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1. 函数 $y=-x^2+3$ 与 $y=-x^2-2$ 的图像的不同之处是 （
A.顶点
B.对称轴
C.开口方向
D.形状
名师微课
A
）A.顶点
B.对称轴
C.开口方向
D.形状
名师微课
答案
1.A
解析
【分析】
要解决本题，需先回忆形如$y=ax^2+h$（$a≠0$）的二次函数的性质，明确参数$a$、$h$分别决定图象的哪些特征，再逐个对比两个函数的各项属性即可找到不同之处。首先，开口方向由$a$的正负决定，形状由$|a|$的大小决定，对称轴固定为$y$轴，顶点坐标为$(0,h)$。两个函数的$a$值相同，因此和$a$相关的属性均相同，只有顶点的纵坐标由$h$决定，两个函数的$h$不同，因此顶点不同。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+h$（$a≠0$）：
1. 开口方向：$a＜0$时开口向下，两个函数的$a$均为$-1$，因此开口方向都向下，C选项是相同点；
2. 图象形状：$|a|$相等则图象形状相同，两个函数的$|a|$均为1，因此形状相同，D选项是相同点；
3. 对称轴：该类函数的对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），因此B选项是相同点；
4. 顶点坐标：顶点为$(0,h)$，$y=-x^2+3$的顶点是$(0,3)$，$y=-x^2-2$的顶点是$(0,-2)$，二者顶点不同，A选项是不同之处。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. $y=ax^2+h$型二次函数的性质
2. 二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是区分参数$a$和$h$对二次函数图象的不同影响，熟练掌握该类性质后可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先回忆形如$y=ax^2+h$（$a≠0$）的二次函数的性质，明确参数$a$、$h$分别决定图象的哪些特征，再逐个对比两个函数的各项属性即可找到不同之处。首先，开口方向由$a$的正负决定，形状由$|a|$的大小决定，对称轴固定为$y$轴，顶点坐标为$(0,h)$。两个函数的$a$值相同，因此和$a$相关的属性均相同，只有顶点的纵坐标由$h$决定，两个函数的$h$不同，因此顶点不同。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+h$（$a≠0$）：
1. 开口方向：$a＜0$时开口向下，两个函数的$a$均为$-1$，因此开口方向都向下，C选项是相同点；
2. 图象形状：$|a|$相等则图象形状相同，两个函数的$|a|$均为1，因此形状相同，D选项是相同点；
3. 对称轴：该类函数的对称轴均为$y$轴（直线$x=0$），因此B选项是相同点；
4. 顶点坐标：顶点为$(0,h)$，$y=-x^2+3$的顶点是$(0,3)$，$y=-x^2-2$的顶点是$(0,-2)$，二者顶点不同，A选项是不同之处。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. $y=ax^2+h$型二次函数的性质
2. 二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题关键是区分参数$a$和$h$对二次函数图象的不同影响，熟练掌握该类性质后可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.关于二次函数$y=-2x^2+1$的图像，下列说法中，正确的是（
A.对称轴为直线$x=1$
B.顶点坐标为$(-2,1)$
C.可以由二次函数$y=-2x^2$的图像向左平移1个单位长度得到
D.在$y$轴的左侧，图像逐渐上升；在$y$轴的右侧，图像逐渐下降
D
）A.对称轴为直线$x=1$
B.顶点坐标为$(-2,1)$
C.可以由二次函数$y=-2x^2$的图像向左平移1个单位长度得到
D.在$y$轴的左侧，图像逐渐上升；在$y$轴的右侧，图像逐渐下降
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查形如$y=ax^2+h$的二次函数的图像与性质，解题思路为：首先明确给定函数$y=-2x^2+1$中$a=-2$、$h=1$，结合该类二次函数的对称轴、顶点坐标、平移规律、增减性的相关结论，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
先回顾$y=ax^2+h$型二次函数的基本性质：
1. 对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
2. 顶点坐标为$(0,h)$；
3. 平移规律：$y=ax^2$向上（下）平移$|h|$个单位得到$y=ax^2+h$（上加下减常数项），左右平移会改变$x$的表达式（左加右减自变量）；
4. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大（图像上升），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小（图像下降）。
逐一分析选项：
选项A：$y=-2x^2+1$的对称轴为直线$x=0$，不是$x=1$，故A错误；
选项B：$y=-2x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，不是$(-2,1)$，故B错误；
选项C：$y=-2x^2+1$是由$y=-2x^2$向上平移1个单位得到的，向左平移1个单位得到的是$y=-2(x+1)^2$，故C错误；
选项D：本题中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此$y$轴左侧（$x＜0$）图像逐渐上升，$y$轴右侧（$x＞0$）图像逐渐下降，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
