2026年课堂作业武汉出版社九年级数学上册人教版第92页答案

6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=30°$,$∠ BAC=90°$,将$△ ABC$绕顶点A逆时针旋转到$△ ADE$的位置,使B点的对应点D落在BC边上,连接EC.下列结论正确的是(

).
①$∠ DAC=∠ DCA$.
②$ED$所在直线为$AC$的垂直平分线.
③$△ ACE$是等边三角形.
④$ED=2AB$.

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④

答案

6.D

解析

【分析】
解题时先结合已知Rt△ABC的角度特征，再利用旋转的性质得到对应边、对应角相等的关系，随后逐个验证4个结论：首先根据AB=AD、∠B=60°判定△ABD是等边三角形，推导∠DAC的度数验证①；再通过AD=DC、AE=CE，结合垂直平分线的判定定理验证②；接着根据AC=AE、∠CAE=60°判定△ACE是等边三角形验证③；最后利用旋转对应边相等及直角三角形30°角的性质验证④，最终确定所有结论是否正确。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90°$，$∠ACB=30°$，因此$∠B=60°$，$BC=2AB$。
根据旋转的性质可得：$AB=AD$，$AC=AE$，$BC=DE$，$∠BAC=∠DAE=90°$，$∠ADE=∠B=60°$，旋转角$∠BAD=∠CAE$。
1. 验证①：
∵ $AB=AD$，$∠B=60°$，
∴ $△ABD$是等边三角形，
∴ $∠BAD=60°$，
∴ $∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°$，
又
∵ $∠DCA=30°$，
∴ $∠DAC=∠DCA$，故①正确。
2. 验证③：
∵ 旋转角$∠CAE=∠BAD=60°$，且$AC=AE$，
∴ $△ACE$是等边三角形，故③正确。
3. 验证②：
由①得$∠DAC=∠DCA$，
∴ $AD=DC$；
由③得$AE=CE$，
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，可知点D、E都在AC的垂直平分线上，因此ED所在直线为AC的垂直平分线，故②正确。
4. 验证④：
由旋转的性质得$ED=BC$，又
∵ $Rt△ABC$中$BC=2AB$，
∴ $ED=2AB$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题综合考查了几何图形变换与特殊三角形的相关知识，解题核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的特征，结合特殊三角形的性质和判定定理逐一推导结论，能够很好地锻炼学生的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6

7.【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法.倍长中线后,可构成中心对称图形.如图①,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,延长AD至点E,使$DE=AD$,连接CE,可以得到$△ ABD≌△ ECD$,理由是

SAS

(填“SSS”“SAS”“AAS”或“ASA”).
【问题解决】如图②,在$△ ABC$外分别作$AD⊥ AB$,$AE⊥ AC$,且$AB=AD$,$AC=AE$,连接DB,EC,DE,取DE的中点F,连接AF.判断AF与BC的数量关系,并说明理由.

答案

7.【方法初探】SAS
【问题解决】$BC=2AF$,理由如下：
延长 AF 至点 G,使 $FG=AF$,连接 EG,

解析

【分析】
方法初探部分：已知AD是BC边上的中线，可得BD=CD；延长AD到E使DE=AD，同时存在对顶角∠ADB=∠EDC，满足两边及夹角对应相等的全等判定条件，即可得到判定依据。
问题解决部分：要判断AF和BC的数量关系，已知F是DE中点，可采用倍长中线法构造全等三角形，将AF的2倍转化为新线段，再证明新线段与BC相等即可。具体思路为：先倍长AF构造△AFD≌△GFE，得到AD=GE、角的等量关系，结合AB=AD推出AB=GE；再根据垂直条件推导∠BAC与∠AEG相等，最后证明△BAC≌△GEA，即可得到BC=AG=2AF。
【解析】
【方法初探】
在$△ ABD$和$△ ECD$中：
∵AD是BC中线，$\therefore BD=CD$，
又$∠ ADB=∠ EDC$（对顶角相等），$AD=ED$，
$\therefore △ ABD≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，故填SAS。
【问题解决】
$BC=2AF$，理由如下：
延长AF至点G，使$FG=AF$，连接EG，

