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1. [2026重庆南川区期中]下列各方程是一元二次方程的是 (
A.$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$
B.$(x - 1)(x - 2) = x^2 + 1$
C.$ax^2 + bx + c = 0$
D.$x^2 - 5 = 0$
D
)A.$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$
B.$(x - 1)(x - 2) = x^2 + 1$
C.$ax^2 + bx + c = 0$
D.$x^2 - 5 = 0$
答案
选项A,$\frac{1}{x^2}$是分式,故方程$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$不是整式方程,也不是一元二次方程;选项B,将方程$(x - 1)(x - 2) = x^2 + 1$化简后为$-3x + 1 = 0$(注意:判断一个方程是不是一元二次方程时,需要化简整理成一般形式),是一元一次方程;选项C,在方程$ax^2 + bx + c = 0$中,若$a≠0$,则该方程是一元二次方程;若$a = 0,b≠0$,则该方程是一元一次方程;选项D,在方程$x^2 - 5 = 0$中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2,是一元二次方程.
得分要点
一个方程是一元二次方程必须同时满足3个条件:
(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.
得分要点
一个方程是一元二次方程必须同时满足3个条件:
(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的三个必备判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件缺一不可。解题时我们逐个对照条件分析每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一对选项进行判断：
1. 选项A：方程$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$中含有分式$\frac{1}{x^2}$，不属于整式方程，因此不是一元二次方程，排除A；
2. 选项B：先将方程左边展开化简，$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$，原方程可化为$x^2-3x+2=x^2+1$，移项合并同类项后得$-3x+1=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除B；
3. 选项C：方程$ax^2+bx+c=0$未明确说明$a≠0$，若$a=0$，方程就不是二次方程，因此无法确定它是一元二次方程，排除C；
4. 选项D：方程$x^2-5=0$是整式方程，只含有未知数$x$，且$x$的最高次数是2，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点主要有三处：一是忽略一元二次方程必须是整式方程的要求，误选A；二是判断前未将方程化简，看到表面有二次项就误选B；三是忽略一元二次方程二次项系数不能为0的要求，误选C。熟练掌握定义的三个核心条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的三个必备判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件缺一不可。解题时我们逐个对照条件分析每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一对选项进行判断：
1. 选项A：方程$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1$中含有分式$\frac{1}{x^2}$，不属于整式方程，因此不是一元二次方程，排除A；
2. 选项B：先将方程左边展开化简，$(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$，原方程可化为$x^2-3x+2=x^2+1$，移项合并同类项后得$-3x+1=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，排除B；
3. 选项C：方程$ax^2+bx+c=0$未明确说明$a≠0$，若$a=0$，方程就不是二次方程，因此无法确定它是一元二次方程，排除C；
4. 选项D：方程$x^2-5=0$是整式方程，只含有未知数$x$，且$x$的最高次数是2，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念、方程化简
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点主要有三处：一是忽略一元二次方程必须是整式方程的要求，误选A；二是判断前未将方程化简，看到表面有二次项就误选B；三是忽略一元二次方程二次项系数不能为0的要求，误选C。熟练掌握定义的三个核心条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. [2026黔东南州期末]若关于$x$的方程$(a^2 +1)x^2 - ax +7=0$是一元二次方程，则$a$的取值范围是（
A.任意实数
B.$a≠-1$
C.$a≠±1$
D.$a≠1$
A
）A.任意实数
B.$a≠-1$
C.$a≠±1$
D.$a≠1$
答案
$\because a^2 ≥ 0,\therefore a^2 + 1 ≥ 1,\therefore a$可以取任意实数.
