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6.如图,一块矩形草地的长为100m,宽为80m,欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x(m)的小路,这时草坪的面积为y(m²).求y与x的函数关系式,并求出x的取值范围.
答案
6.设中间修筑两条互相垂直的宽为$x$(m)的小路,草坪的面积为$y$(m²),根据题意得 $y=100×80-80x-100x+x^2=x^2-180x+8000(0＜x＜80)$
解析
【分析】
解题时可采用“总面积减道路面积”的思路，先计算整块矩形草地的总面积，再减去两条小路的面积得到草坪面积。需要注意：两条互相垂直的小路存在重叠的正方形区域，该区域在减去两条小路面积时被重复扣除了1次，因此最后要加回重叠部分的面积；求x的取值范围时要结合实际意义：小路的宽度必须为正数，同时不能超过矩形草地的宽度，否则草坪不存在不符合实际。
【解析】
首先计算矩形草地的总面积：$100 × 80 = 8000 \, \mathrm{m}^2$
竖直方向小路的面积为：$80x \, \mathrm{m}^2$
水平方向小路的面积为：$100x \, \mathrm{m}^2$
两条小路重叠部分是边长为$x$的正方形，面积为$x^2 \, \mathrm{m}^2$，该部分被重复减去1次，需要补回。
因此草坪面积为：
$\begin{aligned}y &= 8000 - 80x - 100x + x^2 \\&= x^2 - 180x + 8000\end{aligned}$
结合实际意义：小路宽度$x＞0$，且小路宽度不能超过草地的宽80m（否则无草坪），即$x＜80$，因此$x$的取值范围是$0＜x＜80$。
【答案】
$y=x^2-180x+8000(0＜x＜80)$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 矩形面积计算
3. 自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数的基础实际应用题，解题核心是避免重复扣除两条小路的重叠面积，易错点是忽略重叠部分导致面积计算错误，同时要注意函数自变量的取值范围必须符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
解题时可采用“总面积减道路面积”的思路，先计算整块矩形草地的总面积，再减去两条小路的面积得到草坪面积。需要注意：两条互相垂直的小路存在重叠的正方形区域，该区域在减去两条小路面积时被重复扣除了1次，因此最后要加回重叠部分的面积；求x的取值范围时要结合实际意义：小路的宽度必须为正数，同时不能超过矩形草地的宽度，否则草坪不存在不符合实际。
【解析】
首先计算矩形草地的总面积：$100 × 80 = 8000 \, \mathrm{m}^2$
竖直方向小路的面积为：$80x \, \mathrm{m}^2$
水平方向小路的面积为：$100x \, \mathrm{m}^2$
两条小路重叠部分是边长为$x$的正方形，面积为$x^2 \, \mathrm{m}^2$，该部分被重复减去1次，需要补回。
因此草坪面积为：
$\begin{aligned}y &= 8000 - 80x - 100x + x^2 \\&= x^2 - 180x + 8000\end{aligned}$
结合实际意义：小路宽度$x＞0$，且小路宽度不能超过草地的宽80m（否则无草坪），即$x＜80$，因此$x$的取值范围是$0＜x＜80$。
【答案】
$y=x^2-180x+8000(0＜x＜80)$
【知识点】
1. 二次函数实际应用
2. 矩形面积计算
3. 自变量取值范围
【点评】
本题属于二次函数的基础实际应用题，解题核心是避免重复扣除两条小路的重叠面积，易错点是忽略重叠部分导致面积计算错误，同时要注意函数自变量的取值范围必须符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
7.二次函数的一次项系数为0，且当$x=-1$时，$y=2$，写出一个符合条件的二次函数表达式
$y=2x^2$（答案不唯一）
.答案
7.答案不唯一,只需符合$a+c=2$且$a≠0$,如$y=2x^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。第一步根据题目“一次项系数为0”的条件，可得$b=0$，因此解析式可简化为$y=ax^2+c$（$a≠0$）；第二步将$x=-1$、$y=2$代入简化后的解析式，计算得出$a$和$c$的数量关系为$a+c=2$；第三步只要满足$a≠0$且$a+c=2$，任意赋值即可得到符合条件的二次函数表达式。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），
∵ 一次项系数为0，
∴ $b=0$，即函数表达式简化为$y=ax^2+c$（$a≠0$），
将$x=-1$，$y=2$代入得：$a×(-1)^2 + c = 2$，
整理得：$a+c=2$，
只需满足$a≠0$且$a+c=2$即可，例如取$a=2$，则$c=0$，对应的二次函数表达式为$y=2x^2$（答案不唯一）。
【答案】
答案不唯一，如$y=2x^2$（符合$a+c=2$且$a≠0$即可）
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的一般式；点与函数解析式的关系