y=ax²+h的性质；二次函数平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，侧重对$y=ax^2+h$型二次函数核心性质的掌握情况的检验，熟悉相关基础结论即可快速解题，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题考查形如$y=ax^2+h$的二次函数的图像与性质，解题思路为：首先明确给定函数$y=-2x^2+1$中$a=-2$、$h=1$，结合该类二次函数的对称轴、顶点坐标、平移规律、增减性的相关结论，逐一判断每个选项的正误，最终选出正确选项。
【解析】
先回顾$y=ax^2+h$型二次函数的基本性质：
1. 对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）；
2. 顶点坐标为$(0,h)$；
3. 平移规律：$y=ax^2$向上（下）平移$|h|$个单位得到$y=ax^2+h$（上加下减常数项），左右平移会改变$x$的表达式（左加右减自变量）；
4. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大（图像上升），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小（图像下降）。
逐一分析选项：
选项A：$y=-2x^2+1$的对称轴为直线$x=0$，不是$x=1$，故A错误；
选项B：$y=-2x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，不是$(-2,1)$，故B错误；
选项C：$y=-2x^2+1$是由$y=-2x^2$向上平移1个单位得到的，向左平移1个单位得到的是$y=-2(x+1)^2$，故C错误；
选项D：本题中$a=-2＜0$，抛物线开口向下，对称轴为$x=0$，因此$y$轴左侧（$x＜0$）图像逐渐上升，$y$轴右侧（$x＞0$）图像逐渐下降，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
y=ax²+h的性质；二次函数平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，侧重对$y=ax^2+h$型二次函数核心性质的掌握情况的检验，熟悉相关基础结论即可快速解题，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与抛物线 $ y = -2x^2 -1 $ 关于x轴对称，则 $ a = $
2
, $ c = $ 1
.答案
3. a=2，c=1
解析
【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。两个抛物线关于x轴对称，意味着对于任意相同的横坐标x，两条抛物线上对应的纵坐标互为相反数。因此我们可以将已知抛物线的解析式中的y替换为-y，整理后与待求抛物线解析式对比系数，即可求出a和c的值。
【解析】
∵ 关于x轴对称的点的坐标规律为：横坐标相同，纵坐标互为相反数
∴ 若点$(x,y)$在抛物线$y=-2x^2 -1$上，则其关于x轴对称的点$(x,-y)$在抛物线$y=ax^2 +c$上
将$y=-2x^2 -1$代入$-y$得：
$-y = -(-2x^2 -1) = 2x^2 +1$
即对称后的抛物线解析式为$y=2x^2 +1$
与$y=ax^2 +c$对比系数可得：$a=2$，$c=1$
【答案】
$a=2$，$c=1$
【知识点】
轴对称坐标特征；二次函数对称性；系数对应相等
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握坐标轴对称的坐标变换规律，通过变换得到对称后的函数解析式，再对比系数求解即可，解题时要注意区分关于x轴和y轴对称的变换差异，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数。两个抛物线关于x轴对称，意味着对于任意相同的横坐标x，两条抛物线上对应的纵坐标互为相反数。因此我们可以将已知抛物线的解析式中的y替换为-y，整理后与待求抛物线解析式对比系数，即可求出a和c的值。
【解析】
∵ 关于x轴对称的点的坐标规律为：横坐标相同，纵坐标互为相反数
∴ 若点$(x,y)$在抛物线$y=-2x^2 -1$上，则其关于x轴对称的点$(x,-y)$在抛物线$y=ax^2 +c$上
将$y=-2x^2 -1$代入$-y$得：
$-y = -(-2x^2 -1) = 2x^2 +1$
即对称后的抛物线解析式为$y=2x^2 +1$
与$y=ax^2 +c$对比系数可得：$a=2$，$c=1$
【答案】
$a=2$，$c=1$
【知识点】
轴对称坐标特征；二次函数对称性；系数对应相等
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握坐标轴对称的坐标变换规律，通过变换得到对称后的函数解析式，再对比系数求解即可，解题时要注意区分关于x轴和y轴对称的变换差异，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数 $ y=ax^2(a≠0) $ 与 $ y=-2x^2 + c $。
(1) 若这两个函数图像的形状相同，则 $ a= $
(2) 二次函数 $ y=-2x^2 + c $ 中，$ x、y $ 的几组对应值如表所示，表中 $ m、n、p $ 的大小关系为
(1) 若这两个函数图像的形状相同，则 $ a= $
±2
；若抛物线 $ y=ax^2 $ 沿 $ y $ 轴向下平移2个单位长度就能与 $ y=-2x^2 + c $ 的图像完全重合，则 $ c= $ -2
；(2) 二次函数 $ y=-2x^2 + c $ 中，$ x、y $ 的几组对应值如表所示，表中 $ m、n、p $ 的大小关系为
p＜m＜n
。(用“＜”连接)答案
4.解:(1)
∵函数 $ y=ax^2 $ 与函数 $ y=-2x^2 + c $ 的形状相同,
∴$ a=±2. $
