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1. 下列函数中，不一定是二次函数的是 （
A.$y=5x^2+1$
B.$y=-2x^2+3x$
C.$y=-5x^2$
D.$y=ax^2+bx+c$
D
）A.$y=5x^2+1$
B.$y=-2x^2+3x$
C.$y=-5x^2$
D.$y=ax^2+bx+c$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心判定条件是二次项系数不为0。接下来逐个分析选项：A、B、C三个选项的二次项系数都是确定的非0常数，必然满足二次函数的定义；只有D选项未明确给出$a≠0$的限制，当$a=0$时函数就不是二次函数，因此D选项符合题意。
【解析】
根据二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
选项A：$y=5x^2+1$中二次项系数$5≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
选项B：$y=-2x^2+3x$中二次项系数$-2≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
选项C：$y=-5x^2$中二次项系数$-5≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
选项D：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，则函数变为一次函数或常数函数，不满足二次函数的条件，因此不一定是二次函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数定义的掌握，易错点是容易忽略二次函数一般形式中二次项系数$a≠0$的隐含前提，解题时要重点关注这个限制条件。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心判定条件是二次项系数不为0。接下来逐个分析选项：A、B、C三个选项的二次项系数都是确定的非0常数，必然满足二次函数的定义；只有D选项未明确给出$a≠0$的限制，当$a=0$时函数就不是二次函数，因此D选项符合题意。
【解析】
根据二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
选项A：$y=5x^2+1$中二次项系数$5≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
选项B：$y=-2x^2+3x$中二次项系数$-2≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
选项C：$y=-5x^2$中二次项系数$-5≠0$，符合二次函数定义，属于二次函数；
选项D：$y=ax^2+bx+c$没有注明$a≠0$，若$a=0$，则函数变为一次函数或常数函数，不满足二次函数的条件，因此不一定是二次函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数定义的掌握，易错点是容易忽略二次函数一般形式中二次项系数$a≠0$的隐含前提，解题时要重点关注这个限制条件。
【难度系数】
0.85
2.若二次函数$y=(-2x+1)^2 -5$的二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$，则$b^2 -4ac=$
80
。答案
2.80
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题时首先需要把题目给出的函数解析式展开，整理为一般形式，再对应确定$a$、$b$、$c$的取值，最后代入$b^2-4ac$计算即可，计算过程要重点注意各项的符号，避免符号出错。
【解析】
先将二次函数$y=(-2x+1)^2 -5$整理为一般形式：
1. 用完全平方公式展开平方项：
$(-2x+1)^2=(-2x)^2+2×(-2x)×1+1^2=4x^2-4x+1$
2. 合并常数项得到一般式：
$y=4x^2-4x+1-5=4x^2-4x-4$
因此可得：$a=4$，$b=-4$，$c=-4$
代入$b^2-4ac$计算：
$b^2-4ac=(-4)^2-4×4×(-4)=16+64=80$
【答案】
80
【知识点】
二次函数的一般形式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数各项系数的识别，解题的关键是先将非一般形式的二次函数化为一般形式，确定系数时注意保留原有符号，避免因符号疏漏导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题时首先需要把题目给出的函数解析式展开，整理为一般形式，再对应确定$a$、$b$、$c$的取值，最后代入$b^2-4ac$计算即可，计算过程要重点注意各项的符号，避免符号出错。
【解析】
先将二次函数$y=(-2x+1)^2 -5$整理为一般形式：
1. 用完全平方公式展开平方项：
$(-2x+1)^2=(-2x)^2+2×(-2x)×1+1^2=4x^2-4x+1$
2. 合并常数项得到一般式：
$y=4x^2-4x+1-5=4x^2-4x-4$
因此可得：$a=4$，$b=-4$，$c=-4$
代入$b^2-4ac$计算：
$b^2-4ac=(-4)^2-4×4×(-4)=16+64=80$
【答案】
80
【知识点】
二次函数的一般形式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数各项系数的识别，解题的关键是先将非一般形式的二次函数化为一般形式，确定系数时注意保留原有符号，避免因符号疏漏导致计算错误。
【难度系数】
0.7
3.某工厂第一年的利润为30万元，第三年的利润y(万元)与平均年增长率x之间的函数表达式是
$y=30(1+x)^2$
。答案
3.$y=30(1+x)^2$
解析
【分析】
解决本题首先要明确平均增长率的计算逻辑：初始量已知的情况下，每经过一次增长，现有量为上一阶段量的(1+增长率)倍。本题初始利润是第一年的30万元，从第一年到第三年共经过2次增长，依次推导第二年、第三年的利润即可得到函数表达式。
【解析】
1. 计算第二年的利润：第一年利润为30万元，平均年增长率为x，因此第二年利润 = 第一年利润×(1+x) = $30(1+x)$万元。
2. 计算第三年的利润：第三年利润是在第二年利润的基础上再增长x，因此第三年利润$y$ = 第二年利润×(1+x) = $30(1+x) × (1+x) = 30(1+x)^2$。
【答案】
$y=30(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式
【点评】
本题是增长类问题的基础题型，解题核心是掌握“最终量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的公式，解题时需注意准确判断增长次数，避免因指数计算错误失分。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平均增长率的计算逻辑：初始量已知的情况下，每经过一次增长，现有量为上一阶段量的(1+增长率)倍。本题初始利润是第一年的30万元，从第一年到第三年共经过2次增长，依次推导第二年、第三年的利润即可得到函数表达式。
【解析】
1. 计算第二年的利润：第一年利润为30万元，平均年增长率为x，因此第二年利润 = 第一年利润×(1+x) = $30(1+x)$万元。
2. 计算第三年的利润：第三年利润是在第二年利润的基础上再增长x，因此第三年利润$y$ = 第二年利润×(1+x) = $30(1+x) × (1+x) = 30(1+x)^2$。