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对二次函数基本概念的理解，解题时需注意二次项系数不能为0的隐含条件，只要熟练掌握二次函数的基本形式就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。第一步根据题目“一次项系数为0”的条件，可得$b=0$，因此解析式可简化为$y=ax^2+c$（$a≠0$）；第二步将$x=-1$、$y=2$代入简化后的解析式，计算得出$a$和$c$的数量关系为$a+c=2$；第三步只要满足$a≠0$且$a+c=2$，任意赋值即可得到符合条件的二次函数表达式。
【解析】
设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），
∵ 一次项系数为0，
∴ $b=0$，即函数表达式简化为$y=ax^2+c$（$a≠0$），
将$x=-1$，$y=2$代入得：$a×(-1)^2 + c = 2$，
整理得：$a+c=2$，
只需满足$a≠0$且$a+c=2$即可，例如取$a=2$，则$c=0$，对应的二次函数表达式为$y=2x^2$（答案不唯一）。
【答案】
答案不唯一，如$y=2x^2$（符合$a+c=2$且$a≠0$即可）
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的一般式；点与函数解析式的关系
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对二次函数基本概念的理解，解题时需注意二次项系数不能为0的隐含条件，只要熟练掌握二次函数的基本形式就能快速作答。
【难度系数】
0.9
8.若$y=(m^2 - 2m - 3)x^2 + (m - 1)x + m^2$是关于x的二次函数，则m的取值范围是
$m≠3$且$m≠-1$
.答案
8.$m≠3$且$m≠-1$
解析
【分析】
要确定函数是二次函数时m的取值范围，需依据二次函数的定义思考：二次函数的最高次项为二次，且二次项系数不能为0。本题中函数已经给出x的最高次项是$x^2$，因此只需让二次项系数$m^2-2m-3$不等于0，解这个不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次项系数不为0，可得：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
对左边因式分解得：
$(m-3)(m+1) ≠ 0$
即$m-3 ≠ 0$且$m+1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
【答案】
$m≠3$且$m≠-1$
【知识点】
二次函数的定义；因式分解；解不等式
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，熟练掌握二次函数的基本特征即可正确解题。
【难度系数】
0.7
要确定函数是二次函数时m的取值范围，需依据二次函数的定义思考：二次函数的最高次项为二次，且二次项系数不能为0。本题中函数已经给出x的最高次项是$x^2$，因此只需让二次项系数$m^2-2m-3$不等于0，解这个不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：根据二次函数的定义，二次项系数不为0，可得：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
对左边因式分解得：
$(m-3)(m+1) ≠ 0$
即$m-3 ≠ 0$且$m+1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
【答案】
$m≠3$且$m≠-1$
【知识点】
二次函数的定义；因式分解；解不等式
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，熟练掌握二次函数的基本特征即可正确解题。
【难度系数】
0.7
9.在一定条件下，若物体运动的路程$s$(米)与时间$t$(秒)的关系式为$s=5t^2 + 2t$，则当$t=4$时，该物体所经过的路程为（
A.88米
B.68米
C.48米
D.28米
A
）A.88米
B.68米
C.48米
D.28米
答案
9.A
解析
【分析】
本题是已知路程关于时间的二次函数关系式，求特定时间对应的路程，属于已知自变量的值求函数值的问题。解题思路清晰，直接将自变量t=4代入函数关系式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算，即可得到对应的s值，也就是物体经过的路程。
【解析】
将$ t=4 $代入路程公式$ s=5t^2 + 2t $中计算：
1. 先算乘方：$ 4^2=16 $
2. 再算乘法：$ 5×16=80 $，$ 2×4=8 $
3. 最后算加法：$ s=80+8=88 $（米）
因此当$ t=4 $时，物体经过的路程为88米，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 求函数值
2. 二次函数的意义
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数值的求解方法，只要掌握代入求值的思路，严格遵循运算顺序计算即可得分，需注意避免运算顺序错误或者计算失误。
【难度系数】
0.9
