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1. 下列方程可以用直接开平方法求解的是（
A.$x^2 + 2x = 0$
B.$3x^2 = 27$
C.$9x^2 = 16x$
D.$x - 6 = x^2 - 4$
B
）A.$x^2 + 2x = 0$
B.$3x^2 = 27$
C.$9x^2 = 16x$
D.$x - 6 = x^2 - 4$
答案
1 B 只有形如$x^2 = p(p≥0)$的一元二次方程可以用直接开平方法求解.
解析
【分析】
首先明确直接开平方法的适用条件：一元二次方程必须能转化为$x^2=p$（$p≥0$）或者含未知数的完全平方式等于非负常数的形式，解题时只需逐一将各选项的方程化简，判断是否符合该形式即可。
【解析】
直接开平方法适用于可化为$x^2=p$（$p≥0$）形式的一元二次方程，我们逐一分析选项：
A. $x^2+2x=0$，左边含一次项，无法直接写成未知数的平方等于非负常数的形式，不能用直接开平方法；
B. $3x^2=27$，两边同时除以3得$x^2=9$，符合$x^2=p$（$p=9≥0$）的形式，可直接开平方求解；
C. $9x^2=16x$，移项得$9x^2-16x=0$，左边含一次项，无法转化为符合要求的形式，不能用直接开平方法；
D. 整理方程$x-6=x^2-4$得$x^2-x+2=0$，无法转化为平方等于非负常数的形式，且无实数根，不能用直接开平方法。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法的适用条件、一元二次方程的化简
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的适用范围，解题的核心是准确识别可直接开平方的方程结构特征，对各选项方程进行快速化简判断即可。
【难度系数】
0.9
首先明确直接开平方法的适用条件：一元二次方程必须能转化为$x^2=p$（$p≥0$）或者含未知数的完全平方式等于非负常数的形式，解题时只需逐一将各选项的方程化简，判断是否符合该形式即可。
【解析】
直接开平方法适用于可化为$x^2=p$（$p≥0$）形式的一元二次方程，我们逐一分析选项：
A. $x^2+2x=0$，左边含一次项，无法直接写成未知数的平方等于非负常数的形式，不能用直接开平方法；
B. $3x^2=27$，两边同时除以3得$x^2=9$，符合$x^2=p$（$p=9≥0$）的形式，可直接开平方求解；
C. $9x^2=16x$，移项得$9x^2-16x=0$，左边含一次项，无法转化为符合要求的形式，不能用直接开平方法；
D. 整理方程$x-6=x^2-4$得$x^2-x+2=0$，无法转化为平方等于非负常数的形式，且无实数根，不能用直接开平方法。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法的适用条件、一元二次方程的化简
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的适用范围，解题的核心是准确识别可直接开平方的方程结构特征，对各选项方程进行快速化简判断即可。
【难度系数】
0.9
2. [2025天津红桥区期中] 将一元二次方程$(x-6)^2=25$转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是$x-6=5$，则另一个一元一次方程是（
A.$x-6=-5$
B.$x-6=5$
C.$x+6=-5$
D.$x+6=5$
A
）A.$x-6=-5$
B.$x-6=5$
C.$x+6=-5$
D.$x+6=5$
答案
2 A
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法的依据是平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，即平方等于正数的数有两个，二者互为相反数。本题中将$x-6$看作整体，它是25的两个平方根，已知其中一个平方根为5，即可推出另一个平方根为$-5$，进而得到另一个一元一次方程。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x-6)^2=25$，根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，可得：
$x-6=\pm5$
因此可拆分得到两个一元一次方程：$x-6=5$和$x-6=-5$，
已知其中一个一元一次方程是$x-6=5$，则另一个为$x-6=-5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查对直接开平方法的理解，解题时要注意把括号内的代数式看作整体，开平方时不要遗漏负的平方根，掌握该方法是学习更复杂一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法的依据是平方根的性质：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$，即平方等于正数的数有两个，二者互为相反数。本题中将$x-6$看作整体，它是25的两个平方根，已知其中一个平方根为5，即可推出另一个平方根为$-5$，进而得到另一个一元一次方程。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x-6)^2=25$，根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，可得：
$x-6=\pm5$
因此可拆分得到两个一元一次方程：$x-6=5$和$x-6=-5$，
已知其中一个一元一次方程是$x-6=5$，则另一个为$x-6=-5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查对直接开平方法的理解，解题时要注意把括号内的代数式看作整体，开平方时不要遗漏负的平方根，掌握该方法是学习更复杂一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.9
