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10. 教材习题变式 若$(m-1)x^{m^2 + 1} - x = 0$是关于x的一元二次方程，则m的值为（
A.1
B.-1
C.1或-1
D.2
B
）A.1
B.-1
C.1或-1
D.2
答案
根据题意,得$m^2 + 1 = 2$且$m - 1≠0$(未知数的最高次数为2,二次项系数不为0),所以$m = -1$.
解析
【分析】
要确定参数m的值，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{m^2 + 1} - x = 0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2 + 1 = 2$
解得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 1 ≠ 0$
解得$m ≠ 1$
综上，同时满足两个条件的m的值为$-1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的系数要求
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选C选项。只要牢记一元二次方程的两个核心判定条件，先通过最高次数求参数的可能值，再验证二次项系数，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要确定参数m的值，需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程需同时满足两个核心条件：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{m^2 + 1} - x = 0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2 + 1 = 2$
解得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 1 ≠ 0$
解得$m ≠ 1$
综上，同时满足两个条件的m的值为$-1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的系数要求
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选C选项。只要牢记一元二次方程的两个核心判定条件，先通过最高次数求参数的可能值，再验证二次项系数，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
变式|易错题 若方程$(m + 1)x^{|m - 1|} + mx + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m=$
3
.答案
解析
【分析】
要解这道题，需紧扣一元二次方程的定义，一元二次方程需要同时满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则方程最高次就不是2次）。我们先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵方程$(m + 1)x^{|m - 1|} + mx + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数最高次数为2，即$|m-1|=2$
解绝对值方程：当$m-1=2$时，$m=3$；当$m-1=-2$时，$m=-1$，得$m=3$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综合两个条件，排除$m=-1$，故$m=3$
【答案】
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是一元二次方程定义相关的易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接将绝对值方程的两个解都作为结果，因此处理这类问题时一定要逐一验证定义要求的所有条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
要解这道题，需紧扣一元二次方程的定义，一元二次方程需要同时满足两个核心条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则方程最高次就不是2次）。我们先根据最高次数为2列出关于m的绝对值方程，求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵方程$(m + 1)x^{|m - 1|} + mx + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数最高次数为2，即$|m-1|=2$
解绝对值方程：当$m-1=2$时，$m=3$；当$m-1=-2$时，$m=-1$，得$m=3$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$
综合两个条件，排除$m=-1$，故$m=3$
【答案】
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是一元二次方程定义相关的易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接将绝对值方程的两个解都作为结果，因此处理这类问题时一定要逐一验证定义要求的所有条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
11. [2026酒泉第四中学月考]若$x=1$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 + ax - 2b = 0$的一个根，则$2a - 4b$的值是（
A.4
B.-4
C.2
D.-2
B
）A.4
B.-4
C.2
D.-2
答案
将$x = 1$代入$2x^2 + ax - 2b = 0$,得$2 + a - 2b = 0$,$\therefore a - 2b = -2$,$\therefore 2a - 4b = 2(a - 2b)$(整体代入)$= 2×(-2) = -4$.
提分大招
先将方程的根代入方程,得到一个关于字母的式子,若字母的值不易求,则可考虑整体代入求值.
提分大招
先将方程的根代入方程,得到一个关于字母的式子,若字母的值不易求,则可考虑整体代入求值.
