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8如图，Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线$y=ax^2$上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转$90°$得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为
$(\sqrt{2},2)$
。答案
8.$(\sqrt{2},2)$ 解析:$ \because \mathrm{Rt}△ OAB $的顶点$ A(-2,4) $在抛物线$ y=ax^2 $上,$ \therefore 4=a×(-2)^2 $,解得$ a=1 $,$ \therefore $表达式为$ y=x^2 $.$ \because \mathrm{Rt}△ OAB $的顶点$ A(-2,4) $,$ \therefore OB=OD=2 $.$ \because \mathrm{Rt}△ OAB $绕点$ O $顺时针旋转$ 90° $得到$ △ OCD $,$ \therefore CD// x $轴,$ \therefore $点$ D $和点$ P $的纵坐标均为2.令$ y=2 $,得$ 2=x^2 $,解得$ x=\pm\sqrt{2} $.$ \because $点$ P $在第一象限,$ \therefore $点$ P $的坐标为$ (\sqrt{2},2) $.
解析
【分析】
解题时首先利用点A在抛物线上，代入点坐标求出抛物线的解析式；再结合旋转的性质，得到△OCD的边CD与x轴平行，进而确定点P的纵坐标；最后将纵坐标代入抛物线解析式，结合点P所在象限求出横坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
解：
∵点$A(-2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴将$A(-2,4)$代入解析式得：$4=a×(-2)^2$，
解得$a=1$，
∴抛物线的解析式为$y=x^2$。
∵Rt△OAB的顶点$A(-2,4)$，$AB⊥x$轴，
∴$OB=2$，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转$90°$得到△OCD，
∴对应边$OD=OB=2$，且$CD// x$轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2。
将$y=2$代入$y=x^2$得：$2=x^2$，
解得$x=\pm\sqrt{2}$，
∵点P在第一象限，横坐标为正，
∴$x=\sqrt{2}$，即点P的坐标为$(\sqrt{2},2)$。
【答案】
$(\sqrt{2},2)$
【知识点】
二次函数解析式求解；旋转的性质；二次函数图像上点的特征
【点评】
本题考查二次函数与图形旋转的综合应用，解题的关键是利用旋转的性质确定点P的纵坐标，很好地考察了基础知识点的结合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用点A在抛物线上，代入点坐标求出抛物线的解析式；再结合旋转的性质，得到△OCD的边CD与x轴平行，进而确定点P的纵坐标；最后将纵坐标代入抛物线解析式，结合点P所在象限求出横坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
解：
∵点$A(-2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴将$A(-2,4)$代入解析式得：$4=a×(-2)^2$，
解得$a=1$，
∴抛物线的解析式为$y=x^2$。
∵Rt△OAB的顶点$A(-2,4)$，$AB⊥x$轴，
∴$OB=2$，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转$90°$得到△OCD，
∴对应边$OD=OB=2$，且$CD// x$轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2。
将$y=2$代入$y=x^2$得：$2=x^2$，
解得$x=\pm\sqrt{2}$，
∵点P在第一象限，横坐标为正，
∴$x=\sqrt{2}$，即点P的坐标为$(\sqrt{2},2)$。
【答案】
$(\sqrt{2},2)$
【知识点】
二次函数解析式求解；旋转的性质；二次函数图像上点的特征
【点评】
本题考查二次函数与图形旋转的综合应用，解题的关键是利用旋转的性质确定点P的纵坐标，很好地考察了基础知识点的结合运用能力。
【难度系数】
0.7
9.求直线$y=3x+4$与抛物线$y=x^2$的交点坐标，并求出以两交点与原点为顶点的三角形的面积.
答案
9.解:由题意,得$ \begin{cases} y=3x+4,\\ y=x^2, \end{cases} $ 解得$ \begin{cases} x=4,\\ y=16 \end{cases} $或$ \begin{cases} x=-1,\\ y=1. \end{cases} $
$ \therefore $直线$ y=3x+4 $与抛物线$ y=x^2 $的交点坐标为$ (4,16) $、$ (-1,1) $.
如图,直线$ y=3x+4 $与$ y $轴相交于点$ C(0,4) $,
$ \therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}×4×4=8 $,
$ S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×4×1=2 $,
$ \therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=8+2=10 $.