3. [2026深圳实验学校月考]若关于$x$的方程$(x-4)^2 = m+1$有解，则（
A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
B
）A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞-1$
D.$m＞1$
答案
3 B 根据题意,得$m + 1≥0$,解得$m≥-1$.
解析
【分析】
解题的核心依据是平方数的非负性：任意实数的平方都大于或等于0。方程左边是$(x-4)$的平方，取值范围恒为非负数，要让方程有解，等号右边的$m+1$也必须是非负数，我们只需列出关于$m$的不等式，求解后即可匹配正确选项。
【解析】
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-4)^2 ≥ 0$，
又
∵ 方程$(x-4)^2 = m+1$有解，
∴ $m+1 ≥ 0$，
解得$m ≥ -1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程有解的判定，只要掌握平方的非负性，结合直接开平方法的适用条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是平方数的非负性：任意实数的平方都大于或等于0。方程左边是$(x-4)$的平方，取值范围恒为非负数，要让方程有解，等号右边的$m+1$也必须是非负数，我们只需列出关于$m$的不等式，求解后即可匹配正确选项。
【解析】
∵ 对任意实数$x$，都有$(x-4)^2 ≥ 0$，
又
∵ 方程$(x-4)^2 = m+1$有解，
∴ $m+1 ≥ 0$，
解得$m ≥ -1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方的非负性；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程有解的判定，只要掌握平方的非负性，结合直接开平方法的适用条件即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 新趋势·开放题 若关于x的方程$x^2 + m = 0$有整数根，则m的值可以是
-1(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
4 -1(答案不唯一) $\because x^2 + m = 0,\therefore x^2 = -m.\because$ 方程$x^2 + m = 0$有整数根,$\therefore -m$ 为完全平方数,$\therefore m$ 的值可以是 -1.
解析
【分析】
解题时先对原方程移项变形，得到$x^2=-m$。结合直接开平方法的要求，首先$-m$需为非负数才能保证方程有实根；题目要求方程有整数根，即x为整数，因此$x^2$（也就是$-m$）必须是非负的完全平方数。我们只需任取一个非负完全平方数作为$-m$的值，即可求出对应的符合要求的m。
【解析】
对原方程移项，得：$x^2 = -m$。
∵ 关于x的方程$x^2 + m = 0$有整数根，
∴ x为整数，因此$x^2$是非负的完全平方数，即$-m$为非负完全平方数。
当取$-m=1$时，$m=-1$，此时方程的根为$x=\pm1$，均为整数，满足要求。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程根的定义，完全平方数
【点评】
本题是开放类习题，考查对直接开平方法解一元二次方程的掌握，只要理解整数根的对应条件即可写出答案，灵活性较强，答案不唯一，符合条件即可。
【难度系数】
0.9
解题时先对原方程移项变形，得到$x^2=-m$。结合直接开平方法的要求，首先$-m$需为非负数才能保证方程有实根；题目要求方程有整数根，即x为整数，因此$x^2$（也就是$-m$）必须是非负的完全平方数。我们只需任取一个非负完全平方数作为$-m$的值，即可求出对应的符合要求的m。
【解析】
对原方程移项，得：$x^2 = -m$。
∵ 关于x的方程$x^2 + m = 0$有整数根，
∴ x为整数，因此$x^2$是非负的完全平方数，即$-m$为非负完全平方数。
当取$-m=1$时，$m=-1$，此时方程的根为$x=\pm1$，均为整数，满足要求。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
直接开平方法，一元二次方程根的定义，完全平方数
【点评】
本题是开放类习题，考查对直接开平方法解一元二次方程的掌握，只要理解整数根的对应条件即可写出答案，灵活性较强，答案不唯一，符合条件即可。
【难度系数】
0.9
5. 若关于x的一元二次方程$ax^2=1(a＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$,则这两个根分别是
$x_1=2,x_2=-2$
.答案
5 $x_1=2,x_2=-2$ $\because$ 方程 $ax^2 = 1(a ＞ 0)$ 的两个根互为相反数,$\therefore (m + 1) + (2m - 4) = 0$, 解得 $m = 1$,$\therefore m + 1 = 2$,$2m - 4 = -2$, 即 $x_1 = 2$,$x_2 = -2$.
