· \}$.
$\frac{1}{3}, -\sqrt{2}, 0, -\sqrt[3]{8}, π, 0.\dot{2}, 0.3030030003···$(每两个3之间0的个数逐次增加).
有理数：$\{ ··· \}$；
无理数：$\{ ··· \}$；
负数：$\{ ··· \}$.
答案
解：
先化简得 $-\sqrt[3]{8}=-2$，
有理数：$\{ \frac{1}{3},\ 0,\ -\sqrt[3]{8},\ 0.\dot{2}\ ··· \}$；
无理数：$\{ -\sqrt{2},\ π,\ 0.3030030003···(每两个3之间0的个数逐次增加)\ ··· \}$；
负数：$\{ -\sqrt{2},\ -\sqrt[3]{8}\ ··· \}$。
先化简得 $-\sqrt[3]{8}=-2$，
有理数：$\{ \frac{1}{3},\ 0,\ -\sqrt[3]{8},\ 0.\dot{2}\ ··· \}$；
无理数：$\{ -\sqrt{2},\ π,\ 0.3030030003···(每两个3之间0的个数逐次增加)\ ··· \}$；
负数：$\{ -\sqrt{2},\ -\sqrt[3]{8}\ ··· \}$。
解析
【分析】
解题时首先要先对题目中可化简的数进行运算，本题先计算出$-\sqrt[3]{8}$的结果，再分别回忆三类数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含所有有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含$π$的数、有规律但不循环的无限小数；负数是小于0的数。之后逐个判断给出的数所属类别，填入对应括号即可。
【解析】
先化简可得：$-\sqrt[3]{8}=-2$，再根据定义分类：
1. 有理数包含整数、分数、无限循环小数，因此符合要求的有$\frac{1}{3}, 0, -\sqrt[3]{8}, 0.\dot{2}$；
2. 无理数是无限不循环小数，因此符合要求的有$-\sqrt{2}, π, 0.3030030003···$(每两个3之间0的个数逐次增加)；
3. 负数是小于0的数，因此符合要求的有$-\sqrt{2}, -\sqrt[3]{8}$。
【答案】
有理数：$\{ \frac{1}{3},\ 0,\ -\sqrt[3]{8},\ 0.\dot{2}\ ··· \}$；
无理数：$\{ -\sqrt{2},\ π,\ 0.3030030003···(每两个3之间0的个数逐次增加)\ ··· \}$；
负数：$\{ -\sqrt{2},\ -\sqrt[3]{8}\ ··· \}$。
【知识点】
实数的分类，有理数的概念，无理数的概念
【点评】
本题属于基础分类题，解题的核心是明确不同类型实数的定义，注意需先对含根式的数化简后再进行分类，避免出现将$-\sqrt[3]{8}$误判为无理数的错误，同时要注意区分无限循环小数和无限不循环小数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要先对题目中可化简的数进行运算，本题先计算出$-\sqrt[3]{8}$的结果，再分别回忆三类数的定义：有理数是整数和分数的统称，包含所有有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含$π$的数、有规律但不循环的无限小数；负数是小于0的数。之后逐个判断给出的数所属类别，填入对应括号即可。
【解析】
先化简可得：$-\sqrt[3]{8}=-2$，再根据定义分类：
1. 有理数包含整数、分数、无限循环小数，因此符合要求的有$\frac{1}{3}, 0, -\sqrt[3]{8}, 0.\dot{2}$；
2. 无理数是无限不循环小数，因此符合要求的有$-\sqrt{2}, π, 0.3030030003···$(每两个3之间0的个数逐次增加)；
3. 负数是小于0的数，因此符合要求的有$-\sqrt{2}, -\sqrt[3]{8}$。
【答案】
有理数：$\{ \frac{1}{3},\ 0,\ -\sqrt[3]{8},\ 0.\dot{2}\ ··· \}$；
无理数：$\{ -\sqrt{2},\ π,\ 0.3030030003···(每两个3之间0的个数逐次增加)\ ··· \}$；
负数：$\{ -\sqrt{2},\ -\sqrt[3]{8}\ ··· \}$。
【知识点】
实数的分类，有理数的概念，无理数的概念
【点评】
本题属于基础分类题，解题的核心是明确不同类型实数的定义，注意需先对含根式的数化简后再进行分类，避免出现将$-\sqrt[3]{8}$误判为无理数的错误，同时要注意区分无限循环小数和无限不循环小数。
【难度系数】
0.8
5. 如图,请将$\sqrt{3}, -\sqrt{7}$与数轴上的A,B两点对应起来,并写出这两个数之间的所有整数.