∵抛物线 $ y=ax^2 $ 沿 $ y $ 轴向下平移 2 个单位长度得到 $ y=ax^2-2 $,与 $ y=-2x^2 + c $ 的图像完全重合,
∴$ c=-2. $故答案为$ ±2,-2. $
(2)由函数 $ y=-2x^2 + c $ 可知,抛物线开口向下,对称轴为 $ y $ 轴,且 $ 1-0＜0-(-2)＜5-0 $,
∴$ p＜m＜n. $故答案为 $ p＜m＜n. $
∵函数 $ y=ax^2 $ 与函数 $ y=-2x^2 + c $ 的形状相同,
∴$ a=±2. $
∵抛物线 $ y=ax^2 $ 沿 $ y $ 轴向下平移 2 个单位长度得到 $ y=ax^2-2 $,与 $ y=-2x^2 + c $ 的图像完全重合,
∴$ c=-2. $故答案为$ ±2,-2. $
(2)由函数 $ y=-2x^2 + c $ 可知,抛物线开口向下,对称轴为 $ y $ 轴,且 $ 1-0＜0-(-2)＜5-0 $,
∴$ p＜m＜n. $故答案为 $ p＜m＜n. $
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先明确二次函数图象形状仅由二次项系数的绝对值决定，形状相同则两个函数的二次项系数绝对值相等，即可求a的值；再根据二次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，写出平移后的解析式，与已知解析式对比，对应项系数相等即可求出c的值。
(2) 解题思路：先判断二次函数的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算三个x值到对称轴的距离，比较距离大小就能得出m、n、p的大小关系。
【解析】
(1)
∵二次函数的图象形状由二次项系数的绝对值决定，两个函数图象形状相同
∴$\vert a\vert=\vert-2\vert$，解得$a=\pm2$
抛物线$y=ax^2$沿y轴向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得到的解析式为$y=ax^2-2$
∵该图象与$y=-2x^2+c$完全重合，
∴$a=-2$，且$-2=c$，即$c=-2$
(2) 二次函数$y=-2x^2+c$的二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）
开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越小
分别计算三个点到对称轴的距离：
$x=-2$时，距离为$\vert-2-0\vert=2$；$x=1$时，距离为$\vert1-0\vert=1$；$x=5$时，距离为$\vert5-0\vert=5$
∵$1＜2＜5$，
∴对应的函数值$n＞m＞p$，即$p＜m＜n$
【答案】
(1) $\pm2$；$-2$ (2) $p＜m＜n$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数平移规律，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心考点都是二次函数部分的常规基础内容，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：首先明确二次函数图象形状仅由二次项系数的绝对值决定，形状相同则两个函数的二次项系数绝对值相等，即可求a的值；再根据二次函数沿y轴平移“上加下减”的规律，写出平移后的解析式，与已知解析式对比，对应项系数相等即可求出c的值。
(2) 解题思路：先判断二次函数的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算三个x值到对称轴的距离，比较距离大小就能得出m、n、p的大小关系。
【解析】
(1)
∵二次函数的图象形状由二次项系数的绝对值决定，两个函数图象形状相同
∴$\vert a\vert=\vert-2\vert$，解得$a=\pm2$
抛物线$y=ax^2$沿y轴向下平移2个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得到的解析式为$y=ax^2-2$
∵该图象与$y=-2x^2+c$完全重合，
∴$a=-2$，且$-2=c$，即$c=-2$
(2) 二次函数$y=-2x^2+c$的二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）
开口向下的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越小
分别计算三个点到对称轴的距离：
$x=-2$时，距离为$\vert-2-0\vert=2$；$x=1$时，距离为$\vert1-0\vert=1$；$x=5$时，距离为$\vert5-0\vert=5$
∵$1＜2＜5$，
∴对应的函数值$n＞m＞p$，即$p＜m＜n$
【答案】
(1) $\pm2$；$-2$ (2) $p＜m＜n$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数平移规律，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，核心考点都是二次函数部分的常规基础内容，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.已知点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$均在抛物线$y=x^2-1$上，则下列说法正确的是（
A.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$
D
）A.若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$
B.若$x_1=-x_2$，则$y_1=-y_2$
C.若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$
D.若$x_1＜x_2＜0$，则$y_1＞y_2$
