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1. 函数$y=-\dfrac{2}{3}x^2 + 2$的图象开口向
下
，顶点坐标是(0,2)
，对称轴是y轴
。答案
下，顶点坐标是(0,2)，对称轴是y轴
解析
【分析】
拿到本题首先观察二次函数的形式，该解析式属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊顶点式，无一次项，可直接结合这类二次函数的性质解题：第一步根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；第二步根据$y=ax^2+k$的顶点坐标规律直接推导顶点坐标；第三步结合解析式无一次项的特征判断对称轴。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x^2 + 2$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，其中二次项系数$a=-\dfrac{2}{3}$，常数项$k=2$。
1. 开口方向判断：二次函数中，当$a＞0$时图象开口向上，当$a＜0$时图象开口向下，此处$a=-\dfrac{2}{3}＜0$，因此图象开口向下；
2. 顶点坐标推导：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=2$，可得顶点坐标为$(0,2)$；
3. 对称轴判断：$y=ax^2+k$的对称轴为y轴。
【答案】
下，(0,2)，y轴
【知识点】
二次函数开口判断、二次函数顶点坐标、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考察$y=ax^2+k$型二次函数的图象特征，牢记对应性质即可快速作答，是二次函数图象相关知识的基础题型。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先观察二次函数的形式，该解析式属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的特殊顶点式，无一次项，可直接结合这类二次函数的性质解题：第一步根据二次项系数$a$的符号判断开口方向；第二步根据$y=ax^2+k$的顶点坐标规律直接推导顶点坐标；第三步结合解析式无一次项的特征判断对称轴。
【解析】
解：已知二次函数解析式为$y=-\dfrac{2}{3}x^2 + 2$，属于$y=ax^2+k$（$a≠0$）的形式，其中二次项系数$a=-\dfrac{2}{3}$，常数项$k=2$。
1. 开口方向判断：二次函数中，当$a＞0$时图象开口向上，当$a＜0$时图象开口向下，此处$a=-\dfrac{2}{3}＜0$，因此图象开口向下；
2. 顶点坐标推导：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=2$，可得顶点坐标为$(0,2)$；
3. 对称轴判断：$y=ax^2+k$的对称轴为y轴。
【答案】
下，(0,2)，y轴
【知识点】
二次函数开口判断、二次函数顶点坐标、二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考察$y=ax^2+k$型二次函数的图象特征，牢记对应性质即可快速作答，是二次函数图象相关知识的基础题型。
【难度系数】
0.9
2.抛物线 $ y = ax^2 + c $ 的开口方向、大小与抛物线 $ y = 3x^2 $ 相同，且顶点坐标为 $ (0,1) $，则 $ a = $
3
，$ c = $ 1
。答案
a=3，c=1
解析
【分析】
解题时需用到二次函数的两个核心性质：1. 抛物线的开口方向和开口大小仅由二次项系数a决定，若两条抛物线开口方向、大小完全相同，则二者的二次项系数相等；2. 形如$y=ax^2+c$的二次函数，顶点在y轴上，顶点坐标固定为$(0,c)$。我们可以先根据两条抛物线的形状关系求出a的值，再结合已知顶点坐标求出c的值。
【解析】
1. 求a的值：
$\because$ 抛物线$y=ax^2+c$的开口方向、大小与抛物线$y=3x^2$相同
$\therefore$ 两个抛物线的二次项系数相等，可得$a=3$
2. 求c的值：
$\because$ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，题目已知其顶点坐标为$(0,1)$
$\therefore$ 顶点纵坐标对应相等，可得$c=1$
【答案】
$a=3$，$c=1$
【知识点】
1. 二次函数系数的意义
2. 二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查对$y=ax^2+c$型二次函数基本性质的理解与运用，牢记二次项系数a对抛物线形状的决定作用、以及该形式函数的顶点坐标规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时需用到二次函数的两个核心性质：1. 抛物线的开口方向和开口大小仅由二次项系数a决定，若两条抛物线开口方向、大小完全相同，则二者的二次项系数相等；2. 形如$y=ax^2+c$的二次函数，顶点在y轴上，顶点坐标固定为$(0,c)$。我们可以先根据两条抛物线的形状关系求出a的值，再结合已知顶点坐标求出c的值。
【解析】
1. 求a的值：
$\because$ 抛物线$y=ax^2+c$的开口方向、大小与抛物线$y=3x^2$相同
$\therefore$ 两个抛物线的二次项系数相等，可得$a=3$
2. 求c的值：
$\because$ 抛物线$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，题目已知其顶点坐标为$(0,1)$
$\therefore$ 顶点纵坐标对应相等，可得$c=1$
【答案】
$a=3$，$c=1$
【知识点】
1. 二次函数系数的意义
