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14.(8分)在平面直角坐标系内,点P的坐标为(2x,3x−1).
(1)若点P在x轴上,求x的值;(2分)
(2)若点P在第一象限的角平分线上,求x的值;(3分)
(3)若点P在第三象限,且到两坐标轴的距离之和为16,求x的值.(3分)
(1)若点P在x轴上,求x的值;(2分)
(2)若点P在第一象限的角平分线上,求x的值;(3分)
(3)若点P在第三象限,且到两坐标轴的距离之和为16,求x的值.(3分)
答案
14. (1)解:由题意,得 $3x-1=0$,解得
$x=\frac{1}{3}.$
(2)由题意,得 $2x=3x-1$,解得 $x=1.$
(3)由题意,得 $2x+3x-1=-16$,解得 $x=-3.$
$x=\frac{1}{3}.$
(2)由题意,得 $2x=3x-1$,解得 $x=1.$
(3)由题意,得 $2x+3x-1=-16$,解得 $x=-3.$
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解题时根据不同位置点的坐标规律列方程求解即可：
(1) x轴上所有点的纵坐标为0，因此令点P的纵坐标$3x-1$等于0，解方程即可得到x的值；
(2) 第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，且均为正数，因此令点P的横坐标$2x$等于纵坐标$3x-1$，解方程后验证符号符合要求即可；
(3) 第三象限内的点横、纵坐标均为负数，点到两坐标轴的距离为对应坐标的绝对值，先根据距离之和为16列出含绝对值的方程，再结合第三象限坐标的符号去掉绝对值，解方程后验证符合要求即可。
【解析】
(1)
∵x轴上的点纵坐标为0，由题意得：
$3x-1=0$
解得 $x=\frac{1}{3}$。
(2)
∵第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，且均为正，由题意得：
$2x=3x-1$
解得 $x=1$。
验证：当$x=1$时，$2x=2＞0$，$3x-1=2＞0$，符合第一象限坐标要求。
(3)
∵第三象限内的点横、纵坐标均为负数，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，由题意得：
$|2x| + |3x-1| = 16$
∵点P在第三象限，
∴$2x＜0$，$3x-1＜0$，去绝对值得：
$-2x - (3x-1) = 16$
整理得：$-5x + 1 = 16$
解得 $x=-3$。
验证：当$x=-3$时，$2x=-6＜0$，$3x-1=-10＜0$，符合第三象限坐标要求。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{3}$；(2) $x=1$；(3) $x=-3$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；象限角平分线上点的坐标特征；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心是掌握不同位置点的坐标规律，结合题意列方程求解即可，第三问需注意第三象限坐标的符号，去绝对值时不要出错，代入验证可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，解题时根据不同位置点的坐标规律列方程求解即可：
(1) x轴上所有点的纵坐标为0，因此令点P的纵坐标$3x-1$等于0，解方程即可得到x的值；
(2) 第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，且均为正数，因此令点P的横坐标$2x$等于纵坐标$3x-1$，解方程后验证符号符合要求即可；
(3) 第三象限内的点横、纵坐标均为负数，点到两坐标轴的距离为对应坐标的绝对值，先根据距离之和为16列出含绝对值的方程，再结合第三象限坐标的符号去掉绝对值，解方程后验证符合要求即可。
【解析】
(1)
∵x轴上的点纵坐标为0，由题意得：
$3x-1=0$
解得 $x=\frac{1}{3}$。
(2)
∵第一象限角平分线上的点横、纵坐标相等，且均为正，由题意得：
$2x=3x-1$
解得 $x=1$。
验证：当$x=1$时，$2x=2＞0$，$3x-1=2＞0$，符合第一象限坐标要求。
(3)