解析
【分析】
解决本题首先要明确一元二次方程的判定核心条件：整式方程的二次项系数不能为0。因此我们只需要分析本题中方程的二次项系数$a^2+1$是否可能等于0即可：结合平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，因此$a^2+1$的最小值为1，永远不可能等于0，所以$a$的取值不受额外限制。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
本题中方程的二次项系数为$a^2 + 1$，
$\because a^2 ≥ 0$，
$\therefore a^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即二次项系数恒不为0，
因此$a$可以取任意实数，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；平方的非负性
【点评】
本题为基础概念题，解题关键是抓住一元二次方程“二次项系数不为0”的判定要求，结合平方的非负性即可快速求解，不需要额外的复杂计算。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确一元二次方程的判定核心条件：整式方程的二次项系数不能为0。因此我们只需要分析本题中方程的二次项系数$a^2+1$是否可能等于0即可：结合平方的非负性可知，任意实数的平方都大于等于0，因此$a^2+1$的最小值为1，永远不可能等于0，所以$a$的取值不受额外限制。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
本题中方程的二次项系数为$a^2 + 1$，
$\because a^2 ≥ 0$，
$\therefore a^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即二次项系数恒不为0，
因此$a$可以取任意实数，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；平方的非负性
【点评】
本题为基础概念题，解题关键是抓住一元二次方程“二次项系数不为0”的判定要求，结合平方的非负性即可快速求解，不需要额外的复杂计算。
【难度系数】
0.9
3. [2026佛山南海区石实实验学校月考] 将方程$3x^2 -4x=2$化为$ax^2 +bx +c=0$的形式，则（
A.$a=3,b=-2,c=4$
B.$a=3,b=-4,c=2$
C.$a=3,b=-4,c=-2$
D.$a=3,b=4,c=-2$
C
）A.$a=3,b=-2,c=4$
B.$a=3,b=-4,c=2$
C.$a=3,b=-4,c=-2$
D.$a=3,b=4,c=-2$
答案
$3x^2 -4x=2$可化为$3x^2 -4x -2 = 0$,故$a=3,b=-4,c=-2$.
得分要点
(1)一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$($a,b,c$是常数,且$a≠0$),其中$a,b,c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项;(2)确定一元二次方程的各项系数时,必须先将其化为一般形式,写各项系数时一定要带上前面的符号.
得分要点
(1)一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$($a,b,c$是常数,且$a≠0$),其中$a,b,c$分别是二次项系数、一次项系数和常数项;(2)确定一元二次方程的各项系数时,必须先将其化为一般形式,写各项系数时一定要带上前面的符号.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路如下：第一步对原方程进行移项，把等号右侧的项全部移到左侧，移项时注意要改变符号，使等号右侧为0；第二步将得到的方程和一般形式对照，分别对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意系数要包含前面的符号，最后匹配正确选项即可。
【解析】
首先将原方程$3x^2 -4x=2$化为一般形式：
将等号右侧的2移到左侧，移项变号，得：
$3x^2 -4x -2 = 0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 等式移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查一般形式的转化和系数识别，易错点是移项时忽略符号变化、写系数时漏带项前的符号，掌握移项规则和一般形式的要求即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题思路如下：第一步对原方程进行移项，把等号右侧的项全部移到左侧，移项时注意要改变符号，使等号右侧为0；第二步将得到的方程和一般形式对照，分别对应找出二次项系数$a$、一次项系数$b$和常数项$c$，注意系数要包含前面的符号，最后匹配正确选项即可。
【解析】
首先将原方程$3x^2 -4x=2$化为一般形式：
将等号右侧的2移到左侧，移项变号，得：
$3x^2 -4x -2 = 0$
对照一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 等式移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考查一般形式的转化和系数识别，易错点是移项时忽略符号变化、写系数时漏带项前的符号，掌握移项规则和一般形式的要求即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
4. 易错题 [2026 扬州仪征期中] 关于x的一元二次方程$(m - 1)x^2 + m^2x = x + 5$化为一般形式后不含一次项，则m的值为
-1
.答案
将$(m - 1)x^2 + m^2x = x + 5$化为一般形式,得$(m - 1)· x^2 + (m^2 - 1)x - 5 = 0$.$\because$ 该方程是一元二次方程,$\therefore m - 1≠0$,$\therefore m≠1$(前提条件不可忽略).$\because$ 该方程不含一次项,$\therefore$ 一次项的系数$m^2 - 1 = 0$,$\therefore m = -1$.