解析
【分析】
解题时先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先将x=1代入原方程，得到含有参数a、b的等式，再观察所求代数式2a-4b和所得等式的关联，发现2a-4b可变形为2(a-2b)，无需单独求出a、b的具体值，用整体代入的方法即可算出结果。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$2x^2 + ax - 2b = 0$的一个根，
∴将$x=1$代入方程，等式成立，可得：
$2×1^2 + a×1 - 2b = 0$
整理得：$2 + a - 2b = 0$，
∴$a - 2b = -2$，
∵$2a - 4b = 2(a - 2b)$，
将$a - 2b = -2$整体代入得：
$2a - 4b = 2×(-2) = -4$。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是方程根的应用的基础题型，解题核心是利用方程根的意义建立参数间的关系，结合整体代入的思想简化计算，无需单独求解每个参数，有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。首先将x=1代入原方程，得到含有参数a、b的等式，再观察所求代数式2a-4b和所得等式的关联，发现2a-4b可变形为2(a-2b)，无需单独求出a、b的具体值，用整体代入的方法即可算出结果。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$2x^2 + ax - 2b = 0$的一个根，
∴将$x=1$代入方程，等式成立，可得：
$2×1^2 + a×1 - 2b = 0$
整理得：$2 + a - 2b = 0$，
∴$a - 2b = -2$，
∵$2a - 4b = 2(a - 2b)$，
将$a - 2b = -2$整体代入得：
$2a - 4b = 2×(-2) = -4$。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是方程根的应用的基础题型，解题核心是利用方程根的意义建立参数间的关系，结合整体代入的思想简化计算，无需单独求解每个参数，有效降低计算量。
【难度系数】
0.8
变式 [2024 南充中考] 已知m是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根，则$(m + 5)(m - 1)$的值为
-4
。答案
将$x = m$代入$x^2 + 4x - 1 = 0$,得$m^2 + 4m - 1 = 0$,$\therefore m^2 + 4m = 1$,$\therefore (m + 5)(m - 1) = m^2 - m + 5m - 5 = m^2 + 4m - 5 = 1 - 5 = -4$.
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程，可得到关于m的等式，整理得出m²+4m的值；再将待求的代数式按照多项式乘法法则展开化简，观察化简结果即可发现可以用已得的m²+4m整体代入求值，无需解出m的具体数值，能简化计算，避免出错。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + 4m - 1 = 0$，整理得$m^2 + 4m = 1$
展开$(m+5)(m-1)$：
$(m+5)(m-1) = m^2 - m + 5m - 5 = m^2 + 4m -5$
将$m^2 +4m =1$代入上式得：
原式$=1 -5 = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、多项式乘多项式、整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，无需解出方程的根，通过整体替换即可快速得到结果，是此类代数式求值题的常用解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程，可得到关于m的等式，整理得出m²+4m的值；再将待求的代数式按照多项式乘法法则展开化简，观察化简结果即可发现可以用已得的m²+4m整体代入求值，无需解出m的具体数值，能简化计算，避免出错。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的一个根
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + 4m - 1 = 0$，整理得$m^2 + 4m = 1$
展开$(m+5)(m-1)$：
$(m+5)(m-1) = m^2 - m + 5m - 5 = m^2 + 4m -5$
将$m^2 +4m =1$代入上式得：
原式$=1 -5 = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、多项式乘多项式、整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，无需解出方程的根，通过整体替换即可快速得到结果，是此类代数式求值题的常用解题技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
12. 新趋势·数学文化 [2026丹东东港期末]《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”大意是已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽分别是多少?设门高为x尺,则可列方程为(注:1丈=10尺,1尺=10寸) (
A.$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$
B.$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
C.$x^2 + 10^2 = (x - 6.8)^2$
D.$10^2 + (x + 6.8)^2 = x^2$
A
)A.$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$
B.$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
C.$x^2 + 10^2 = (x - 6.8)^2$
D.$10^2 + (x + 6.8)^2 = x^2$
答案
根据题意得,6尺8寸=6.8尺,所以门宽为$(x - 6.8)$尺.由“勾股定理”可列方程为$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$.