∵第三象限内的点横、纵坐标均为负数，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，由题意得：
$|2x| + |3x-1| = 16$
∵点P在第三象限，
∴$2x＜0$，$3x-1＜0$，去绝对值得：
$-2x - (3x-1) = 16$
整理得：$-5x + 1 = 16$
解得 $x=-3$。
验证：当$x=-3$时，$2x=-6＜0$，$3x-1=-10＜0$，符合第三象限坐标要求。
【答案】
(1) $x=\frac{1}{3}$；(2) $x=1$；(3) $x=-3$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；象限角平分线上点的坐标特征；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心是掌握不同位置点的坐标规律，结合题意列方程求解即可，第三问需注意第三象限坐标的符号，去绝对值时不要出错，代入验证可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7
15.(10分)如图,已知$△ ABC$经过平移后得到$△ A_1B_1C_1$,点$A$与$A_1$,点$B$与$B_1$,点$C$与$C_1$分别是对应点.观察各对应点坐标之间的关系,解答下列问题:
(1)分别写出点$A$与$A_1$,点$B$与$B_1$,点$C$与$C_1$的坐标;(5分)
(2)若点$P(x,y)$通过上述的平移规律平移得到的对应点为$Q(3,5)$,求$P$点坐标.(5分)
(1)分别写出点$A$与$A_1$,点$B$与$B_1$,点$C$与$C_1$的坐标;(5分)
(2)若点$P(x,y)$通过上述的平移规律平移得到的对应点为$Q(3,5)$,求$P$点坐标.(5分)
答案
15. (1)解:由图知 $A(1,2),A_1(-2,-1);B(2,1),B_1(-1,-2);C(3,3),C_1(0,0).$
(2)由(1)知,平移的方向和距离为:向左平移 3 个单位、向下平移 3 个单位, $\therefore \begin{cases} x-3=3,\\ y-3=5, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x=6,\\ y=8. \end{cases}$ $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(6,8).$
(2)由(1)知,平移的方向和距离为:向左平移 3 个单位、向下平移 3 个单位, $\therefore \begin{cases} x-3=3,\\ y-3=5, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x=6,\\ y=8. \end{cases}$ $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(6,8).$
解析
【分析】
(1) 要写出各对应点的坐标，依据平面直角坐标系内点的坐标定义：点的横坐标是该点向x轴作垂线对应x轴的数值，纵坐标是该点向y轴作垂线对应y轴的数值，按此规则依次读取各点坐标即可。
(2) 首先观察第一问得到的对应点坐标变化规律：对比A与A₁的横、纵坐标，横坐标从1变为-2减少了3，纵坐标从2变为-1也减少了3，可知平移规律为横坐标减3、纵坐标减3（即向左平移3个单位，向下平移3个单位）。已知平移后的点Q坐标，要求平移前的点P坐标，可根据平移规律列关于x、y的方程，求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系中点的坐标读取规则，可得：
$A(1,2)$，对应点$A_1(-2,-1)$；
$B(2,1)$，对应点$B_1(-1,-2)$；
$C(3,3)$，对应点$C_1(0,0)$。
(2) 由(1)中对应点的坐标变化可知，本次平移的规律为：横坐标减3，纵坐标减3。
已知点$P(x,y)$平移后得到对应点$Q(3,5)$，根据平移规律列方程组：
$\begin{cases} x-3=3 \\ y-3=5 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=6 \\ y=8 \end{cases}$
即点P的坐标为$(6,8)$。
【答案】
(1)$A(1,2),A_1(-2,-1);B(2,1),B_1(-1,-2);C(3,3),C_1(0,0)$
(2)$P(6,8)$
【知识点】
1. 点的坐标读取