答案
解：
由 $1^2 ＜ 3 ＜ 2^2$，得 $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，因此点B对应$\sqrt{3}$。
由 $2^2 ＜ 7 ＜ 3^2$，得 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，因此$-3 ＜ -\sqrt{7} ＜ -2$，点A对应$-\sqrt{7}$。
这两个数之间的所有整数为$-2,-1,0,1$。
由 $1^2 ＜ 3 ＜ 2^2$，得 $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，因此点B对应$\sqrt{3}$。
由 $2^2 ＜ 7 ＜ 3^2$，得 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，因此$-3 ＜ -\sqrt{7} ＜ -2$，点A对应$-\sqrt{7}$。
这两个数之间的所有整数为$-2,-1,0,1$。
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先估算两个无理数的取值范围，再结合数轴上点的位置完成对应，最后找出两个数之间的整数。第一步，估算带根号的无理数的范围时，可通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，确定无理数介于哪两个相邻整数之间；第二步，观察数轴上A、B两点所在的区间，和两个无理数的范围一一对应；第三步，根据两个无理数的上下界，找出区间内的所有整数。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围并对应点：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，观察数轴可知点B在1和2之间，因此点B对应$\sqrt{3}$。
2. 估算$-\sqrt{7}$的范围并对应点：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同乘$-1$得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，观察数轴可知点A在-3和-2之间，因此点A对应$-\sqrt{7}$。
3. 找两数之间的整数：
大于$-\sqrt{7}$（即大于-3）且小于$\sqrt{3}$（即小于2）的整数为$-2,-1,0,1$。
【答案】
点A对应$-\sqrt{7}$，点B对应$\sqrt{3}$；这两个数之间的所有整数为$-2,-1,0,1$。
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题是实数部分的基础题型，重点考查利用平方法估算无理数的取值范围，再结合数轴完成实数和点的对应，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是先估算两个无理数的取值范围，再结合数轴上点的位置完成对应，最后找出两个数之间的整数。第一步，估算带根号的无理数的范围时，可通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，确定无理数介于哪两个相邻整数之间；第二步，观察数轴上A、B两点所在的区间，和两个无理数的范围一一对应；第三步，根据两个无理数的上下界，找出区间内的所有整数。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围并对应点：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，观察数轴可知点B在1和2之间，因此点B对应$\sqrt{3}$。
2. 估算$-\sqrt{7}$的范围并对应点：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，不等式两边同乘$-1$得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，观察数轴可知点A在-3和-2之间，因此点A对应$-\sqrt{7}$。
3. 找两数之间的整数：
大于$-\sqrt{7}$（即大于-3）且小于$\sqrt{3}$（即小于2）的整数为$-2,-1,0,1$。
【答案】
点A对应$-\sqrt{7}$，点B对应$\sqrt{3}$；这两个数之间的所有整数为$-2,-1,0,1$。
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴；实数大小比较
【点评】