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，再结合已知条件表示出门的宽度，最后利用勾股定理列方程。第一步：将题目中的非标准单位换算为尺，6尺8寸换算为6.8尺，1丈换算为10尺；第二步：已知门高设为x尺，且高比宽多6.8尺，因此宽为高减去多出的长度，即(x-6.8)尺；第三步：矩形的高、宽与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入对应量即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
已知设门高为x尺，由“高比宽多6.8尺”可得，门的宽度为$(x-6.8)$尺。
矩形门的高、宽和对角线构成直角三角形，其中对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$高^2 + 宽^2 = 对角线^2$
将对应量代入得：$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，单位换算，列一元二次方程
【点评】
本题结合传统数学文化命题，既考查基础的单位换算能力，又考查勾股定理在实际几何问题中的应用，解题的核心是准确表示出门宽的代数式，再结合直角三角形的边长关系列式，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先要统一单位，再结合已知条件表示出门的宽度，最后利用勾股定理列方程。第一步：将题目中的非标准单位换算为尺，6尺8寸换算为6.8尺，1丈换算为10尺；第二步：已知门高设为x尺，且高比宽多6.8尺，因此宽为高减去多出的长度，即(x-6.8)尺；第三步：矩形的高、宽与对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入对应量即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
已知设门高为x尺，由“高比宽多6.8尺”可得，门的宽度为$(x-6.8)$尺。
矩形门的高、宽和对角线构成直角三角形，其中对角线为斜边，根据勾股定理可得：
$高^2 + 宽^2 = 对角线^2$
将对应量代入得：$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，单位换算，列一元二次方程
【点评】
本题结合传统数学文化命题，既考查基础的单位换算能力，又考查勾股定理在实际几何问题中的应用，解题的核心是准确表示出门宽的代数式，再结合直角三角形的边长关系列式，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
13. [2026武汉英格中学月考]俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，若不及时复习，则学习过的东西很快就会被遗忘.设每天“遗忘”的百分比为$x$，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（
A.$(1 - x)^2 = 50\%$
B.$(1 + x)^2 = 50\%$
C.$1 - 2x = 50\%$
D.$(1 - x)(1 + x) = 50\%$
A
）A.$(1 - x)^2 = 50\%$
B.$(1 + x)^2 = 50\%$
C.$1 - 2x = 50\%$
D.$(1 - x)(1 + x) = 50\%$
答案
令学习过的知识和技艺的总量为“$a$”,则第一天记得的量为$a(1 - x)$,第二天记得的量为$a(1 - x)^2$.因为“两天不练丢一半”,所以$a(1 - x)^2 = a×50\%$,即$(1 - x)^2 = 50\%$.
解析
【分析】
解题时首先要理解“每天遗忘百分比为x”的含义：每日剩余的知识量是当日开始时存量的$(1-x)$，遗忘的计算基数是前一天的剩余量，而非初始总量。我们可以先设定初始知识总量，依次推导第一天、第二天结束后的剩余知识量，再结合“两天后剩余量为初始总量的50%”的条件列方程，同时注意排除错误选项：B为增长率表达式不符合遗忘情境，C是线性扣减不符合下降率的计算逻辑，D无对应实际意义，即可得出正确结果。
【解析】
设学习过的知识和技艺的初始总量为$a$，
第一天结束后，剩余知识量为：$a(1-x)$
第二天在第一天剩余量的基础上继续遗忘$x$，因此第二天结束后剩余知识量为：$a(1-x) · (1-x) = a(1-x)^2$
根据“两天不练丢一半”，即两天后剩余量为初始总量的50%，可得等式：
$a(1-x)^2 = 50\% · a$
两边同时除以不为0的$a$，化简得：$(1-x)^2 = 50\%$
因此符合要求的方程为A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 下降率问题
2. 一元二次方程列写
【点评】
本题结合生活俗语考查百分率变化的方程应用，核心是明确下降率的计算基数是前一阶段的剩余量，而非初始总量，属于基础常考题型，能有效考查学生对百分率变化逻辑的理解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解“每天遗忘百分比为x”的含义：每日剩余的知识量是当日开始时存量的$(1-x)$，遗忘的计算基数是前一天的剩余量，而非初始总量。我们可以先设定初始知识总量，依次推导第一天、第二天结束后的剩余知识量，再结合“两天后剩余量为初始总量的50%”的条件列方程，同时注意排除错误选项：B为增长率表达式不符合遗忘情境，C是线性扣减不符合下降率的计算逻辑，D无对应实际意义，即可得出正确结果。
【解析】
设学习过的知识和技艺的初始总量为$a$，
第一天结束后，剩余知识量为：$a(1-x)$
第二天在第一天剩余量的基础上继续遗忘$x$，因此第二天结束后剩余知识量为：$a(1-x) · (1-x) = a(1-x)^2$
根据“两天不练丢一半”，即两天后剩余量为初始总量的50%，可得等式：
$a(1-x)^2 = 50\% · a$
两边同时除以不为0的$a$，化简得：$(1-x)^2 = 50\%$
因此符合要求的方程为A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 下降率问题
2. 一元二次方程列写
【点评】
本题结合生活俗语考查百分率变化的方程应用，核心是明确下降率的计算基数是前一阶段的剩余量，而非初始总量，属于基础常考题型，能有效考查学生对百分率变化逻辑的理解。
【难度系数】
0.8
14. [2026厦门一中月考]若关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$满足$a + b + c = 0$，则该方程必有一个根是（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$
答案
把$x = 1$代入方程$ax^2 + bx + c = 0$,得$a + b + c = 0$,故该方程必有一个根是$x = 1$.