解析
【分析】
解决本题首先要明确一元二次方程的相关要求，解题思路如下：第一步先将给定方程移项、合并同类项，化为一元二次方程的一般形式；其次需抓住两个核心条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含前提；二是题目要求不含一次项，即一次项系数为0，最后结合两个条件联立求解m的值即可。
【解析】
将原方程移项，把右侧的项全部移到左侧，合并同类项后化为一元二次方程的一般形式：
$(m - 1)x^2 + (m^2 - 1)x - 5 = 0$
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
∵ 方程化为一般形式后不含一次项
∴ 一次项系数为0，即$m^2 - 1 = 0$，解得$m = 1$或$m = -1$
结合$m ≠ 1$的限制条件，最终可得$m = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.一元二次方程定义 2.一元二次方程一般式 3.方程项的系数判定
【点评】
本题是一元二次方程的典型易错题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，直接根据一次项系数为0求出$m=\pm1$，未排除$m=1$的情况导致出错，解题时先确定方程类型的隐含限制，再结合题意求解即可避免错误。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确一元二次方程的相关要求，解题思路如下：第一步先将给定方程移项、合并同类项，化为一元二次方程的一般形式；其次需抓住两个核心条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含前提；二是题目要求不含一次项，即一次项系数为0，最后结合两个条件联立求解m的值即可。
【解析】
将原方程移项，把右侧的项全部移到左侧，合并同类项后化为一元二次方程的一般形式：
$(m - 1)x^2 + (m^2 - 1)x - 5 = 0$
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$
∵ 方程化为一般形式后不含一次项
∴ 一次项系数为0，即$m^2 - 1 = 0$，解得$m = 1$或$m = -1$
结合$m ≠ 1$的限制条件，最终可得$m = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.一元二次方程定义 2.一元二次方程一般式 3.方程项的系数判定
【点评】
本题是一元二次方程的典型易错题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，直接根据一次项系数为0求出$m=\pm1$，未排除$m=1$的情况导致出错，解题时先确定方程类型的隐含限制，再结合题意求解即可避免错误。
【难度系数】
0.6
5. [2025 漳州华安期中]已知方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$，下列说法错误的是（
A.二次项是$2x^2$
B.一次项系数是3
C.常数项是1
D.$x=1$是它的一个根
B
）A.二次项是$2x^2$
B.一次项系数是3
C.常数项是1
D.$x=1$是它的一个根
答案
在方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$中,二次项是$2x^2$(二次项系数为2,注意二者的区别),一次项系数是-3,常数项是1.当$x = 1$时,$2×1^2 - 3×1 + 1 = 0$,所以$x = 1$是它的一个根.
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的基础概念和根的判断，解题思路如下：1. 明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，二次项、一次项系数、常数项的定义，注意各项系数要包含前面的正负符号，以此逐一核对A、B、C三个选项；2. 判断一个数是否为方程的根，只需将该数代入方程左右两边，若两边相等则是方程的根，以此验证D选项，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
对于方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$：
二次项为$2x^2$，A选项说法正确；
一次项为$-3x$，因此一次项系数是$-3$，不是3，B选项说法错误；
常数项是1，C选项说法正确；
把$x=1$代入方程左边：$2×1^2 - 3×1 +1=2-3+1=0$，和方程右边相等，因此$x=1$是方程的一个根，D选项说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的项与系数、方程根的检验
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对一元二次方程相关定义的掌握程度，解题时需特别注意各项系数要带上前面的正负符号，避免因忽略符号造成错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的基础概念和根的判断，解题思路如下：1. 明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，二次项、一次项系数、常数项的定义，注意各项系数要包含前面的正负符号，以此逐一核对A、B、C三个选项；2. 判断一个数是否为方程的根，只需将该数代入方程左右两边，若两边相等则是方程的根，以此验证D选项，最终选出说法错误的选项即可。
【解析】
对于方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$：
二次项为$2x^2$，A选项说法正确；
一次项为$-3x$，因此一次项系数是$-3$，不是3，B选项说法错误；
常数项是1，C选项说法正确；
把$x=1$代入方程左边：$2×1^2 - 3×1 +1=2-3+1=0$，和方程右边相等，因此$x=1$是方程的一个根，D选项说法正确。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的项与系数、方程根的检验
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对一元二次方程相关定义的掌握程度，解题时需特别注意各项系数要带上前面的正负符号，避免因忽略符号造成错误。
【难度系数】
0.9
6. 在下列方程中,有根为1的一元二次方程是 (
A.$x - 1 = 0$
B.$x^3 + 2x - 3 = 0$
C.$x^2 + x = 0$
D.$(x - 1)(x - 2) = 0$
D
)A.$x - 1 = 0$
B.$x^3 + 2x - 3 = 0$
C.$x^2 + x = 0$
D.$(x - 1)(x - 2) = 0$
答案
选项A,$x = 1$是一元一次方程$x - 1 = 0$的根;选项B,$x = 1$是一元三次方程$x^3 + 2x - 3 = 0$的一个根;选项C,$x^2 + x = 0$是一元二次方程,但当$x = 1$时,$x^2 + x = 1 + 1 = 2≠0$;选项D,将$(x - 1)(x - 2) = 0$化简,得$x^2 - 3x + 2 = 0$,是一元二次方程,且当$x = 1$时,$(1 - 1)×(1 - 2) = 0$.