2. 二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，重点考查对$y=ax^2+c$型二次函数基本性质的理解与运用，牢记二次项系数a对抛物线形状的决定作用、以及该形式函数的顶点坐标规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3. 函数$y=2(x-3)^2+2$的图象的顶点坐标为（
A.$(-3,2)$
B.$(2,3)$
C.$(3,2)$
D.$(3,-2)$
C
）A.$(-3,2)$
B.$(2,3)$
C.$(3,2)$
D.$(3,-2)$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关知识，解题关键是牢记二次函数顶点式的结构与顶点坐标的对应关系。首先回忆二次函数顶点式的标准形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对应的顶点坐标为$(h,k)$，解题时只需将题干给出的函数与标准式逐一对应，找到$h$、$k$的值即可，要注意括号内是$x$减$h$，因此$h$的符号和括号内常数的符号相反，不要混淆符号。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，该形式对应的函数图象顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=2(x-3)^2+2$与顶点式对照，可得$h=3$，$k=2$，因此该函数图象的顶点坐标为$(3,2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数顶点式的掌握，解题的易错点是容易混淆顶点式中$h$的符号，熟练掌握顶点式的结构即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关知识，解题关键是牢记二次函数顶点式的结构与顶点坐标的对应关系。首先回忆二次函数顶点式的标准形式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其对应的顶点坐标为$(h,k)$，解题时只需将题干给出的函数与标准式逐一对应，找到$h$、$k$的值即可，要注意括号内是$x$减$h$，因此$h$的符号和括号内常数的符号相反，不要混淆符号。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，该形式对应的函数图象顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数$y=2(x-3)^2+2$与顶点式对照，可得$h=3$，$k=2$，因此该函数图象的顶点坐标为$(3,2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数顶点式的掌握，解题的易错点是容易混淆顶点式中$h$的符号，熟练掌握顶点式的结构即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 不改变抛物线 $ y=4x^2 $ 的形状，分别按下列要求平移，写出平移后抛物线对应的函数表达式.
(1)向左平移5个单位：______.
(2)向右平移2个单位，再向下平移$\frac{3}{4}$个单位：______.
(1)向左平移5个单位：______.
(2)向右平移2个单位，再向下平移$\frac{3}{4}$个单位：______.
答案
(1)$y=4(x+5)^2$ (2)$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解决本题首先明确两个核心要点：①抛物线平移时形状不变，因此二次项系数保持不变，本题中$a=4$恒定；②牢记二次函数平移规律“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量$x$进行操作（平移几个单位就给$x$加/减几，需给$x$整体加括号），“上加下减”是针对整个函数表达式的常数项进行操作。第一问仅向左平移，直接对$x$用“左加”规则即可；第二问先按“右减”规则处理水平平移，再按“下减”规则处理竖直平移即可。
【解析】
抛物线平移不改变形状，因此二次项系数$a=4$保持不变，结合平移规律计算：
(1) 向左平移5个单位，根据“左加右减”规则，将原函数中的$x$替换为$x+5$，得平移后解析式：$y=4(x+5)^2$；
(2) 先向右平移2个单位，将原函数中的$x$替换为$x-2$，得$y=4(x-2)^2$；再向下平移$\frac{3}{4}$个单位，根据“上加下减”规则，整体减去$\frac{3}{4}$，得最终解析式：$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$y=4(x+5)^2$；(2)$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律；2. 抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题，核心考查对平移规律的应用，解题时需注意“左加右减”是对自变量$x$单独进行加减，必须添加括号，避免出现将$4(x+5)^2$错写为$4x^2+5$这类常见错误。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确两个核心要点：①抛物线平移时形状不变，因此二次项系数保持不变，本题中$a=4$恒定；②牢记二次函数平移规律“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”是针对自变量$x$进行操作（平移几个单位就给$x$加/减几，需给$x$整体加括号），“上加下减”是针对整个函数表达式的常数项进行操作。第一问仅向左平移，直接对$x$用“左加”规则即可；第二问先按“右减”规则处理水平平移，再按“下减”规则处理竖直平移即可。
【解析】
抛物线平移不改变形状，因此二次项系数$a=4$保持不变，结合平移规律计算：
(1) 向左平移5个单位，根据“左加右减”规则，将原函数中的$x$替换为$x+5$，得平移后解析式：$y=4(x+5)^2$；