解析
【分析】
本题可分为两步求解：第一步求交点坐标，函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立直线与抛物线的解析式，解方程组即可得到交点坐标；第二步求三角形面积，以两交点和原点为顶点的三角形没有边在坐标轴上，直接计算面积较复杂，可先找到直线与y轴的交点，将该三角形拆分为两个共底的小三角形，小三角形的底为直线与y轴交点到原点的距离，高分别为两个交点横坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积求和即可得到总面积。
【解析】
解：联立直线与抛物线的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=3x+4\\ y=x^2 \end{cases}$
将$y=x^2$代入$y=3x+4$，整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
将$x_1=4$代入$y=x^2$，得$y_1=16$；将$x_2=-1$代入$y=x^2$，得$y_2=1$。
∴直线$y=3x+4$与抛物线$y=x^2$的交点坐标为$(4,16)$、$(-1,1)$。
直线$y=3x+4$与y轴交于点$C$，令$x=0$，得$y=4$，即$C(0,4)$，故$OC=4$。
$△ AOC$以$OC$为底时，高为点$A$横坐标的绝对值4，因此$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2} × 4 × 4=8$；
$△ BOC$以$OC$为底时，高为点$B$横坐标的绝对值1，因此$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2} × 4 × 1=2$；
因此$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=8+2=10$。
【答案】
交点坐标为$(4,16)$、$(-1,1)$，三角形面积为10。
【知识点】
函数交点求解，割补法求面积
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题，考查了联立解析式求函数交点的基本方法，以及利用割补法简化不规则图形面积计算的技巧，解题时要学会灵活拆分图形，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
本题可分为两步求解：第一步求交点坐标，函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立直线与抛物线的解析式，解方程组即可得到交点坐标；第二步求三角形面积，以两交点和原点为顶点的三角形没有边在坐标轴上，直接计算面积较复杂，可先找到直线与y轴的交点，将该三角形拆分为两个共底的小三角形，小三角形的底为直线与y轴交点到原点的距离，高分别为两个交点横坐标的绝对值，分别计算两个小三角形的面积求和即可得到总面积。
【解析】
解：联立直线与抛物线的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=3x+4\\ y=x^2 \end{cases}$
将$y=x^2$代入$y=3x+4$，整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
将$x_1=4$代入$y=x^2$，得$y_1=16$；将$x_2=-1$代入$y=x^2$，得$y_2=1$。
∴直线$y=3x+4$与抛物线$y=x^2$的交点坐标为$(4,16)$、$(-1,1)$。
直线$y=3x+4$与y轴交于点$C$，令$x=0$，得$y=4$，即$C(0,4)$，故$OC=4$。
$△ AOC$以$OC$为底时，高为点$A$横坐标的绝对值4，因此$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2} × 4 × 4=8$；
$△ BOC$以$OC$为底时，高为点$B$横坐标的绝对值1，因此$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2} × 4 × 1=2$；
因此$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=8+2=10$。
【答案】
交点坐标为$(4,16)$、$(-1,1)$，三角形面积为10。
【知识点】
函数交点求解，割补法求面积
【点评】
本题是函数与几何结合的基础题，考查了联立解析式求函数交点的基本方法，以及利用割补法简化不规则图形面积计算的技巧，解题时要学会灵活拆分图形，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
10有一城门洞的横截面呈抛物线形，拱高4 m（最高点到地面的距离），把它放到如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为$y=-x^2$。
(1)城门洞最宽处AB的长是多少？
(2)现有一高为2.6 m、宽为2.2 m的运货车（从正中通过），它能否安全通过此门？
(1)城门洞最宽处AB的长是多少？
(2)现有一高为2.6 m、宽为2.2 m的运货车（从正中通过），它能否安全通过此门？
答案
10.解:(1)$ \because $点$ O $到$ AB $的距离为4 m,
$ \therefore A $、$ B $两点的纵坐标都为$ -4 $.
当$ -4=-x^2 $时,解得$ x=\pm2 $,
$ \therefore A(-2,-4) $,$ B(2,-4) $,
$ \therefore AB=4 $,即城门最宽处$ AB $的长为4 m.
(2)能.如图,设运货车行驶在城门洞正中,用矩形$ CDEF $表示运货车的横截面,则$ ED $、$ FC $均垂直于$ AB $,点$ E $、$ F $到$ AB $的距离均为2.6 m,点$ F $的横坐标为1.1.
设$ CF $的延长线交抛物线于点$ G $,则点$ G $的横坐标为1.1,$ \therefore $点$ G $的纵坐标为$ -1.1^2=-1.21 $,
$ \therefore $点$ G $到$ AB $的距离为$ 4-|-1.21|=2.79(\mathrm{m})＞2.6\ \mathrm{m} $,故此运货车能安全通过此门.