解析
【分析】
我们可以从方程根的定义出发思考：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。题目给出了$a+b+c=0$的条件，我们只需要找到$x$取哪个值时，代入$ax^2+bx+c$后可以得到$a+b+c$的形式，就能判断出对应的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将数值代入方程验证：
当$x=1$时，代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，可得：
$a×1^2 + b×1 + c = a + b + c$
已知$a+b+c=0$，即此时左边等于右边，满足方程成立的条件，因此$x=1$是该方程的一个根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入验证法
【点评】
本题是方程根的定义的基础应用，解题时通过观察已知等式的结构特征，结合代入验证的方法即可快速求解，不需要复杂的计算。
【难度系数】
0.9
我们可以从方程根的定义出发思考：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。题目给出了$a+b+c=0$的条件，我们只需要找到$x$取哪个值时，代入$ax^2+bx+c$后可以得到$a+b+c$的形式，就能判断出对应的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将数值代入方程验证：
当$x=1$时，代入方程$ax^2+bx+c=0$的左边，可得：
$a×1^2 + b×1 + c = a + b + c$
已知$a+b+c=0$，即此时左边等于右边，满足方程成立的条件，因此$x=1$是该方程的一个根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入验证法
【点评】
本题是方程根的定义的基础应用，解题时通过观察已知等式的结构特征，结合代入验证的方法即可快速求解，不需要复杂的计算。
【难度系数】
0.9
变式1 [2025无锡江阴期中]若关于x的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$满足$a - b + c = 0$，$4a - 2b + c = 0$，则该方程的根是（
A.$-1,2$
B.$-1,-2$
C.$1,-1$
D.$2,-1$
B
）A.$-1,2$
B.$-1,-2$
C.$1,-1$
D.$2,-1$
答案
把$x = -1$,$x = -2$分别代入方程$ax^2 + bx + c = 0$,得$a - b + c = 0$,$4a - 2b + c = 0$,$\therefore$ 该方程的根是$x_1 = -1$,$x_2 = -2$.