(2) 先向右平移2个单位，将原函数中的$x$替换为$x-2$，得$y=4(x-2)^2$；再向下平移$\frac{3}{4}$个单位，根据“上加下减”规则，整体减去$\frac{3}{4}$，得最终解析式：$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)$y=4(x+5)^2$；(2)$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律；2. 抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题，核心考查对平移规律的应用，解题时需注意“左加右减”是对自变量$x$单独进行加减，必须添加括号，避免出现将$4(x+5)^2$错写为$4x^2+5$这类常见错误。
【难度系数】
0.8
5. 已知二次函数$y=\frac{1}{3}x^2+1$与二次函数$y=-\frac{1}{3}x^2-1$，请从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点。
答案
相同点包括形状都是抛物线，对称轴都是y轴；不同点包括$y=\frac{1}{3}x^2+1$图象开口向上，顶点坐标是$(0,1)$，$y=-\frac{1}{3}x^2-1$图象开口向下，顶点坐标是$(0,-1)$
解析
【分析】
解决本题首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：二次项系数$a$的绝对值决定抛物线的形状，$a$的符号决定开口方向；该形式的二次函数对称轴都是y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。解题时先分别提取两个函数的二次项系数$a$和常数项$k$，再从开口方向、形状、对称轴、顶点四个维度逐一对比，即可得出相同点和不同点。
【解析】
首先整理两个二次函数的参数：
1. 对于$y=\frac{1}{3}x^2+1$，二次项系数$a_1=\frac{1}{3}$，常数项$k_1=1$；
2. 对于$y=-\frac{1}{3}x^2-1$，二次项系数$a_2=-\frac{1}{3}$，常数项$k_2=-1$。
接下来按要求对比：
形状对比：$|a_1|=|a_2|=\frac{1}{3}$，因此两个图象形状相同，均为抛物线；
对称轴对比：两个函数均属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴均为y轴；
开口方向对比：$a_1＞0$，因此$y=\frac{1}{3}x^2+1$开口向上；$a_2＜0$，因此$y=-\frac{1}{3}x^2-1$开口向下，二者开口方向不同；
顶点对比：$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，因此$y=\frac{1}{3}x^2+1$顶点为$(0,1)$，$y=-\frac{1}{3}x^2-1$顶点为$(0,-1)$，二者顶点坐标不同。
【答案】
相同点包括形状都是抛物线，对称轴都是y轴；不同点包括$y=\frac{1}{3}x^2+1$图象开口向上，顶点坐标是$(0,1)$，$y=-\frac{1}{3}x^2-1$图象开口向下，顶点坐标是$(0,-1)$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 抛物线的开口与形状
3. 抛物线的顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$和常数项$k$分别对抛物线图象的影响，熟练掌握该知识点可以快速解决同类图象对比问题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：二次项系数$a$的绝对值决定抛物线的形状，$a$的符号决定开口方向；该形式的二次函数对称轴都是y轴（即直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。解题时先分别提取两个函数的二次项系数$a$和常数项$k$，再从开口方向、形状、对称轴、顶点四个维度逐一对比，即可得出相同点和不同点。
【解析】
首先整理两个二次函数的参数：
1. 对于$y=\frac{1}{3}x^2+1$，二次项系数$a_1=\frac{1}{3}$，常数项$k_1=1$；
2. 对于$y=-\frac{1}{3}x^2-1$，二次项系数$a_2=-\frac{1}{3}$，常数项$k_2=-1$。
接下来按要求对比：
形状对比：$|a_1|=|a_2|=\frac{1}{3}$，因此两个图象形状相同，均为抛物线；
对称轴对比：两个函数均属于$y=ax^2+k$的形式，对称轴均为y轴；
开口方向对比：$a_1＞0$，因此$y=\frac{1}{3}x^2+1$开口向上；$a_2＜0$，因此$y=-\frac{1}{3}x^2-1$开口向下，二者开口方向不同；
顶点对比：$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$，因此$y=\frac{1}{3}x^2+1$顶点为$(0,1)$，$y=-\frac{1}{3}x^2-1$顶点为$(0,-1)$，二者顶点坐标不同。
【答案】
相同点包括形状都是抛物线，对称轴都是y轴；不同点包括$y=\frac{1}{3}x^2+1$图象开口向上，顶点坐标是$(0,1)$，$y=-\frac{1}{3}x^2-1$图象开口向下，顶点坐标是$(0,-1)$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 抛物线的开口与形状
3. 抛物线的顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，核心是掌握二次项系数$a$和常数项$k$分别对抛物线图象的影响，熟练掌握该知识点可以快速解决同类图象对比问题。
【难度系数】
0.8
6.已知一条抛物线的开口大小、方向与$y=\frac{2}{3}x^2 -1$的图象相同，且顶点坐标是$(4,-2)$.