解析
【分析】
(1) 求城门最宽处AB的长度，首先确定AB的纵坐标：已知拱高为4m，最高点O在坐标原点，y轴向上，因此地面AB的纵坐标为-4。将y=-4代入抛物线解析式求出A、B两点的横坐标，两点横坐标的差即为AB的长度。
(2) 判断货车能否通行需利用抛物线对称性：货车从正中通过，宽度2.2m，因此货车边缘横坐标为2.2÷2=1.1，计算该横坐标对应的抛物线上点的纵坐标，求出该点到地面的高度，与货车高度2.6m比较即可判断是否能通行。
【解析】
(1) 由题意得，最高点O到地面AB的距离为4m，因此A、B两点的纵坐标均为-4。
将$y=-4$代入$y=-x^2$，可得：
$-4=-x^2$
解得$x=\pm2$，即$A(-2,-4)$，$B(2,-4)$
因此$AB=2-(-2)=4(\mathrm{m})$
(2) 货车从城门洞正中通过，宽度为2.2m，因此货车右侧边缘横坐标为$2.2÷2=1.1$。
设CF延长线交抛物线于点G，则G点横坐标为1.1，将$x=1.1$代入$y=-x^2$得：
$y=-1.1^2=-1.21$
G点到地面AB的高度为$4-|-1.21|=2.79(\mathrm{m})$
$\because2.79\mathrm{m}＞2.6\mathrm{m}$
$\therefore$该运货车能安全通过此门。
【答案】
(1) 城门洞最宽处AB的长为4 m；
(2) 能安全通过。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数求值，抛物线对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数的坐标计算问题，通过代入求值、比较大小即可得到结论，需要注意结合坐标系设定正确计算对应位置的高度。
【难度系数】
0.7
(1) 求城门最宽处AB的长度，首先确定AB的纵坐标：已知拱高为4m，最高点O在坐标原点，y轴向上，因此地面AB的纵坐标为-4。将y=-4代入抛物线解析式求出A、B两点的横坐标，两点横坐标的差即为AB的长度。
(2) 判断货车能否通行需利用抛物线对称性：货车从正中通过，宽度2.2m，因此货车边缘横坐标为2.2÷2=1.1，计算该横坐标对应的抛物线上点的纵坐标，求出该点到地面的高度，与货车高度2.6m比较即可判断是否能通行。
【解析】
(1) 由题意得，最高点O到地面AB的距离为4m，因此A、B两点的纵坐标均为-4。
将$y=-4$代入$y=-x^2$，可得：
$-4=-x^2$
解得$x=\pm2$，即$A(-2,-4)$，$B(2,-4)$
因此$AB=2-(-2)=4(\mathrm{m})$
(2) 货车从城门洞正中通过，宽度为2.2m，因此货车右侧边缘横坐标为$2.2÷2=1.1$。
设CF延长线交抛物线于点G，则G点横坐标为1.1，将$x=1.1$代入$y=-x^2$得：
$y=-1.1^2=-1.21$
G点到地面AB的高度为$4-|-1.21|=2.79(\mathrm{m})$
$\because2.79\mathrm{m}＞2.6\mathrm{m}$
$\therefore$该运货车能安全通过此门。
【答案】
(1) 城门洞最宽处AB的长为4 m；
(2) 能安全通过。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数求值，抛物线对称性
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题转化为二次函数的坐标计算问题，通过代入求值、比较大小即可得到结论，需要注意结合坐标系设定正确计算对应位置的高度。
【难度系数】
0.7
11 我们定义:把 $y^2=ax$ 叫作函数 $y=ax^2$ 的伴随函数,比如 $y^2=x$ 就是 $y=x^2$ 的伴随函数.数形结合是学习函数的一种重要方法,对于二次函数 $y=ax^2(a≠0)$,若点 $(m,n)$ 在函数 $y=ax^2$ 的图像上,则点 $(-m,n)$ 也在其图像上,即从数的角度可以知道它的图像关于 $y$ 轴对称.解答下列问题:
(1)$y^2=x$ 的图像关于
(2)①直接写出函数 $y=4x^2$ 的伴随函数的表达式:
②在如图所示的平面直角坐标系中画出 $y=4x^2$ 的伴随函数的大致图像.