本题是实数部分的基础题型，重点考查利用平方法估算无理数的取值范围，再结合数轴完成实数和点的对应，掌握无理数的估算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. (1) $\sqrt{13}$的整数、小数部分分别是多少？
(2) 设$m$是$\sqrt{5}$的整数部分，$n$是$\sqrt{5}$的小数部分，试求$m-n$的值。
(2) 设$m$是$\sqrt{5}$的整数部分，$n$是$\sqrt{5}$的小数部分，试求$m-n$的值。
答案
解：
(1) 因为 $3^2=9$，$4^2=16$，且 $9＜13＜16$，
所以 $3＜\sqrt{13}＜4$，
因此 $\sqrt{13}$ 的整数部分是 $3$，小数部分是 $\sqrt{13}-3$。
(2) 因为 $2^2=4$，$3^2=9$，且 $4＜5＜9$，
所以 $2＜\sqrt{5}＜3$，
可得 $\sqrt{5}$ 的整数部分 $m=2$，小数部分 $n=\sqrt{5}-2$，
则 $m-n=2-(\sqrt{5}-2)=4-\sqrt{5}$。
(1) 因为 $3^2=9$，$4^2=16$，且 $9＜13＜16$，
所以 $3＜\sqrt{13}＜4$，
因此 $\sqrt{13}$ 的整数部分是 $3$，小数部分是 $\sqrt{13}-3$。
(2) 因为 $2^2=4$，$3^2=9$，且 $4＜5＜9$，
所以 $2＜\sqrt{5}＜3$，
可得 $\sqrt{5}$ 的整数部分 $m=2$，小数部分 $n=\sqrt{5}-2$，
则 $m-n=2-(\sqrt{5}-2)=4-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题考查无理数的整数、小数部分求解及相关代数式计算，解题思路如下：①要确定无理数的整数部分，先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，据此判断无理数介于哪两个相邻正整数之间，较小的正整数就是该无理数的整数部分；②无理数的小数部分等于无理数本身减去它的整数部分；③第二问先按上述方法求出m、n的取值，再代入代数式计算即可，计算时注意去括号的符号变化。
【解析】
(1) 因为 $3^2=9$，$4^2=16$，且 $9＜13＜16$，
所以 $3＜\sqrt{13}＜4$，
因此 $\sqrt{13}$ 的整数部分是 $3$，小数部分是 $\sqrt{13}-3$。
(2) 因为 $2^2=4$，$3^2=9$，且 $4＜5＜9$，
所以 $2＜\sqrt{5}＜3$，
可得 $\sqrt{5}$ 的整数部分 $m=2$，小数部分 $n=\sqrt{5}-2$，
则 $m-n=2-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 整数部分是3，小数部分是$\sqrt{13}-3$；
(2) $4-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，明确无理数的小数部分为原数减去其整数部分的规律，计算时代入数值注意去括号的符号规则，熟练掌握该方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
本题考查无理数的整数、小数部分求解及相关代数式计算，解题思路如下：①要确定无理数的整数部分，先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，据此判断无理数介于哪两个相邻正整数之间，较小的正整数就是该无理数的整数部分；②无理数的小数部分等于无理数本身减去它的整数部分；③第二问先按上述方法求出m、n的取值，再代入代数式计算即可，计算时注意去括号的符号变化。
【解析】
(1) 因为 $3^2=9$，$4^2=16$，且 $9＜13＜16$，
所以 $3＜\sqrt{13}＜4$，
因此 $\sqrt{13}$ 的整数部分是 $3$，小数部分是 $\sqrt{13}-3$。
(2) 因为 $2^2=4$，$3^2=9$，且 $4＜5＜9$，
所以 $2＜\sqrt{5}＜3$，
可得 $\sqrt{5}$ 的整数部分 $m=2$，小数部分 $n=\sqrt{5}-2$，
则 $m-n=2-(\sqrt{5}-2)=2-\sqrt{5}+2=4-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 整数部分是3，小数部分是$\sqrt{13}-3$；
(2) $4-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握夹逼法估算无理数大小的方法，明确无理数的小数部分为原数减去其整数部分的规律，计算时代入数值注意去括号的符号规则，熟练掌握该方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