【答案】
$y=30(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题、列二次函数解析式
【点评】
本题是增长类问题的基础题型，解题核心是掌握“最终量=初始量×(1+增长率)^增长次数”的公式，解题时需注意准确判断增长次数，避免因指数计算错误失分。
【难度系数】
0.8
4.正方形的边长为3，若边长增加$ x $，那么面积增加$ y $，则$ y $与$ x $之间的函数表达式是（
A.$ y=x^2 +9 $
B.$ y=(x+3)^2 $
C.$ y=x^2 +6x $
D.$ y=9 -x^2 $
C
）A.$ y=x^2 +9 $
B.$ y=(x+3)^2 $
C.$ y=x^2 +6x $
D.$ y=9 -x^2 $
答案
4.C
解析
【分析】
要得到y与x的函数表达式，首先需明确面积增加量y的含义：y是边长增加后的正方形面积减去原正方形的面积。解题时先分别计算原正方形面积、边长增加x后的新正方形面积，再作差化简即可得到函数式。
【解析】
1. 计算原正方形的面积：原正方形边长为3，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得原面积$S_原=3^2=9$；
2. 计算边长增加x后的新正方形面积：新边长为$(3+x)$，因此新面积$S_新=(3+x)^2$；
3. 计算面积增加量y：$y=S_新 - S_原$，代入得：
$y=(3+x)^2 - 9$
根据完全平方公式展开得：$y=x^2+6x+9 - 9$，化简后得$y=x^2+6x$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；二次函数实际建模
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题的核心是准确理解“面积增加量”的含义，避免误将新正方形面积直接当作增加的面积，做题时要注意仔细审题，理清变量间的数量关系。
【难度系数】
0.8
要得到y与x的函数表达式，首先需明确面积增加量y的含义：y是边长增加后的正方形面积减去原正方形的面积。解题时先分别计算原正方形面积、边长增加x后的新正方形面积，再作差化简即可得到函数式。
【解析】
1. 计算原正方形的面积：原正方形边长为3，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得原面积$S_原=3^2=9$；
2. 计算边长增加x后的新正方形面积：新边长为$(3+x)$，因此新面积$S_新=(3+x)^2$；
3. 计算面积增加量y：$y=S_新 - S_原$，代入得：
$y=(3+x)^2 - 9$
根据完全平方公式展开得：$y=x^2+6x+9 - 9$，化简后得$y=x^2+6x$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；完全平方公式；二次函数实际建模
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题的核心是准确理解“面积增加量”的含义，避免误将新正方形面积直接当作增加的面积，做题时要注意仔细审题，理清变量间的数量关系。
【难度系数】
0.8
5.已知二次函数$y=2x^2+bx-c$，当$x=-2$时，$y=0$；当$x=3$时，$y=0$.
(1)求$b,c$的值.
(2)当$x=-3$时，求$y$的值.
(1)求$b,c$的值.
(2)当$x=-3$时，求$y$的值.
答案
5.(1)$b=-2,c=12$ (2)$12$
解析
【分析】
(1) 二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知当x=-2和x=3时y都为0，即函数过(-2,0)、(3,0)两点，将两点坐标分别代入二次函数表达式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) 求出b、c的值后就能得到完整的二次函数解析式，将x=-3代入解析式，按运算顺序计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 把$\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}$和$\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}$分别代入$y=2x^2+bx-c$，可得方程组：
$\begin{cases}2×(-2)^2 -2b -c = 0 \\2×3^2 +3b -c = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 - 2b - c = 0 ①\\18 + 3b - c = 0 ②\end{cases}$
用②-①消去c，得：$10+5b=0$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入①，得：$8 -2×(-2) -c=0$，解得$c=12$。
(2) 将$b=-2,c=12$代入原函数，得解析式为$y=2x^2-2x-12$。
把$x=-3$代入解析式：
$y=2×(-3)^2 -2×(-3) -12=18+6-12=12$。
【答案】
(1)$b=-2,c=12$；(2)$12$
【知识点】
1. 二次函数的意义
2. 待定系数法
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是理解函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握待定系数法的基本步骤和基础运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知当x=-2和x=3时y都为0，即函数过(-2,0)、(3,0)两点，将两点坐标分别代入二次函数表达式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值。
(2) 求出b、c的值后就能得到完整的二次函数解析式，将x=-3代入解析式，按运算顺序计算即可得到对应的y值。
【解析】
(1) 把$\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}$和$\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}$分别代入$y=2x^2+bx-c$，可得方程组：
$\begin{cases}2×(-2)^2 -2b -c = 0 \\2×3^2 +3b -c = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 - 2b - c = 0 ①\\18 + 3b - c = 0 ②\end{cases}$
用②-①消去c，得：$10+5b=0$，解得$b=-2$。
将$b=-2$代入①，得：$8 -2×(-2) -c=0$，解得$c=12$。
(2) 将$b=-2,c=12$代入原函数，得解析式为$y=2x^2-2x-12$。
把$x=-3$代入解析式：
$y=2×(-3)^2 -2×(-3) -12=18+6-12=12$。
【答案】
(1)$b=-2,c=12$；(2)$12$
【知识点】
1. 二次函数的意义
2. 待定系数法
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是理解函数图象上的点与函数解析式的对应关系，掌握待定系数法的基本步骤和基础运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