(3)若直线 $y=kx-3k(k≠0)$ 与 $y=4x^2$ 的伴随函数图像交于 $A、B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的上方),连接 $OA、OB$,且 $△ ABO$ 的面积为 12,求 $k$ 的值.
(1)$y^2=x$ 的图像关于
$x$
轴对称.(2)①直接写出函数 $y=4x^2$ 的伴随函数的表达式:
$y^2=4x$
;②在如图所示的平面直角坐标系中画出 $y=4x^2$ 的伴随函数的大致图像.
(3)若直线 $y=kx-3k(k≠0)$ 与 $y=4x^2$ 的伴随函数图像交于 $A、B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的上方),连接 $OA、OB$,且 $△ ABO$ 的面积为 12,求 $k$ 的值.
答案
11.解:(1)$x$
(2)①$ y^2=4x $
②当$ x=0 $时,$ y=0 $;当$ x=1 $时,$ y=\pm2 $;
当$ x=4 $时,$ y=\pm4 $;当$ x=9 $时,$ y=\pm6 $.
根据上述值,描点,连线绘制函数大致图像如下:
(3)由于$ y=kx-3k=k(x-3) $,
故该函数图像过点$ (3,0) $,设该点为点$ C(3,0) $.
联立$ y=kx-3k $和$ y^2=4x $,整理,
得$ \dfrac{1}{4}y^2-\dfrac{1}{k}y-3=0 $,解得$ y=\dfrac{2}{k}\pm2\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+3} $,
即点$ A $、$ B $的纵坐标分别为$ \dfrac{2}{k}+2\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+3} $、$ \dfrac{2}{k}-2\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+3} $,则$ |y_A-y_B|=4\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+3} $.
$ \because △ ABO $的面积$ =S_{△ OCA}+S_{△ OCB}=\dfrac{1}{2}× OC×|y_A-y_B|=\dfrac{1}{2}×3×4\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+3}=12 $,解得$ k=\pm1 $.
经检验,$ k=\pm1 $是方程的根,故$ k $的值为$ \pm1 $.
解析
【分析】
(1) 类比题干给出的二次函数对称性推导方法：若点$(m,n)$在$y^2=x$图像上，则$n^2=m$，将点$(m,-n)$代入表达式得$(-n)^2=n^2=m$，也满足表达式，说明图像上任意点关于x轴的对称点也在图像上，即可判断对称轴。
(2) ①根据伴随函数的定义，$y=ax^2$的伴随函数为$y^2=ax$，直接代入$a=4$即可得到结果；②首先确定伴随函数$y^2=4x$中$x≥0$，取多个非负的特殊$x$值，计算对应$y$值，描点后平滑连线即可画出图像。
(3) 先对直线表达式变形，可发现其恒过定点$C(3,0)$，$△ ABO$的面积可拆分为$△ OAC$和$△ OBC$的面积和，两个三角形底均为$OC=3$，高分别为A、B纵坐标的绝对值，因此总面积为$\frac{1}{2}× OC×|y_A-y_B|$；再联立直线与伴随函数的方程，结合韦达定理求出两个纵坐标的差，代入面积公式建立关于$k$的方程，解方程后检验即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 若点$(m,n)$在$y^2=x$的图像上，则$n^2=m$，将点$(m,-n)$代入表达式得$(-n)^2=n^2=m$，也满足$y^2=x$，故$y^2=x$的图像关于x轴对称。
(2) ①根据伴随函数的定义，$y=ax^2$的伴随函数为$y^2=ax$，对于$y=4x^2$，$a=4$，因此伴随函数的表达式为$y^2=4x$。
②取特殊值计算对应$y$的值：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=\pm2$；当$x=4$时，$y=\pm4$；当$x=9$时，$y=\pm6$。
在坐标系中描出上述点，再用平滑曲线连线，即可得到伴随函数的大致图像。
(3) 将直线表达式变形为$y=k(x-3)$，令$x=3$，得$y=0$，因此直线恒过定点$C(3,0)$，即$OC=3$。
联立$\begin{cases}y=kx-3k\\y^2=4x\end{cases}$，将$x=\frac{y^2}{4}$代入直线方程，整理得$\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{k}y-3=0$。