解析
【分析】
解题时首先明确题干的两个要求：①方程是一元二次方程（需满足三个条件：是整式方程、只含1个未知数、未知数的最高次数为2）；②方程有根为1（即把x=1代入方程，等式左右两边相等）。我们可以先根据一元二次方程的定义排除不符合方程类型的选项，再对剩余选项代入x=1验证是否满足根的条件，逐步筛选即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$x-1=0$中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
2. 选项B：$x^3 + 2x - 3 = 0$中未知数的最高次数为3，属于一元三次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
3. 选项C：$x^2 + x = 0$是一元二次方程，将$x=1$代入方程左边得$1^2 + 1 = 2 ≠ 0$，因此$x=1$不是该方程的根，排除；
4. 选项D：将$(x - 1)(x - 2) = 0$展开化简得$x^2 - 3x + 2 = 0$，符合一元二次方程的定义，将$x=1$代入原方程得$(1-1)×(1-2)=0$，等式成立，因此$x=1$是该一元二次方程的根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意同时兼顾题干的两个限制条件，避免只验证根是否为1、忽略方程类型的要求而错选。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确题干的两个要求：①方程是一元二次方程（需满足三个条件：是整式方程、只含1个未知数、未知数的最高次数为2）；②方程有根为1（即把x=1代入方程，等式左右两边相等）。我们可以先根据一元二次方程的定义排除不符合方程类型的选项，再对剩余选项代入x=1验证是否满足根的条件，逐步筛选即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$x-1=0$中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
2. 选项B：$x^3 + 2x - 3 = 0$中未知数的最高次数为3，属于一元三次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
3. 选项C：$x^2 + x = 0$是一元二次方程，将$x=1$代入方程左边得$1^2 + 1 = 2 ≠ 0$，因此$x=1$不是该方程的根，排除；
4. 选项D：将$(x - 1)(x - 2) = 0$展开化简得$x^2 - 3x + 2 = 0$，符合一元二次方程的定义，将$x=1$代入原方程得$(1-1)×(1-2)=0$，等式成立，因此$x=1$是该一元二次方程的根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意同时兼顾题干的两个限制条件，避免只验证根是否为1、忽略方程类型的要求而错选。
【难度系数】
0.85
7. [2024 深圳中考]已知关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的一个根为1，则$m=$
2
.答案
将$x = 1$代入$x^2 - 3x + m = 0$,得$1 - 3 + m = 0$,解得$m = 2$.
解析
【分析】
解题思路依据一元二次方程根的定义展开：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是给定方程的根，因此只需将x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解该一元一次方程就能得到m的值。
【解析】
解：因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算得：$1 - 3 + m = 0$
移项解得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，核心考查方程根的定义的应用，通过代入已知根将含参数的一元二次方程转化为普通一元一次方程求解，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题思路依据一元二次方程根的定义展开：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是给定方程的根，因此只需将x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，求解该一元一次方程就能得到m的值。
【解析】
解：因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 3×1 + m = 0$
计算得：$1 - 3 + m = 0$
移项解得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题目，核心考查方程根的定义的应用，通过代入已知根将含参数的一元二次方程转化为普通一元一次方程求解，解题思路直接，难度较低。
【难度系数】
0.9
8. 教材问题变式 [2025福建中考] 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意,可列方程为
（
）
A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
（
）A.$5x^2=6$
B.$5(1+x^2)=6$
C.$x(5-x)=6$
D.$5(1+x)^2=6$
答案
根据题意,得该矩形菜地的一边长为$x$米,则另一边长为$(5 - x)$米,已知“矩形面积 = 长 × 宽”,故可列方程为$x(5 - x) = 6$.