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=x^2-1$的基本性质：它是开口向上的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而增大，且函数图像关于y轴对称，即互为相反数的两个$x$值对应相等的$y$值。接下来结合上述性质逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
先整理抛物线$y=x^2-1$的核心性质：开口向上，对称轴为直线$x=0$，关于y轴对称；$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小。
选项A：若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$或$x_1=-x_2$，例如$x_1=1$、$x_2=-1$时，$y_1=y_2=0$，故A错误；
选项B：若$x_1=-x_2$，代入函数得$y_1=x_1^2-1$，$y_2=x_2^2-1=(-x_1)^2-1=x_1^2-1=y_1$，即$y_1=y_2$，故B错误；
选项C：若$0＜x_1＜x_2$，两点均在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
选项D：若$x_1＜x_2＜0$，两点均在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，$x$越小对应$y$值越大，因此$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²+h的性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数增减性、对称性的对应关系，通过逐个排查选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
首先明确抛物线$y=x^2-1$的基本性质：它是开口向上的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而增大，且函数图像关于y轴对称，即互为相反数的两个$x$值对应相等的$y$值。接下来结合上述性质逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
先整理抛物线$y=x^2-1$的核心性质：开口向上，对称轴为直线$x=0$，关于y轴对称；$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小。
选项A：若$y_1=y_2$，则$x_1=x_2$或$x_1=-x_2$，例如$x_1=1$、$x_2=-1$时，$y_1=y_2=0$，故A错误；
选项B：若$x_1=-x_2$，代入函数得$y_1=x_1^2-1$，$y_2=x_2^2-1=(-x_1)^2-1=x_1^2-1=y_1$，即$y_1=y_2$，故B错误；
选项C：若$0＜x_1＜x_2$，两点均在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
选项D：若$x_1＜x_2＜0$，两点均在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，$x$越小对应$y$值越大，因此$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数y=ax²+h的性质；二次函数增减性；二次函数对称性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴与函数增减性、对称性的对应关系，通过逐个排查选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
6. 函数$y=\frac{a}{x}$与$y=-ax^2 -a(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是 （
B
）答案
6.B
解析
【分析】
解题需采用分类讨论思想，以a的正负为分类依据：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像性质：$k＞0$时图像位于一、三象限，$k＜0$时位于二、四象限；再回忆二次函数$y=ax^2+h$的性质：对称轴为y轴，二次项系数决定开口方向，顶点坐标为$(0,h)$。我们分别推导$a＞0$和$a＜0$时两个函数的图像特征，再和选项对比排除错误选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的比例系数为正，图像位于第一、第三象限；
二次函数$y=-ax^2 -a$的二次项系数为$-a＜0$，因此开口向下；常数项为$-a＜0$，顶点坐标为$(0,-a)$，位于y轴负半轴，符合选项B的特征。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的比例系数为负，图像位于第二、第四象限；
二次函数$y=-ax^2 -a$的二次项系数为$-a＞0$，因此开口向上；常数项为$-a＞0$，顶点坐标为$(0,-a)$，位于y轴正半轴，四个选项均不符合该特征。
逐一验证剩余选项：A中二次函数顶点在y轴负半轴、开口向上，不符合$a＜0$时的特征；C中反比例位于二、四象限，但二次函数开口向下，不符合$a＜0$时的特征；D中反比例位于一、三象限，但二次函数开口向上，不符合$a＞0$时的特征，因此只有B正确。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图像与性质；二次函数$y=ax^2+h$的图像与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图像综合判断题，核心考查不同类型函数的图像和参数的对应关系，通过分类讨论逐个排除错误选项是这类题的常用解法，能有效考查对函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题需采用分类讨论思想，以a的正负为分类依据：首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像性质：$k＞0$时图像位于一、三象限，$k＜0$时位于二、四象限；再回忆二次函数$y=ax^2+h$的性质：对称轴为y轴，二次项系数决定开口方向，顶点坐标为$(0,h)$。我们分别推导$a＞0$和$a＜0$时两个函数的图像特征，再和选项对比排除错误选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的比例系数为正，图像位于第一、第三象限；