2. 平移的坐标规律
3. 坐标逆运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中点的坐标确定方法、图形平移的坐标变化规律，解题核心是准确找到平移前后横纵坐标的变化规则，逆推原坐标时注意运算的反向性，是平移章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
(1) 要写出各对应点的坐标，依据平面直角坐标系内点的坐标定义：点的横坐标是该点向x轴作垂线对应x轴的数值，纵坐标是该点向y轴作垂线对应y轴的数值，按此规则依次读取各点坐标即可。
(2) 首先观察第一问得到的对应点坐标变化规律：对比A与A₁的横、纵坐标，横坐标从1变为-2减少了3，纵坐标从2变为-1也减少了3，可知平移规律为横坐标减3、纵坐标减3（即向左平移3个单位，向下平移3个单位）。已知平移后的点Q坐标，要求平移前的点P坐标，可根据平移规律列关于x、y的方程，求解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系中点的坐标读取规则，可得：
$A(1,2)$，对应点$A_1(-2,-1)$；
$B(2,1)$，对应点$B_1(-1,-2)$；
$C(3,3)$，对应点$C_1(0,0)$。
(2) 由(1)中对应点的坐标变化可知，本次平移的规律为：横坐标减3，纵坐标减3。
已知点$P(x,y)$平移后得到对应点$Q(3,5)$，根据平移规律列方程组：
$\begin{cases} x-3=3 \\ y-3=5 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x=6 \\ y=8 \end{cases}$
即点P的坐标为$(6,8)$。
【答案】
(1)$A(1,2),A_1(-2,-1);B(2,1),B_1(-1,-2);C(3,3),C_1(0,0)$
(2)$P(6,8)$
【知识点】
1. 点的坐标读取
2. 平移的坐标规律
3. 坐标逆运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中点的坐标确定方法、图形平移的坐标变化规律，解题核心是准确找到平移前后横纵坐标的变化规则，逆推原坐标时注意运算的反向性，是平移章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.85
16.(10分)已知下列各点:$A(0,3),B(-1,1),C(-3,2),D(-2,0),E(-3,-2),F(-1,-1),G(0,-3),H(1,-1),I(3,-2),J(2,0),K(3,2),L(1,1).$
(1)在平面直角坐标系中,分别描出上述各点,并顺次连接(最后一个点与第一个点也连接),看看是个什么图形?(5分)
(2)试求(1)中连线所围成的图形的面积.(5分)
(1)在平面直角坐标系中,分别描出上述各点,并顺次连接(最后一个点与第一个点也连接),看看是个什么图形?(5分)
(2)试求(1)中连线所围成的图形的面积.(5分)
答案
16. (1)解:如图
，描点连线后得到的图形是六角星；(2)$\because$ 第一象限中围成的图形的面积为 $3× 3-2× \frac{1}{2}× 2× 1-\frac{1}{2}× (1+2)× 2=4$,而所围成的图形被坐标轴平均分成四部分,$\therefore$ 连线所围成的图形的面积为$4× 4=16.$
解析
【分析】
(1)问解题思路：先掌握平面直角坐标系内描点的方法，即根据点的横、纵坐标分别对应x轴、y轴上的数值，定位每个点的位置，再按照题目给出的点的顺序依次连接，最后将最后一个点和第一个点相连，观察图形形状即可。
(2)问解题思路：首先观察所得图形的对称性，发现图形同时关于x轴、y轴对称，因此四个象限内的图形面积完全相等，仅需计算第一象限内的图形面积，再乘4即可得到总面积。计算单象限内不规则图形面积时，采用割补法，用包含该图形的规则正方形面积减去多余部分的面积即可。
【解析】
(1) 描点步骤：
① 对每个给出的坐标，如A(0,3)，找到x轴刻度0、y轴刻度3的交点即为点A，同理依次描出B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L所有点；
② 按照$A\to B\to C\to D\to E\to F\to G\to H\to I\to J\to K\to L\to A$的顺序顺次连接各点，观察所得图形。
(2) 面积计算：