解析
【分析】
首先，方程$ax^2=1(a＞0)$可变形为$x^2=\frac{1}{a}$，用直接开平方法求解可知，正数有两个互为相反数的平方根，因此该方程的两个根互为相反数。已知方程的两个根为$m+1$和$2m-4$，根据互为相反数的两数之和为0，可列出关于$m$的一元一次方程，解出$m$后代入根的表达式，即可求出两个根的具体值。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2=1(a＞0)$可变形为$x^2=\frac{1}{a}$，当$a＞0$时$\frac{1}{a}＞0$，
$\therefore$ 该方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0，
$\therefore (m+1)+(2m-4)=0$，
整理得$3m-3=0$，解得$m=1$，
将$m=1$代入根的表达式得：$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题为基础类题型，解题关键是掌握直接开平方法解一元二次方程时，正数的两个平方根互为相反数的性质，结合方程思想求解参数即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先，方程$ax^2=1(a＞0)$可变形为$x^2=\frac{1}{a}$，用直接开平方法求解可知，正数有两个互为相反数的平方根，因此该方程的两个根互为相反数。已知方程的两个根为$m+1$和$2m-4$，根据互为相反数的两数之和为0，可列出关于$m$的一元一次方程，解出$m$后代入根的表达式，即可求出两个根的具体值。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2=1(a＞0)$可变形为$x^2=\frac{1}{a}$，当$a＞0$时$\frac{1}{a}＞0$，
$\therefore$ 该方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0，
$\therefore (m+1)+(2m-4)=0$，
整理得$3m-3=0$，解得$m=1$，
将$m=1$代入根的表达式得：$m+1=1+1=2$，$2m-4=2×1-4=-2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题为基础类题型，解题关键是掌握直接开平方法解一元二次方程时，正数的两个平方根互为相反数的性质，结合方程思想求解参数即可得到结果。
【难度系数】
0.8
6. 用直接开平方法解下列方程:
(1)$(x - 2)^2 - 4 = 0$;
(2)$3(x + 1)^2 = \frac{1}{3}$;
(3)$2x^2 + 3 = -2x^2 + 2$;
(4)$(2x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16}$.
(1)$(x - 2)^2 - 4 = 0$;
(2)$3(x + 1)^2 = \frac{1}{3}$;
(3)$2x^2 + 3 = -2x^2 + 2$;
(4)$(2x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16}$.
答案
6 解:(1)$(x - 2)^2 - 4 = 0$,移项,得$(x - 2)^2 = 4$,
直接开平方,得$x - 2 = 2$或$x - 2 = -2$,解得$x_1 = 4$,$x_2 = 0$.
(2)$3(x + 1)^2 = \frac{1}{3}$,方程两边都除以3,得$(x + 1)^2 = \frac{1}{9}$,
直接开平方,得$x + 1 = \frac{1}{3}$或$x + 1 = -\frac{1}{3}$,
解得$x_1 = -\frac{2}{3}$,$x_2 = -\frac{4}{3}$.