二次函数$y=-ax^2 -a$的二次项系数为$-a＜0$，因此开口向下；常数项为$-a＜0$，顶点坐标为$(0,-a)$，位于y轴负半轴，符合选项B的特征。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的比例系数为负，图像位于第二、第四象限；
二次函数$y=-ax^2 -a$的二次项系数为$-a＞0$，因此开口向上；常数项为$-a＞0$，顶点坐标为$(0,-a)$，位于y轴正半轴，四个选项均不符合该特征。
逐一验证剩余选项：A中二次函数顶点在y轴负半轴、开口向上，不符合$a＜0$时的特征；C中反比例位于二、四象限，但二次函数开口向下，不符合$a＜0$时的特征；D中反比例位于一、三象限，但二次函数开口向上，不符合$a＞0$时的特征，因此只有B正确。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图像与性质；二次函数$y=ax^2+h$的图像与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图像综合判断题，核心考查不同类型函数的图像和参数的对应关系，通过分类讨论逐个排除错误选项是这类题的常用解法，能有效考查对函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7如图，抛物线$y=ax^2+c(a≠0)$经过正方形OABC的三个顶点A、B、C，若点B在y轴上，则ac的值为（
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
B
）A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
答案
7.B
解析
【分析】
首先，抛物线$y=ax^2+c$无一次项，对称轴为y轴，结合正方形OABC的顶点B在y轴上，可知A、C两点关于y轴对称；OB是正方形的对角线，因此OA与x轴夹角为$45°$，可设点A坐标为$(t,t)$（$t＞0$），再根据正方形对角线与边长的关系求出点B坐标，最后将A、B两点代入抛物线解析式，消去参数即可求出$ac$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，且过A、C两点，
∴点A、C关于y轴对称。
∵四边形OABC是正方形，O为原点，B在y轴正半轴，
∴OB是正方形的对角线，$∠ AOx=45°$。
设点A坐标为$(t,t)$（$t＞0$），则正方形边长$OA=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}t$，
∴正方形对角线OB的长度为$\sqrt{2}× OA=\sqrt{2}×\sqrt{2}t=2t$，即点B坐标为$(0,2t)$。
将$B(0,2t)$代入$y=ax^2+c$，得$c=2t$。
将$A(t,t)$代入$y=ax^2+c$，得$t=at^2+c$。
把$c=2t$代入上式，整理得$at^2=-t$，
∵$t≠0$，两边同除以$t$得$at=-1$，即$a=-\frac{1}{t}$。
∴$ac=-\frac{1}{t}×2t=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数对称性
2. 正方形的性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合基础题，核心是利用抛物线的对称性和正方形的性质确定点坐标的特征，通过设参数代入解析式消参即可得到结果，考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先，抛物线$y=ax^2+c$无一次项，对称轴为y轴，结合正方形OABC的顶点B在y轴上，可知A、C两点关于y轴对称；OB是正方形的对角线，因此OA与x轴夹角为$45°$，可设点A坐标为$(t,t)$（$t＞0$），再根据正方形对角线与边长的关系求出点B坐标，最后将A、B两点代入抛物线解析式，消去参数即可求出$ac$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴，且过A、C两点，
∴点A、C关于y轴对称。
∵四边形OABC是正方形，O为原点，B在y轴正半轴，
∴OB是正方形的对角线，$∠ AOx=45°$。
设点A坐标为$(t,t)$（$t＞0$），则正方形边长$OA=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}t$，
∴正方形对角线OB的长度为$\sqrt{2}× OA=\sqrt{2}×\sqrt{2}t=2t$，即点B坐标为$(0,2t)$。
将$B(0,2t)$代入$y=ax^2+c$，得$c=2t$。
将$A(t,t)$代入$y=ax^2+c$，得$t=at^2+c$。
把$c=2t$代入上式，整理得$at^2=-t$，
∵$t≠0$，两边同除以$t$得$at=-1$，即$a=-\frac{1}{t}$。
∴$ac=-\frac{1}{t}×2t=-2$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数对称性
2. 正方形的性质
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数与几何图形的综合基础题，核心是利用抛物线的对称性和正方形的性质确定点坐标的特征，通过设参数代入解析式消参即可得到结果，考查对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