设点$A$纵坐标为$y_A$，点$B$纵坐标为$y_B$，由韦达定理得$y_A+y_B=\frac{4}{k}$，$y_A y_B=-12$，则：
$|y_A - y_B|=\sqrt{(y_A+y_B)^2-4y_A y_B}=\sqrt{\frac{16}{k^2}+48}=4\sqrt{\frac{1}{k^2}+3}$
$△ ABO$的面积$=S_{△ OCA}+S_{△ OCB}=\frac{1}{2}× OC× |y_A - y_B|$，代入面积为12得：
$\frac{1}{2}×3×4\sqrt{\frac{1}{k^2}+3}=12$
化简得$\sqrt{\frac{1}{k^2}+3}=2$，两边平方得$\frac{1}{k^2}+3=4$，解得$k^2=1$，即$k=\pm1$。
经检验，$k=\pm1$均符合题意。
【答案】
(1)$x$
(2)①$ y^2=4x $
②
(3)$k$的值为$\pm1$
【知识点】
新定义函数，函数对称性，函数综合与面积计算
【点评】
本题以新定义“伴随函数”为载体，考查了函数对称性的推导、函数图像的画法，以及一次函数与函数交点结合的面积计算问题，解题时需准确理解新定义，灵活运用数形结合思想和拆分法计算三角形面积，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.6
(1) 类比题干给出的二次函数对称性推导方法：若点$(m,n)$在$y^2=x$图像上，则$n^2=m$，将点$(m,-n)$代入表达式得$(-n)^2=n^2=m$，也满足表达式，说明图像上任意点关于x轴的对称点也在图像上，即可判断对称轴。
(2) ①根据伴随函数的定义，$y=ax^2$的伴随函数为$y^2=ax$，直接代入$a=4$即可得到结果；②首先确定伴随函数$y^2=4x$中$x≥0$，取多个非负的特殊$x$值，计算对应$y$值，描点后平滑连线即可画出图像。
(3) 先对直线表达式变形，可发现其恒过定点$C(3,0)$，$△ ABO$的面积可拆分为$△ OAC$和$△ OBC$的面积和，两个三角形底均为$OC=3$，高分别为A、B纵坐标的绝对值，因此总面积为$\frac{1}{2}× OC×|y_A-y_B|$；再联立直线与伴随函数的方程，结合韦达定理求出两个纵坐标的差，代入面积公式建立关于$k$的方程，解方程后检验即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 若点$(m,n)$在$y^2=x$的图像上，则$n^2=m$，将点$(m,-n)$代入表达式得$(-n)^2=n^2=m$，也满足$y^2=x$，故$y^2=x$的图像关于x轴对称。
(2) ①根据伴随函数的定义，$y=ax^2$的伴随函数为$y^2=ax$，对于$y=4x^2$，$a=4$，因此伴随函数的表达式为$y^2=4x$。
②取特殊值计算对应$y$的值：
当$x=0$时，$y=0$；当$x=1$时，$y=\pm2$；当$x=4$时，$y=\pm4$；当$x=9$时，$y=\pm6$。
在坐标系中描出上述点，再用平滑曲线连线，即可得到伴随函数的大致图像。
(3) 将直线表达式变形为$y=k(x-3)$，令$x=3$，得$y=0$，因此直线恒过定点$C(3,0)$，即$OC=3$。
联立$\begin{cases}y=kx-3k\\y^2=4x\end{cases}$，将$x=\frac{y^2}{4}$代入直线方程，整理得$\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{k}y-3=0$。
设点$A$纵坐标为$y_A$，点$B$纵坐标为$y_B$，由韦达定理得$y_A+y_B=\frac{4}{k}$，$y_A y_B=-12$，则：
$|y_A - y_B|=\sqrt{(y_A+y_B)^2-4y_A y_B}=\sqrt{\frac{16}{k^2}+48}=4\sqrt{\frac{1}{k^2}+3}$
$△ ABO$的面积$=S_{△ OCA}+S_{△ OCB}=\frac{1}{2}× OC× |y_A - y_B|$，代入面积为12得：
$\frac{1}{2}×3×4\sqrt{\frac{1}{k^2}+3}=12$
化简得$\sqrt{\frac{1}{k^2}+3}=2$，两边平方得$\frac{1}{k^2}+3=4$，解得$k^2=1$，即$k=\pm1$。
经检验，$k=\pm1$均符合题意。
【答案】
(1)$x$
(2)①$ y^2=4x $
②
(3)$k$的值为$\pm1$
【知识点】
新定义函数，函数对称性，函数综合与面积计算
【点评】
本题以新定义“伴随函数”为载体，考查了函数对称性的推导、函数图像的画法，以及一次函数与函数交点结合的面积计算问题，解题时需准确理解新定义，灵活运用数形结合思想和拆分法计算三角形面积，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.6