∵F是DE的中点，$\therefore DF=EF$，
在$△ AFD$和$△ GFE$中：
$\begin{cases} AF=GF \\ ∠ AFD=∠ GFE \\ DF=EF \end{cases}$
$\therefore △ AFD≌△ GFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ FAD=∠ G$，$AD=GE$，
$\because AB=AD$，$\therefore AB=GE$，
$\because AD⊥ AB$，$AE⊥ AC$，$\therefore ∠ BAD=∠ EAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ DAE=360°-∠ BAD-∠ EAC=360°-90°-90°=180°$，
又$∠ DAE=∠ FAD+∠ EAF$，
$\therefore ∠ BAC+∠ FAD+∠ EAF=180°$，
在$△ AEG$中，$∠ AEG+∠ G+∠ EAF=180°$，且$∠ FAD=∠ G$，
$\therefore ∠ AEG=∠ BAC$，
在$△ BAC$和$△ GEA$中：
$\begin{cases} AB=GE \\ ∠ BAC=∠ GEA \\ AC=AE \end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ GEA(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BC=AG$，
$\because AG=AF+FG=2AF$，
$\therefore BC=2AF$。
【答案】
【方法初探】SAS
【问题解决】$BC=2AF$，理由如下：
延长 AF 至点 G,使 $FG=AF$,连接 EG,

可以得到$△ AFD≌ △ GFE,\therefore ∠ FAD=∠ G,AD=GE$.
$\because AB=AD,\therefore AB=GE$.
$\because AD⊥ AB,AE⊥ AC,\therefore ∠ BAD=∠ EAC=90°$,
$\therefore ∠ BAC+∠ DAE=360°-90°-90°=180°,\therefore ∠ BAC+∠ FAD+∠ EAG=180°$,
$\because ∠ AEG+∠ G+∠ EAG=180°,\therefore ∠ AEG=∠ BAC$.
又$\because AC=AE,\therefore △ BAC≌ △ GEA(\mathrm{SAS}),\therefore BC=AG,\therefore BC=2AF$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 倍长中线辅助线
3. 垂直的定义
【点评】
本题从基础的倍长中线模型切入，引导学生掌握利用中点构造中心对称全等三角形的方法，通过两次全等转化线段与角的等量关系，进而推出线段的倍分关系，有效考察了学生的模型应用能力和逻辑推理能力，是三角形全等相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.65

8.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$∠ APB=45°$.连接$CP$,将线段$CP$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到线段$CQ$,连接$AQ$.
(1)依题意补全图形,并证明:$AQ=BP$.
(2)求$∠ QAP$的度数.
(3)若$N$为线段$AB$的中点,连接$NP$,请用等式表示线段$NP$与$CP$之间的数量关系,并证明.

答案

8.(1)补全图形如图.

证明:$\because ∠ QCP=∠ ACB=90°,\therefore ∠ QCA=∠ PCB$,
由旋转得 $CQ=CP$,又$\because AC=BC,\therefore △ QCA≌ △ PCB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AQ=BP$.
(2)$\because △ QCA≌ △ PCB,\therefore ∠ CQA=∠ CPB$,
$\because ∠ APB=∠ CPQ=45°,\therefore ∠ APQ=∠ CPB$,
$\therefore ∠ AQP+∠ APQ=∠ AQP+∠ CQA=∠ CQP=45°$,
$\therefore ∠ QAP=180°-45°=135°$.
(3)$\sqrt{2}\,NP=CP$.
证明:连接 PN 并延长 PN 到点 T,使得 $NT=NP$,连接 AT.
在$△ ANT$ 和$△ BNP$ 中$\begin{cases} NA=NB, \\ ∠ ANT=∠ BNP, \\ NT=NP, \end{cases}\therefore △ ANT≌ △ BNP(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AT=PB,∠ T=∠ NPB$,
$\therefore AT// PB,\therefore ∠ TAP+∠ APB=180°$,
$\because ∠ APB=45°,\therefore ∠ TAP=135°=∠ QAP$.
$\because AQ=PB,\therefore AT=AQ$.
在$△ PAT$ 和$△ PAQ$ 中$\begin{cases} PA=PA, \\ ∠ PAT=∠ PAQ, \\ AT=AQ, \end{cases}\therefore △ PAT≌ △ PAQ(\mathrm{SAS})$,
$\therefore PT=PQ=\sqrt{2}\,CP,\therefore 2NP=\sqrt{2}\,CP$,即$\sqrt{2}\,NP=CP$.