解析
【分析】
解题核心是运用一元二次方程根的定义：若某个x的值代入方程$ax^2+bx+c=0$后，等号左右两边相等，则这个x就是方程的根。观察题目给出的$a-b+c=0$、$4a-2b+c=0$两个等式，只需找出x取何值时，$ax^2+bx+c$可变形为这两个等式的形式，即可直接确定方程的根，也可将选项中的值逐一代入验证。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若左边等于0，则该值为方程的根：
1. 验证$x=-1$：把$x=-1$代入方程左边，得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，已知$a - b + c = 0$，左边等于右边，因此$x=-1$是方程的根；
2. 验证$x=-2$：把$x=-2$代入方程左边，得$a×(-2)^2 + b×(-2) + c = 4a - 2b + c$，已知$4a - 2b + c = 0$，左边等于右边，因此$x=-2$是方程的根。
综上，该方程的根为$x_1=-1$，$x_2=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法验证方程的根
【点评】
本题是基础常考题，重点考查一元二次方程根的定义的应用，无需复杂计算，熟练掌握根的定义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题核心是运用一元二次方程根的定义：若某个x的值代入方程$ax^2+bx+c=0$后，等号左右两边相等，则这个x就是方程的根。观察题目给出的$a-b+c=0$、$4a-2b+c=0$两个等式，只需找出x取何值时，$ax^2+bx+c$可变形为这两个等式的形式，即可直接确定方程的根，也可将选项中的值逐一代入验证。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若左边等于0，则该值为方程的根：
1. 验证$x=-1$：把$x=-1$代入方程左边，得$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，已知$a - b + c = 0$，左边等于右边，因此$x=-1$是方程的根；
2. 验证$x=-2$：把$x=-2$代入方程左边，得$a×(-2)^2 + b×(-2) + c = 4a - 2b + c$，已知$4a - 2b + c = 0$，左边等于右边，因此$x=-2$是方程的根。
综上，该方程的根为$x_1=-1$，$x_2=-2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代入法验证方程的根
【点评】
本题是基础常考题，重点考查一元二次方程根的定义的应用，无需复杂计算，熟练掌握根的定义即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
变式2 [2026安阳内黄质检]若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$满足$9a + 3b + c = 0$，$9a - 3b + c = 0$，则该方程的根是
$x_1=3,x_2=-3$
。答案
$x_1 = 3,x_2 = -3$
提分大招
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$,(1)若$a ± b + c = 0$,则$x = ±1$是该方程的一个根;(2)若$4a ± 2b + c = 0$,则$x = ±2$是该方程的一个根;(3)若$9a ± 3b + c = 0$,则$x = ±3$是该方程的一个根.观察式子,可知当$a$的系数是$b$的系数的平方时,$b$的系数即为原一元二次方程的一个根(二级结论).
提分大招
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$,(1)若$a ± b + c = 0$,则$x = ±1$是该方程的一个根;(2)若$4a ± 2b + c = 0$,则$x = ±2$是该方程的一个根;(3)若$9a ± 3b + c = 0$,则$x = ±3$是该方程的一个根.观察式子,可知当$a$的系数是$b$的系数的平方时,$b$的系数即为原一元二次方程的一个根(二级结论).
解析
【分析】
解题思路：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。观察已知给出的两个等式，将等式与把x代入方程后得到的$ax^2+bx+c$的形式做对比，找到使$ax^2+bx+c$等于给定式子的x的取值，即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：若将$x=m$代入方程$ax^2+bx+c=0$后，等式$am^2+bm+c=0$成立，则$x=m$是该方程的根。
1. 观察等式$9a + 3b + c = 0$，可变形为$a· 3^2 + b· 3 + c = 0$，该式对应将$x=3$代入方程左边的计算结果，因此$x_1=3$是方程的根；
2. 观察等式$9a - 3b + c = 0$，可变形为$a· (-3)^2 + b· (-3) + c = 0$，该式对应将$x=-3$代入方程左边的计算结果，因此$x_2=-3$是方程的根。
一元二次方程最多有2个实数根，因此可得该方程的根。
【答案】
$x_1=3,x_2=-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的典型应用，解题的核心是建立已知等式和方程代入求值形式的对应关系，掌握此类规律可快速得到对应方程的根，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。观察已知给出的两个等式，将等式与把x代入方程后得到的$ax^2+bx+c$的形式做对比，找到使$ax^2+bx+c$等于给定式子的x的取值，即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：若将$x=m$代入方程$ax^2+bx+c=0$后，等式$am^2+bm+c=0$成立，则$x=m$是该方程的根。
1. 观察等式$9a + 3b + c = 0$，可变形为$a· 3^2 + b· 3 + c = 0$，该式对应将$x=3$代入方程左边的计算结果，因此$x_1=3$是方程的根；
2. 观察等式$9a - 3b + c = 0$，可变形为$a· (-3)^2 + b· (-3) + c = 0$，该式对应将$x=-3$代入方程左边的计算结果，因此$x_2=-3$是方程的根。
一元二次方程最多有2个实数根，因此可得该方程的根。
【答案】
$x_1=3,x_2=-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式变形
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的典型应用，解题的核心是建立已知等式和方程代入求值形式的对应关系，掌握此类规律可快速得到对应方程的根，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
15. [2026沈阳新民期末]定义:关于$x$的一元二次方程$cx^2 + bx + a = 0$是$ax^2 + bx + c = 0$的倒方程(其中$a,b,c$为常数,$ac≠0$).