(3)$2x^2 + 3 = -2x^2 + 2$,移项、合并同类项,得$4x^2 = -1$,
$\because -1 ＜ 0$,$\therefore$ 原方程没有实数根.
(4)$(2x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16}$,
直接开平方,得$2x - \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$或$2x - \frac{1}{3} = -\frac{1}{4}$,
解得$x_1 = \frac{7}{24}$,$x_2 = \frac{1}{24}$.
直接开平方,得$x - 2 = 2$或$x - 2 = -2$,解得$x_1 = 4$,$x_2 = 0$.
(2)$3(x + 1)^2 = \frac{1}{3}$,方程两边都除以3,得$(x + 1)^2 = \frac{1}{9}$,
直接开平方,得$x + 1 = \frac{1}{3}$或$x + 1 = -\frac{1}{3}$,
解得$x_1 = -\frac{2}{3}$,$x_2 = -\frac{4}{3}$.
(3)$2x^2 + 3 = -2x^2 + 2$,移项、合并同类项,得$4x^2 = -1$,
$\because -1 ＜ 0$,$\therefore$ 原方程没有实数根.
(4)$(2x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16}$,
直接开平方,得$2x - \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$或$2x - \frac{1}{3} = -\frac{1}{4}$,
解得$x_1 = \frac{7}{24}$,$x_2 = \frac{1}{24}$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“(含未知数的整式)²=非负常数”的形式，再根据平方根的性质开平方得到两个一元一次方程求解，若等号右侧常数为负，则方程无实数根。
解题时逐题对应思路：(1)先移项将常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于正数的形式，再开平方求解；(2)先将完全平方式的系数化为1，再开平方求解；(3)先移项、合并同类项，整理为x²等于常数的形式，发现常数为负，即可判断无实根；(4)直接对等式两边开平方，再解一元一次方程即可。
【解析】
(1) $(x - 2)^2 - 4 = 0$，移项，得$(x - 2)^2 = 4$，
直接开平方，得$x - 2 = 2$或$x - 2 = -2$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 0$。
(2) $3(x + 1)^2 = \frac{1}{3}$，方程两边都除以3，得$(x + 1)^2 = \frac{1}{9}$，
直接开平方，得$x + 1 = \frac{1}{3}$或$x + 1 = -\frac{1}{3}$，
解得$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = -\frac{4}{3}$。
(3) $2x^2 + 3 = -2x^2 + 2$，移项、合并同类项，得$4x^2 = -1$，
$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$ 原方程没有实数根。
(4) $(2x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16}$，
直接开平方，得$2x - \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$或$2x - \frac{1}{3} = -\frac{1}{4}$，
解得$x_1 = \frac{7}{24}$，$x_2 = \frac{1}{24}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；(2)$x_1=-\frac{2}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；(3)原方程没有实数根；(4)$x_1=\frac{7}{24},x_2=\frac{1}{24}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元二次方程实根判断
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了该方法的常见题型，能帮助同学们熟练掌握直接开平方法的解题步骤，解题时需注意开平方时不要遗漏负根，同时要注意当完全平方式等于负数时，方程无实数根。
【难度系数】
0.85
直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为“(含未知数的整式)²=非负常数”的形式，再根据平方根的性质开平方得到两个一元一次方程求解，若等号右侧常数为负，则方程无实数根。
解题时逐题对应思路：(1)先移项将常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于正数的形式，再开平方求解；(2)先将完全平方式的系数化为1，再开平方求解；(3)先移项、合并同类项，整理为x²等于常数的形式，发现常数为负，即可判断无实根；(4)直接对等式两边开平方，再解一元一次方程即可。
【解析】
(1) $(x - 2)^2 - 4 = 0$，移项，得$(x - 2)^2 = 4$，
直接开平方，得$x - 2 = 2$或$x - 2 = -2$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 0$。
(2) $3(x + 1)^2 = \frac{1}{3}$，方程两边都除以3，得$(x + 1)^2 = \frac{1}{9}$，
直接开平方，得$x + 1 = \frac{1}{3}$或$x + 1 = -\frac{1}{3}$，
解得$x_1 = -\frac{2}{3}$，$x_2 = -\frac{4}{3}$。
(3) $2x^2 + 3 = -2x^2 + 2$，移项、合并同类项，得$4x^2 = -1$，
$\because -1 ＜ 0$，$\therefore$ 原方程没有实数根。
(4) $(2x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{16}$，
直接开平方，得$2x - \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$或$2x - \frac{1}{3} = -\frac{1}{4}$，
解得$x_1 = \frac{7}{24}$，$x_2 = \frac{1}{24}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=0$；(2)$x_1=-\frac{2}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；(3)原方程没有实数根；(4)$x_1=\frac{7}{24},x_2=\frac{1}{24}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元二次方程实根判断
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了该方法的常见题型，能帮助同学们熟练掌握直接开平方法的解题步骤，解题时需注意开平方时不要遗漏负根，同时要注意当完全平方式等于负数时，方程无实数根。
【难度系数】
0.85
7. 已知关于x的一元二次方程$2x^2 - m = 0$.