由图形的对称性可知，该图形被坐标轴平均分成4个面积相等的部分，仅需计算第一象限内图形的面积：
将第一象限内的图形放入边长为3的正方形（x范围0~3，y范围0~3）中计算：
大正方形面积：$3× 3=9$
多余部分面积：2个直角边为2、1的直角三角形面积和为$2× \frac{1}{2}× 2× 1=2$，1个上底1、下底2、高2的梯形面积为$\frac{1}{2}× (1+2)× 2=3$
因此第一象限内图形面积：$9-2-3=4$
整个图形总面积：$4× 4=16$
【答案】
(1) 如图，描点连线后得到的图形是六角星；
(2) 连线所围成的图形的面积为$\boxed{16}$。
【知识点】
坐标系描点；图形对称性；割补法求面积
【点评】
本题结合坐标系基础操作和不规则图形面积计算，利用对称性可简化计算过程，割补法是求解不规则图形面积的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)问解题思路：先掌握平面直角坐标系内描点的方法，即根据点的横、纵坐标分别对应x轴、y轴上的数值，定位每个点的位置，再按照题目给出的点的顺序依次连接，最后将最后一个点和第一个点相连，观察图形形状即可。
(2)问解题思路：首先观察所得图形的对称性，发现图形同时关于x轴、y轴对称，因此四个象限内的图形面积完全相等，仅需计算第一象限内的图形面积，再乘4即可得到总面积。计算单象限内不规则图形面积时，采用割补法，用包含该图形的规则正方形面积减去多余部分的面积即可。
【解析】
(1) 描点步骤：
① 对每个给出的坐标，如A(0,3)，找到x轴刻度0、y轴刻度3的交点即为点A，同理依次描出B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L所有点；
② 按照$A\to B\to C\to D\to E\to F\to G\to H\to I\to J\to K\to L\to A$的顺序顺次连接各点，观察所得图形。
(2) 面积计算：
由图形的对称性可知，该图形被坐标轴平均分成4个面积相等的部分，仅需计算第一象限内图形的面积：
将第一象限内的图形放入边长为3的正方形（x范围0~3，y范围0~3）中计算：
大正方形面积：$3× 3=9$
多余部分面积：2个直角边为2、1的直角三角形面积和为$2× \frac{1}{2}× 2× 1=2$，1个上底1、下底2、高2的梯形面积为$\frac{1}{2}× (1+2)× 2=3$
因此第一象限内图形面积：$9-2-3=4$
整个图形总面积：$4× 4=16$
【答案】
(1) 如图
，描点连线后得到的图形是六角星；(2) 连线所围成的图形的面积为$\boxed{16}$。
【知识点】
坐标系描点；图形对称性；割补法求面积
【点评】
本题结合坐标系基础操作和不规则图形面积计算，利用对称性可简化计算过程，割补法是求解不规则图形面积的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
17.(10分)已知当$m,n$都是实数，且满足$2m=8+n$时，称$P(m-1,\dfrac{n+2}{2})$为“开心点”。
(1)判断点$A(5,3)$是否为“开心点”，并说明理由；(5分)
(2)若$M(a,2a-1)$是“开心点”，请判断点$M$在第几象限？并说明理由.(5分)
(1)判断点$A(5,3)$是否为“开心点”，并说明理由；(5分)
(2)若$M(a,2a-1)$是“开心点”，请判断点$M$在第几象限？并说明理由.(5分)
答案
17. (1)解:点 $A(5,3)$ 为“开心点”,理由如下:当 $A(5,3)$ 为“开心点”时,$m-1=5,\frac{n+2}{2}=3$,解得 $m=6,n=4$.则 $2m=12,8+n=12$,所以 $2m=8+n$,所以 $A(5,3)$ 是“开心点”.
(2)点 $M$ 在第三象限,理由如下:易知 $m-1=a,\frac{n+2}{2}=2a-1,\therefore m=a+1,n=4a-4$,则有 $2a+2=8+4a-4,\therefore a=-1,\therefore 2a-1=-3,\therefore M(-1,-3)$,故点 $M$ 在第三象限.
(2)点 $M$ 在第三象限,理由如下:易知 $m-1=a,\frac{n+2}{2}=2a-1,\therefore m=a+1,n=4a-4$,则有 $2a+2=8+4a-4,\therefore a=-1,\therefore 2a-1=-3,\therefore M(-1,-3)$,故点 $M$ 在第三象限.
