▲11.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,E是AB上一点,F是BC上一点,且BF=2BE,若设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求S关于x的函数表达式.
(2)试求自变量x的取值范围.
(3)当函数值为20时,求自变量x的值.
（第11题）

11.(1)$S=12×6-x^2-3(12-2x)-6(6-x)=72-x^2-36+6x-36+6x=-x^2+12x$
(2)$0＜x≤6$
(3)$x=2$

【分析】
(1) 直接计算△DEF的面积缺少底和高的便利条件，可采用割补法：用矩形ABCD的总面积减去周围三个直角三角形（△BEF、△AED、△DCF）的面积。先根据已知条件用含x的式子表示出各相关线段的长度，再分别计算三个小三角形的面积，相减化简即可得到S关于x的函数表达式。
(2) 自变量x表示线段BE的长度，需满足线段长度为正，且BF=2x不超过BC的长度、BE不超过AB的长度，综合以上限制即可求出x的取值范围。
(3) 将S=20代入(1)的函数表达式得到一元二次方程，解方程后结合(2)的取值范围舍去不符合题意的解，即可得到x的值。
【解析】
(1) 矩形ABCD的面积为$AB × BC = 6 × 12 = 72$。
由题意得：$BE=x$，则$BF=2x$，$AE=AB-BE=6-x$，$FC=BC-BF=12-2x$。
三个小直角三角形的面积分别为：
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2} · BE · BF = \frac{1}{2} · x · 2x = x^2$，
$S_{△ AED}=\frac{1}{2} · AE · AD = \frac{1}{2} · (6-x) · 12 = 36-6x$，
$S_{△ DCF}=\frac{1}{2} · FC · DC = \frac{1}{2} · (12-2x) · 6 = 36-6x$。
因此$△ DEF$的面积：
$S = S_{矩形ABCD} - S_{△ BEF} - S_{△ AED} - S_{△ DCF}$
$= 72 - x^2 - (36-6x) - (36-6x)$
$= -x^2 + 12x$。
(2) 结合线段的实际意义：
① 线段长度为正，故$BE=x ＞ 0$；
② 点F在BC上，故$BF=2x ≤ BC=12$，解得$x ≤ 6$。
综上，自变量x的取值范围为$0 ＜ x ≤ 6$。
(3) 当$S=20$时，代入函数表达式得：
$20 = -x^2 + 12x$，
整理得$x^2 - 12x + 20 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-10) = 0$，
解得$x_1=2$，$x_2=10$。
结合x的取值范围$0 ＜ x ≤ 6$，$x=10$不符合题意舍去，故$x=2$。
【答案】
(1) $S=-x^2+12x$
(2) $0＜x≤6$
(3) $x=2$
【知识点】
割补法求面积，二次函数的应用，一元二次方程求解
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，核心解题思路是利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，解题时需注意结合几何实际意义确定自变量的取值范围，解方程后要验根，舍去不符合条件的解。
【难度系数】
0.7