解析
【分析】
首先结合图形分析，菜地依托直角围墙修建，围墙两侧无需搭建篱笆，因此总长5米的篱笆对应矩形相邻两条边的长度和。已知矩形一边长为x米，即可用篱笆总长减去x得到另一边长，再结合矩形面积公式和题目给出的面积为6平方米的条件，就能列出对应的方程。
【解析】
解：由图可知，篱笆仅需围矩形的两条相邻边，总长为5米。
若矩形的一边长为x米，则另一边长为$(5-x)$米。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知菜地面积为6平方米，代入数据可得：
$x(5-x)=6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程、矩形面积计算、方程实际应用
【点评】
本题是基础的方程实际应用类题目，解题的核心是结合图形明确篱笆的覆盖范围，避免错误认为篱笆围了矩形的四条边，找准边长的数量关系和面积等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先结合图形分析，菜地依托直角围墙修建，围墙两侧无需搭建篱笆，因此总长5米的篱笆对应矩形相邻两条边的长度和。已知矩形一边长为x米，即可用篱笆总长减去x得到另一边长，再结合矩形面积公式和题目给出的面积为6平方米的条件，就能列出对应的方程。
【解析】
解：由图可知，篱笆仅需围矩形的两条相邻边，总长为5米。
若矩形的一边长为x米，则另一边长为$(5-x)$米。
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知菜地面积为6平方米，代入数据可得：
$x(5-x)=6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程、矩形面积计算、方程实际应用
【点评】
本题是基础的方程实际应用类题目，解题的核心是结合图形明确篱笆的覆盖范围，避免错误认为篱笆围了矩形的四条边，找准边长的数量关系和面积等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
变式[2026昆明官渡区期末]一个长方体木盒的高是8 cm，长比宽多4 cm，体积是480 cm³.设这个木盒的长为x cm，则可列方程为 （
A.$4x(x-8)=480$
B.$4x(x+8)=480$
C.$8x(x-4)=480$
D.$8x(x+4)=480$
C
）A.$4x(x-8)=480$
B.$4x(x+8)=480$
C.$8x(x-4)=480$
D.$8x(x+4)=480$
答案
根据题意,得该长方体木盒的长为$x$ cm,高为8 cm,则宽为$(x - 4)$cm,已知“长方体的体积 = 长 × 宽 × 高”,故可列方程为$8x(x - 4) = 480$.
解析
【分析】
解决本题的核心是找到等量关系，本题的等量关系为长方体体积=长×宽×高。首先根据设出的长$ x $ cm，结合“长比宽多4 cm”的条件表示出宽的长度，再将长、宽、高以及已知体积代入体积公式，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
1. 表示各棱长：已知设木盒的长为$ x $ cm，由“长比宽多4 cm”可得宽为$ (x-4) $ cm，题目给出高为8 cm。
2. 代入体积公式列方程：长方体体积公式为$ V=长×宽×高 $，已知体积为$ 480\ \mathrm{cm}^3 $，代入各量得：
$ 8 × x × (x-4) = 480 $，即$ 8x(x-4)=480 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、长方体体积计算
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是理清长和宽的数量关系，正确表示出宽的长度，再结合基础公式列等式，主要考查学生的审题能力和对基础公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是找到等量关系，本题的等量关系为长方体体积=长×宽×高。首先根据设出的长$ x $ cm，结合“长比宽多4 cm”的条件表示出宽的长度，再将长、宽、高以及已知体积代入体积公式，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
1. 表示各棱长：已知设木盒的长为$ x $ cm，由“长比宽多4 cm”可得宽为$ (x-4) $ cm，题目给出高为8 cm。
2. 代入体积公式列方程：长方体体积公式为$ V=长×宽×高 $，已知体积为$ 480\ \mathrm{cm}^3 $，代入各量得：
$ 8 × x × (x-4) = 480 $，即$ 8x(x-4)=480 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、长方体体积计算
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题关键是理清长和宽的数量关系，正确表示出宽的长度，再结合基础公式列等式，主要考查学生的审题能力和对基础公式的掌握程度。
【难度系数】
0.8
9. 教材问题变式 [2026榆林榆阳区期末]某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于技术改进，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元.若该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为x，则可列方程为 (
A.$400(1+x)^2=256$
B.$400(1-x)^2=256$
C.$400(1+2x)=256$
D.$400(1-2x)=256$
B
)A.$400(1+x)^2=256$
B.$400(1-x)^2=256$
C.$400(1+2x)=256$
D.$400(1-2x)=256$
答案
根据题意,得2月份的生产成本是$400 - 400x = 400×(1 - x)$(万元),则3月份的生产成本是$400×(1 - x)(1 - x) = 400(1 - x)^2$(万元),故可列方程为$400(1 - x)^2 = 256$.