解析

【分析】
(1) 先根据旋转要求补全图形：将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到CQ，连接AQ即可。要证AQ=BP，可通过证明两条线段所在的△QCA和△PCB全等来推导：由旋转性质得CQ=CP、∠QCP=90°，结合已知∠ACB=90°，可推出∠QCA=∠PCB，再搭配AC=BC的条件，用SAS即可证明三角形全等，得到边相等的结论。
(2) 求∠QAP的度数时，可利用(1)的全等得到对应角相等，再结合等腰直角△CQP的内角为45°、已知∠APB=45°的条件，对角度进行转化，得到△QAP中两个内角的和为45°，最后用三角形内角和定理即可求出∠QAP的度数。
(3) 探究NP和CP的数量关系时，已知N是AB中点，遇到中点相关的线段关系问题，常用倍长中线法构造全等：延长PN到T使NT=NP，连接AT，先证△ANT≌△BNP得到边和角的等量关系，推出AT//BP，再结合(1)(2)的结论证明△PAT≌△PAQ，得到PT=PQ，最后结合等腰直角三角形三边关系即可推导出NP和CP的数量关系。
【解析】
(1) 补全图形如图：

证明：$\because ∠ QCP=∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ QCP-∠ACP=∠ ACB-∠ACP$，即$∠ QCA=∠ PCB$
由旋转的性质得 $CQ=CP$，又$\because AC=BC$
$\therefore △ QCA≌ △ PCB(\mathrm{SAS})$
$\therefore AQ=BP$
(2) 解：$\because △ QCA≌ △ PCB$
$\therefore ∠ CQA=∠ CPB$
$\because CQ=CP,∠QCP=90°$，$\therefore △CQP$为等腰直角三角形，$∠ CPQ=∠CQP=45°$
$\because ∠ APB=45°$，$\therefore ∠ APQ+∠APC=∠CPB+∠APC$，即$∠ APQ=∠ CPB$
$\therefore ∠ AQP+∠ APQ=∠ AQP+∠ CQA=∠ CQP=45°$
在$△ QAP$中，$∠ QAP=180°-(∠ AQP+∠ APQ)=180°-45°=135°$
(3) 线段关系：$\sqrt{2}\,NP=CP$，证明如下：
连接 PN 并延长 PN 到点 T,使得 $NT=NP$,连接 AT.
在$△ ANT$ 和$△ BNP$ 中
$\begin{cases} NA=NB, \\ ∠ ANT=∠ BNP, \\ NT=NP, \end{cases}$
$\therefore △ ANT≌ △ BNP(\mathrm{SAS})$
$\therefore AT=PB,∠ T=∠ NPB$
$\therefore AT// PB$，$\therefore ∠ TAP+∠ APB=180°$
$\because ∠ APB=45°$，$\therefore ∠ TAP=180°-45°=135°=∠ QAP$
$\because AQ=PB$，$\therefore AT=AQ$
在$△ PAT$ 和$△ PAQ$ 中
$\begin{cases} PA=PA, \\ ∠ PAT=∠ PAQ, \\ AT=AQ, \end{cases}$
$\therefore △ PAT≌ △ PAQ(\mathrm{SAS})$
$\therefore PT=PQ$
在等腰$Rt△ CQP$中，$PQ=\sqrt{2}CP$，又$PT=NT+NP=2NP$
$\therefore 2NP=\sqrt{2}\,CP$，即$\sqrt{2}\,NP=CP$
【答案】
8.(1)补全图形如图.

扫码登录