(1) 若$x = 2$是该方程的一个实数根，求m的值.
(2) 当$m = 4$时，求该方程的实数根.
(1) 若$x = 2$是该方程的一个实数根，求m的值.
(2) 当$m = 4$时，求该方程的实数根.
答案
7 解:(1)将$x = 2$代入$2x^2 - m = 0$,
得$2×2^2 - m = 0$,解得$m = 8$.
(2)当$m = 4$时,$2x^2 - m = 0$变为$2x^2 - 4 = 0$,
$\therefore 2x^2 = 4$,$\therefore x^2 = 2$,解得$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$.
得$2×2^2 - m = 0$,解得$m = 8$.
(2)当$m = 4$时,$2x^2 - m = 0$变为$2x^2 - 4 = 0$,
$\therefore 2x^2 = 4$,$\therefore x^2 = 2$,解得$x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$.
解析
【分析】
（1）根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将x=2代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；
（2）把m=4代入原方程后，用直接开平方法求解：先移项将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，最后对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个实数根。
【解析】
(1) 将$x = 2$代入$2x^2 - m = 0$，得：
$2× 2^2 - m = 0$
计算得$8 - m = 0$，解得$m = 8$。
(2) 当$m = 4$时，原方程变为$2x^2 - 4 = 0$，
移项得$2x^2 = 4$，
两边同时除以2得$x^2 = 2$，
开平方得$x = \pm\sqrt{2}$，即$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $m=8$；(2) $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的概念应用和直接开平方法的运算，计算难度低，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
（1）根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将x=2代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；
（2）把m=4代入原方程后，用直接开平方法求解：先移项将常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1，最后对等式两边同时开平方，即可得到方程的两个实数根。
【解析】
(1) 将$x = 2$代入$2x^2 - m = 0$，得：
$2× 2^2 - m = 0$
计算得$8 - m = 0$，解得$m = 8$。
(2) 当$m = 4$时，原方程变为$2x^2 - 4 = 0$，
移项得$2x^2 = 4$，
两边同时除以2得$x^2 = 2$，
开平方得$x = \pm\sqrt{2}$，即$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $m=8$；(2) $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程根的概念应用和直接开平方法的运算，计算难度低，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
8. [2025南阳内乡期中]如图是一个简单的计算程序，若输出的数为-10，求输入的x的值.
答案
8 解:由题意,得$(x + 1)^2 × (-2) = -10$,
方程两边都除以$(-2)$,得$(x + 1)^2 = 5$,
直接开平方,得$x + 1 = \sqrt{5}$或$x + 1 = -\sqrt{5}$,
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$,$x_2 = -1 - \sqrt{5}$.
方程两边都除以$(-2)$,得$(x + 1)^2 = 5$,
直接开平方,得$x + 1 = \sqrt{5}$或$x + 1 = -\sqrt{5}$,
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$,$x_2 = -1 - \sqrt{5}$.