解析
【分析】
这是一道平均下降率的实际应用题，解题时首先明确每月成本的变化基础：每月生产成本是在上一个月成本的基础上下降x，因此需逐步推导2月、3月的生产成本表达式，再结合3月已知的生产成本列方程。要注意下降率对应的运算为(1-x)而非(1+x)，且逐月连续变化两次，为平方关系而非乘以2，即可排除错误选项。
【解析】
已知1月份生产成本为400万元，月下降率为x：
1. 计算2月份生产成本：2月成本是在1月成本基础上下降x，因此2月成本为$400(1-x)$万元；
2. 计算3月份生产成本：3月成本是在2月成本基础上再下降x，因此3月成本为$400(1-x)·(1-x)=400(1-x)^2$万元；
已知3月份生产成本为256万元，因此可列方程$400(1-x)^2=256$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确变化的“基期”，即每个周期的变化都是以上一个周期的量为基础计算的，要注意区分乘方形式的复利变化和线性变化的差异，避免误选含2x的错误选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均下降率的实际应用题，解题时首先明确每月成本的变化基础：每月生产成本是在上一个月成本的基础上下降x，因此需逐步推导2月、3月的生产成本表达式，再结合3月已知的生产成本列方程。要注意下降率对应的运算为(1-x)而非(1+x)，且逐月连续变化两次，为平方关系而非乘以2，即可排除错误选项。
【解析】
已知1月份生产成本为400万元，月下降率为x：
1. 计算2月份生产成本：2月成本是在1月成本基础上下降x，因此2月成本为$400(1-x)$万元；
2. 计算3月份生产成本：3月成本是在2月成本基础上再下降x，因此3月成本为$400(1-x)·(1-x)=400(1-x)^2$万元；
已知3月份生产成本为256万元，因此可列方程$400(1-x)^2=256$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确变化的“基期”，即每个周期的变化都是以上一个周期的量为基础计算的，要注意区分乘方形式的复利变化和线性变化的差异，避免误选含2x的错误选项。
【难度系数】
0.8
变式[2026乌鲁木齐第四十四中学期末]某市2023年投入教育经费1000万元,2025年投入的教育经费比2024年增加480万元.若2023年至2025年该市投入教育经费的年平均增长率为x,则可列方程为 (
A.$1000(1+x)^2 = 1000(1+x)+480$
B.$1000(1+x)^2 = 1000(1+x)$
C.$1000(1+x)^2 = 1000+480$
D.$1000(1+x) = 1000+480$
A
)A.$1000(1+x)^2 = 1000(1+x)+480$
B.$1000(1+x)^2 = 1000(1+x)$
C.$1000(1+x)^2 = 1000+480$
D.$1000(1+x) = 1000+480$
答案
根据题意得,该市2024年投入的教育经费为$1000(1 + x)$万元,2025年投入的教育经费为$1000(1 + x)^2$万元,所以$1000(1 + x)^2 = 1000(1 + x) + 480$.
解析
【分析】
这是一道平均增长率相关的列方程问题，解题思路如下：第一步，先根据平均增长率的计算规则，用含x的代数式分别表示出2024年、2025年的教育经费；第二步，找到题目中的等量关系：2025年投入的教育经费=2024年投入的教育经费+480万元；第三步，将表示出的各年经费代入等量关系，就能得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知2023年投入教育经费1000万元，年平均增长率为x。
1. 计算2024年的教育经费：在2023年的基础上增长x，所以2024年经费为$1000(1+x)$万元；
2. 计算2025年的教育经费：在2024年的基础上再增长x，所以2025年经费为$1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2$万元；
3. 根据“2025年投入的教育经费比2024年增加480万元”，可得等量关系：2025年经费 = 2024年经费 + 480万元，代入得方程：
$1000(1+x)^2 = 1000(1+x) + 480$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是正确表示出不同年份对应的数据，再结合题干给出的等量关系列方程，掌握平均增长率的计算公式是解题的前提。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率相关的列方程问题，解题思路如下：第一步，先根据平均增长率的计算规则，用含x的代数式分别表示出2024年、2025年的教育经费；第二步，找到题目中的等量关系：2025年投入的教育经费=2024年投入的教育经费+480万元；第三步，将表示出的各年经费代入等量关系，就能得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知2023年投入教育经费1000万元，年平均增长率为x。
1. 计算2024年的教育经费：在2023年的基础上增长x，所以2024年经费为$1000(1+x)$万元；
2. 计算2025年的教育经费：在2024年的基础上再增长x，所以2025年经费为$1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2$万元；
3. 根据“2025年投入的教育经费比2024年增加480万元”，可得等量关系：2025年经费 = 2024年经费 + 480万元，代入得方程：
$1000(1+x)^2 = 1000(1+x) + 480$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，解题核心是正确表示出不同年份对应的数据，再结合题干给出的等量关系列方程，掌握平均增长率的计算公式是解题的前提。
【难度系数】
0.8