(1)问这条抛物线可由已知抛物线经怎样的移动得到.
(2)试求这条抛物线的函数表达式.
(1)问这条抛物线可由已知抛物线经怎样的移动得到.
(2)试求这条抛物线的函数表达式.
答案
(1)向右平移4个单位，再向下平移1个单位 (2)$y=\frac{2}{3}(x-4)^2-2$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步解决平移问题，抛物线平移时形状不变，仅顶点位置发生改变，因此先分别求出已知抛物线和所求抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移规律即可确定整条抛物线的平移方式；第二步求函数表达式，已知抛物线开口大小和方向由二次项系数$a$决定，因此所求抛物线的$a$值和已知抛物线一致，再结合给出的顶点坐标，代入二次函数顶点式即可求出解析式。
【解析】
(1) 先确定已知抛物线的顶点坐标：抛物线$y=\frac{2}{3}x^2 -1$的顶点形式为$y=a(x-h)^2+k$的特殊形式（$h=0$），因此它的顶点坐标为$(0,-1)$。
已知所求抛物线的顶点坐标为$(4,-2)$，对比两个顶点：横坐标从$0$变为$4$，符合“右减”的平移规律，即向右平移4个单位；纵坐标从$-1$变为$-2$，符合“下减”的平移规律，即向下平移1个单位。
(2) 因为所求抛物线的开口大小、方向和$y=\frac{2}{3}x^2 -1$相同，因此二次项系数$a=\frac{2}{3}$。
设所求抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中顶点坐标$(h,k)=(4,-2)$，将$a=\frac{2}{3}$、$h=4$、$k=-2$代入顶点式，可得：
$y=\frac{2}{3}(x-4)^2-2$
【答案】
(1)向右平移4个单位，再向下平移1个单位
(2)$y=\frac{2}{3}(x-4)^2-2$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，核心考查平移规律和顶点式的使用，只要掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，以及顶点式各参数的含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步解决平移问题，抛物线平移时形状不变，仅顶点位置发生改变，因此先分别求出已知抛物线和所求抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移规律即可确定整条抛物线的平移方式；第二步求函数表达式，已知抛物线开口大小和方向由二次项系数$a$决定，因此所求抛物线的$a$值和已知抛物线一致，再结合给出的顶点坐标，代入二次函数顶点式即可求出解析式。
【解析】
(1) 先确定已知抛物线的顶点坐标：抛物线$y=\frac{2}{3}x^2 -1$的顶点形式为$y=a(x-h)^2+k$的特殊形式（$h=0$），因此它的顶点坐标为$(0,-1)$。
已知所求抛物线的顶点坐标为$(4,-2)$，对比两个顶点：横坐标从$0$变为$4$，符合“右减”的平移规律，即向右平移4个单位；纵坐标从$-1$变为$-2$，符合“下减”的平移规律，即向下平移1个单位。
(2) 因为所求抛物线的开口大小、方向和$y=\frac{2}{3}x^2 -1$相同，因此二次项系数$a=\frac{2}{3}$。
设所求抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中顶点坐标$(h,k)=(4,-2)$，将$a=\frac{2}{3}$、$h=4$、$k=-2$代入顶点式，可得：
$y=\frac{2}{3}(x-4)^2-2$
【答案】
(1)向右平移4个单位，再向下平移1个单位
(2)$y=\frac{2}{3}(x-4)^2-2$
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，核心考查平移规律和顶点式的使用，只要掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，以及顶点式各参数的含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