本题是已知路程关于时间的二次函数关系式，求特定时间对应的路程，属于已知自变量的值求函数值的问题。解题思路清晰，直接将自变量t=4代入函数关系式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算，即可得到对应的s值，也就是物体经过的路程。
【解析】
将$ t=4 $代入路程公式$ s=5t^2 + 2t $中计算：
1. 先算乘方：$ 4^2=16 $
2. 再算乘法：$ 5×16=80 $，$ 2×4=8 $
3. 最后算加法：$ s=80+8=88 $（米）
因此当$ t=4 $时，物体经过的路程为88米，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 求函数值
2. 二次函数的意义
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数值的求解方法，只要掌握代入求值的思路，严格遵循运算顺序计算即可得分，需注意避免运算顺序错误或者计算失误。
【难度系数】
0.9
10.已知一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$的两根为-2和3.求二次函数$y=2x^2 + bx + c$的表达式.
答案
10.$y=2x^2-2x-12$
解析
【分析】
已知一元二次方程的两根对应其所属二次函数与x轴交点的横坐标，解题可选择两种思路：一是将两根分别代入原方程，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的和与积计算b、c的值，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
已知一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-2$，$x_2=3$，
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{2}$
代入两根计算：
$x_1+x_2=-2+3=1$，即$1=-\frac{b}{2}$，解得$b=-2$
$x_1x_2=(-2)×3=-6$，即$-6=\frac{c}{2}$，解得$c=-12$
将$b=-2$、$c=-12$代入二次函数表达式即可。
方法二（代入法）：
将$x=-2$、$x=3$分别代入方程$2x^2 + bx + c = 0$，得：
$\begin{cases}2×(-2)^2 -2b + c = 0 \\2×3^2 +3b + c = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 -2b + c = 0 ①\\18 +3b + c = 0 ② \end{cases}$
②-①得：$10 +5b = 0$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入①得：$8 -2×(-2) + c = 0$，解得$c=-12$
代入二次函数表达式即可。
【答案】
$y=2x^2-2x-12$
【知识点】
根与系数的关系，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的根与对应二次函数的关联，两种解法都需熟练掌握，运用根与系数的关系可以有效减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的两根对应其所属二次函数与x轴交点的横坐标，解题可选择两种思路：一是将两根分别代入原方程，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根的和与积计算b、c的值，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
已知一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1=-2$，$x_2=3$，
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{2}$
代入两根计算：
$x_1+x_2=-2+3=1$，即$1=-\frac{b}{2}$，解得$b=-2$
$x_1x_2=(-2)×3=-6$，即$-6=\frac{c}{2}$，解得$c=-12$
将$b=-2$、$c=-12$代入二次函数表达式即可。
方法二（代入法）：
将$x=-2$、$x=3$分别代入方程$2x^2 + bx + c = 0$，得：
$\begin{cases}2×(-2)^2 -2b + c = 0 \\2×3^2 +3b + c = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 -2b + c = 0 ①\\18 +3b + c = 0 ② \end{cases}$
②-①得：$10 +5b = 0$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入①得：$8 -2×(-2) + c = 0$，解得$c=-12$
代入二次函数表达式即可。
【答案】
$y=2x^2-2x-12$
【知识点】
根与系数的关系，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的根与对应二次函数的关联，两种解法都需熟练掌握，运用根与系数的关系可以有效减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