解析
【分析】首先明确计算程序的运算顺序：输入x后，先计算x与1的和，再对和取平方，最后将平方的结果乘-2得到输出值。已知输出结果为-10，我们可以根据这个运算顺序列出关于x的一元二次方程，再将$(x+1)$看作整体，用直接开平方法求解方程即可得到输入的x的值。
【解析】
解：由题意，得$(x + 1)^2 × (-2) = -10$，
方程两边都除以$(-2)$，得$(x + 1)^2 = 5$，
直接开平方，得$x + 1 = \sqrt{5}$或$x + 1 = -\sqrt{5}$，
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$。
【答案】$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
【知识点】根据运算程序列方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】本题结合运算程序考查一元二次方程的求解，解题核心是准确按照运算顺序列出方程，求解时要注意正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：由题意，得$(x + 1)^2 × (-2) = -10$，
方程两边都除以$(-2)$，得$(x + 1)^2 = 5$，
直接开平方，得$x + 1 = \sqrt{5}$或$x + 1 = -\sqrt{5}$，
解得$x_1 = -1 + \sqrt{5}$，$x_2 = -1 - \sqrt{5}$。
【答案】$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$
【知识点】根据运算程序列方程；直接开平方法解一元二次方程
【点评】本题结合运算程序考查一元二次方程的求解，解题核心是准确按照运算顺序列出方程，求解时要注意正数开平方会得到两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9. [2025北京海淀区期中]若$a*b = ab - b$，求$(2x + 1)*x = 8$的解.
答案
9 解:根据题意,得$(2x + 1) * x = (2x + 1)x - x = 2x^2 + x - x = 8$,
整理得,$2x^2 = 8$,方程两边都除以2,得$x^2 = 4$,
直接开平方,得$x_1 = 2$,$x_2 = -2$.
整理得,$2x^2 = 8$,方程两边都除以2,得$x^2 = 4$,
直接开平方,得$x_1 = 2$,$x_2 = -2$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算结合一元二次方程求解的题型。解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则$a*b=ab-b$，即两个数进行*运算的结果等于第一个数与第二个数的乘积减去第二个数；接下来将待求式子中的$2x+1$看作规则里的$a$，$x$看作规则里的$b$，代入后即可得到关于$x$的常规方程，再将方程化简整理为$x^2=$常数的形式，用直接开平方法就能求出方程的解。
【解析】
根据题中定义的新运算规则，可得：
$(2x+1)*x=(2x+1)x - x = 8$
展开计算得：$2x^2 + x - x = 8$
化简后得：$2x^2 = 8$
方程两边同时除以2，得：$x^2 = 4$
直接开平方得：$x=\pm2$
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
新定义运算、直接开平方法、一元二次方程求解
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法相结合，解题核心是正确理解新运算的规则，准确代入转化为熟悉的常规方程求解，计算难度较低，注意直接开平方时不要漏了负根即可。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算结合一元二次方程求解的题型。解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则$a*b=ab-b$，即两个数进行*运算的结果等于第一个数与第二个数的乘积减去第二个数；接下来将待求式子中的$2x+1$看作规则里的$a$，$x$看作规则里的$b$，代入后即可得到关于$x$的常规方程，再将方程化简整理为$x^2=$常数的形式，用直接开平方法就能求出方程的解。
【解析】
根据题中定义的新运算规则，可得：
$(2x+1)*x=(2x+1)x - x = 8$
展开计算得：$2x^2 + x - x = 8$
化简后得：$2x^2 = 8$
方程两边同时除以2，得：$x^2 = 4$
直接开平方得：$x=\pm2$
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
新定义运算、直接开平方法、一元二次方程求解
【点评】
本题将新定义运算与一元二次方程的解法相结合，解题核心是正确理解新运算的规则，准确代入转化为熟悉的常规方程求解，计算难度较低，注意直接开平方时不要漏了负根即可。
【难度系数】
0.8