(1)一元二次方程$-4x^2 + 3x + 1 = 0$的倒方程是
(2)若$x = -1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$的倒方程的解,求$c$的值.
(1)一元二次方程$-4x^2 + 3x + 1 = 0$的倒方程是
$x^2+3x-4=0$
.(2)若$x = -1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$的倒方程的解,求$c$的值.
答案
(1)$x^2 + 3x - 4 = 0$
(2)根据题意得,$x^2 - 2x + c = 0$的倒方程为$cx^2 - 2x + 1 = 0$.
将$x = -1$代入$cx^2 - 2x + 1 = 0$,
可得$c + 2 + 1 = 0$,解得$c = -3$.
(2)根据题意得,$x^2 - 2x + c = 0$的倒方程为$cx^2 - 2x + 1 = 0$.
将$x = -1$代入$cx^2 - 2x + 1 = 0$,
可得$c + 2 + 1 = 0$,解得$c = -3$.
解析
【分析】
本题围绕“倒方程”的新定义展开解题：
(1) 首先明确倒方程的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数和常数项互换位置，一次项系数不变，即可得到对应的倒方程$cx^2+bx+a=0$，直接套用定义即可求解第一小问。
(2) 第二小问先根据倒方程定义写出原方程对应的倒方程，再根据方程的解的性质：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值。
【解析】
(1) 原一元二次方程为$-4x^2+3x+1=0$，对应$ax^2+bx+c=0$中，$a=-4$，$b=3$，$c=1$，根据倒方程定义，其倒方程为$cx^2+bx+a=0$，代入得$1· x^2 + 3x + (-4) = 0$，即$x^2+3x-4=0$。
(2) 先求原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程：对应$ax^2+bx+c=0$中，$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，因此倒方程为$cx^2 - 2x + 1 = 0$。
已知$x=-1$是该倒方程的解，将$x=-1$代入倒方程得：
$c× (-1)^2 - 2× (-1) + 1 = 0$
化简得：$c + 2 + 1 = 0$
解得：$c=-3$
【答案】
(1)$x^2 + 3x - 4 = 0$
(2)$c=-3$
【知识点】
新定义应用，一元二次方程的解，代入求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解“倒方程”的定义，再结合方程解的性质代入计算即可，做题时注意不要混淆系数位置，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题围绕“倒方程”的新定义展开解题：
(1) 首先明确倒方程的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数和常数项互换位置，一次项系数不变，即可得到对应的倒方程$cx^2+bx+a=0$，直接套用定义即可求解第一小问。
(2) 第二小问先根据倒方程定义写出原方程对应的倒方程，再根据方程的解的性质：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值。
【解析】
(1) 原一元二次方程为$-4x^2+3x+1=0$，对应$ax^2+bx+c=0$中，$a=-4$，$b=3$，$c=1$，根据倒方程定义，其倒方程为$cx^2+bx+a=0$，代入得$1· x^2 + 3x + (-4) = 0$，即$x^2+3x-4=0$。
(2) 先求原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程：对应$ax^2+bx+c=0$中，$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，因此倒方程为$cx^2 - 2x + 1 = 0$。
已知$x=-1$是该倒方程的解，将$x=-1$代入倒方程得：
$c× (-1)^2 - 2× (-1) + 1 = 0$
化简得：$c + 2 + 1 = 0$
解得：$c=-3$
【答案】
(1)$x^2 + 3x - 4 = 0$
(2)$c=-3$
【知识点】
新定义应用，一元二次方程的解，代入求值
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解“倒方程”的定义，再结合方程解的性质代入计算即可，做题时注意不要混淆系数位置，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.8