解析
【分析】
本题属于新定义类题目，解题核心是准确理解“开心点”的定义：点$P(m-1,\frac{n+2}{2})$为开心点的前提是$m、n$满足$2m=8+n$。
（1）判断点$A$是否为开心点：先根据点$A$的横、纵坐标对应开心点的坐标表达式，反求出对应的$m、n$，再代入$2m=8+n$验证等式是否成立即可。
（2）判断点$M$所在象限：先根据$M$是开心点，用含$a$的代数式表示出$m、n$，再代入$2m=8+n$列方程求解$a$的值，得到$M$的坐标后，结合象限内点的坐标特征判断位置即可。
【解析】
(1) 点$A(5,3)$是“开心点”，理由如下：
若$A(5,3)$为“开心点”，则$m-1=5$，$\frac{n+2}{2}=3$，解得$m=6$，$n=4$。
代入验证：$2m=2×6=12$，$8+n=8+4=12$，满足$2m=8+n$，因此$A(5,3)$是“开心点”。
(2) 点$M$在第三象限，理由如下：
因为$M(a,2a-1)$是“开心点”，所以$m-1=a$，$\frac{n+2}{2}=2a-1$，整理得$m=a+1$，$n=4a-4$。
将$m、n$代入$2m=8+n$得：$2(a+1)=8+4a-4$，
解方程得：$2a+2=4a+4$，$2a=-2$，$a=-1$。
因此$2a-1=2×(-1)-1=-3$，即$M(-1,-3)$，横纵坐标均为负，故点$M$在第三象限。
【答案】
(1) 点$A(5,3)$是“开心点”；
(2) 点$M$在第三象限。
【知识点】
新定义问题、点的坐标特征、一元一次方程的解法
【点评】
本题以新定义为载体，重点考察信息提取能力和知识迁移应用能力，解题的关键是抓住“开心点”对应的等量关系，将陌生问题转化为已学的方程、坐标类常规问题求解。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义类题目，解题核心是准确理解“开心点”的定义：点$P(m-1,\frac{n+2}{2})$为开心点的前提是$m、n$满足$2m=8+n$。
（1）判断点$A$是否为开心点：先根据点$A$的横、纵坐标对应开心点的坐标表达式，反求出对应的$m、n$，再代入$2m=8+n$验证等式是否成立即可。
（2）判断点$M$所在象限：先根据$M$是开心点，用含$a$的代数式表示出$m、n$，再代入$2m=8+n$列方程求解$a$的值，得到$M$的坐标后，结合象限内点的坐标特征判断位置即可。
【解析】
(1) 点$A(5,3)$是“开心点”，理由如下：
若$A(5,3)$为“开心点”，则$m-1=5$，$\frac{n+2}{2}=3$，解得$m=6$，$n=4$。
代入验证：$2m=2×6=12$，$8+n=8+4=12$，满足$2m=8+n$，因此$A(5,3)$是“开心点”。
(2) 点$M$在第三象限，理由如下：
因为$M(a,2a-1)$是“开心点”，所以$m-1=a$，$\frac{n+2}{2}=2a-1$，整理得$m=a+1$，$n=4a-4$。
将$m、n$代入$2m=8+n$得：$2(a+1)=8+4a-4$，
解方程得：$2a+2=4a+4$，$2a=-2$，$a=-1$。
因此$2a-1=2×(-1)-1=-3$，即$M(-1,-3)$，横纵坐标均为负，故点$M$在第三象限。
【答案】
(1) 点$A(5,3)$是“开心点”；
(2) 点$M$在第三象限。
【知识点】
新定义问题、点的坐标特征、一元一次方程的解法
【点评】
本题以新定义为载体，重点考察信息提取能力和知识迁移应用能力，解题的关键是抓住“开心点”对应的等量关系，将陌生问题转化为已学的方程、坐标类常规问题求解。
【难度系数】
0.8
