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19. (9分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高。如图15所示,在某一时刻,他们在阳光下分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m,OA的影长OD为20 m,小明的影长FG为2.4 m,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO ⊥ OD,EF ⊥ FG。已知小明的身高EF为1.8 m,求旗杆的高AB。
答案
解：
∵ AD//EG，
∴ ∠ADO = ∠EGF，
又∵ AO⊥OD，EF⊥FG，
∴ ∠AOD = ∠EFG = 90°，
∴ △AOD ∽ △EFG，
∴ $\frac{AO}{EF} = \frac{OD}{FG}$，
代入EF=1.8 m，OD=20 m，FG=2.4 m，得：
$\frac{AO}{1.8} = \frac{20}{2.4}$，
解得 AO = 15 m。
同理，∵ BC//AD，
∴ ∠BCO = ∠ADO，
又∵ ∠BOC = ∠AOD = 90°，
∴ △BOC ∽ △AOD，
∴ $\frac{BO}{AO} = \frac{OC}{OD}$，
代入OC=16 m，OD=20 m，AO=15 m，得：
$\frac{BO}{15} = \frac{16}{20}$，
解得 BO = 12 m。
∴ AB = AO - BO = 15 - 12 = 3 m。
答：旗杆的高AB为3 m。
∵ AD//EG，
∴ ∠ADO = ∠EGF，
又∵ AO⊥OD，EF⊥FG，
∴ ∠AOD = ∠EFG = 90°，
∴ △AOD ∽ △EFG，
∴ $\frac{AO}{EF} = \frac{OD}{FG}$，
代入EF=1.8 m，OD=20 m，FG=2.4 m，得：
$\frac{AO}{1.8} = \frac{20}{2.4}$，
解得 AO = 15 m。
同理，∵ BC//AD，
∴ ∠BCO = ∠ADO，
又∵ ∠BOC = ∠AOD = 90°，
∴ △BOC ∽ △AOD，
∴ $\frac{BO}{AO} = \frac{OC}{OD}$，
代入OC=16 m，OD=20 m，AO=15 m，得：
$\frac{BO}{15} = \frac{16}{20}$，
解得 BO = 12 m。
∴ AB = AO - BO = 15 - 12 = 3 m。
答：旗杆的高AB为3 m。
解析
【分析】
要计算旗杆高度AB，观察图形可得AB=AO-BO，因此需要先求出AO和BO的长度。同一时刻阳光下的光线互相平行，结合已知的垂直关系，可通过构造相似三角形求解：①先利用光线AD与EG平行，证明△AOD∽△EFG，结合小明的身高、影长以及OA的影长OD，计算出AO的长度；②再利用光线BC与AD平行，证明△BOC∽△AOD，结合OB的影长OC、已求出的AO和已知的OD，计算出BO的长度；③最后用AO减去BO即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ AD//EG，
∴ ∠ADO = ∠EGF，
又
∵ AO⊥OD，EF⊥FG，
∴ ∠AOD = ∠EFG = 90°，
∴ △AOD ∽ △EFG，
∴ $\frac{AO}{EF} = \frac{OD}{FG}$，
代入EF=1.8 m，OD=20 m，FG=2.4 m，得：
$\frac{AO}{1.8} = \frac{20}{2.4}$，
解得 AO = 15 m。
同理，
∵ BC//AD，
∴ ∠BCO = ∠ADO，
又
∵ ∠BOC = ∠AOD = 90°，
∴ △BOC ∽ △AOD，
∴ $\frac{BO}{AO} = \frac{OC}{OD}$，
代入OC=16 m，OD=20 m，AO=15 m，得：
$\frac{BO}{15} = \frac{16}{20}$，
解得 BO = 12 m。
∴ AB = AO - BO = 15 - 12 = 3 m。
答：旗杆的高AB为3 m。
【答案】3 m
【知识点】平行投影的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】本题是结合生活场景的高度测量类题型，解题核心是利用平行投影下光线平行的特点，找到对应相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可，解题时要注意找准各边的对应关系，避免代入数值出错。
【难度系数】
0.7
要计算旗杆高度AB，观察图形可得AB=AO-BO，因此需要先求出AO和BO的长度。同一时刻阳光下的光线互相平行，结合已知的垂直关系，可通过构造相似三角形求解：①先利用光线AD与EG平行，证明△AOD∽△EFG，结合小明的身高、影长以及OA的影长OD，计算出AO的长度；②再利用光线BC与AD平行，证明△BOC∽△AOD，结合OB的影长OC、已求出的AO和已知的OD，计算出BO的长度；③最后用AO减去BO即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ AD//EG，
∴ ∠ADO = ∠EGF，
又
∵ AO⊥OD，EF⊥FG，
∴ ∠AOD = ∠EFG = 90°，
∴ △AOD ∽ △EFG，
∴ $\frac{AO}{EF} = \frac{OD}{FG}$，
代入EF=1.8 m，OD=20 m，FG=2.4 m，得：
$\frac{AO}{1.8} = \frac{20}{2.4}$，
解得 AO = 15 m。
同理，
∵ BC//AD，
∴ ∠BCO = ∠ADO，
又
∵ ∠BOC = ∠AOD = 90°，
∴ △BOC ∽ △AOD，
∴ $\frac{BO}{AO} = \frac{OC}{OD}$，
代入OC=16 m，OD=20 m，AO=15 m，得：
$\frac{BO}{15} = \frac{16}{20}$，
解得 BO = 12 m。
∴ AB = AO - BO = 15 - 12 = 3 m。
答：旗杆的高AB为3 m。
【答案】3 m
【知识点】平行投影的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】本题是结合生活场景的高度测量类题型，解题核心是利用平行投影下光线平行的特点，找到对应相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可，解题时要注意找准各边的对应关系，避免代入数值出错。
【难度系数】
0.7
20. (9分)图16为一机器零件的三视图。
(1)请写出符合这个机器零件形状的几何体的名称；
(2)若俯视图中的三角形为等边三角形，那么请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积。
(1)请写出符合这个机器零件形状的几何体的名称；
(2)若俯视图中的三角形为等边三角形，那么请根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积。
答案
解：
(1) 该几何体的名称是正三棱柱。
(2) 由左视图可知，俯视图中等边三角形的高为$2\sqrt{3}$。
设等边三角形的边长为$a$，根据等边三角形的性质：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = 2\sqrt{3}$
解得 $a=4$。
由图中标注尺寸可知正三棱柱的侧棱长为2：
两个底面等边三角形的面积和为：$$2× \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$三个侧面矩形的面积和为：$$3× 4 × 2 = 24$
因此这个几何体的表面积为 $24 + 8\sqrt{3}$。
(1) 该几何体的名称是正三棱柱。
(2) 由左视图可知，俯视图中等边三角形的高为$2\sqrt{3}$。
设等边三角形的边长为$a$，根据等边三角形的性质：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = 2\sqrt{3}$
解得 $a=4$。
由图中标注尺寸可知正三棱柱的侧棱长为2：
两个底面等边三角形的面积和为：$$2× \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$三个侧面矩形的面积和为：$$3× 4 × 2 = 24$
因此这个几何体的表面积为 $24 + 8\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 判断几何体时，先看俯视图：俯视图为三角形，说明该几何体底面是三角形；再看主视图和左视图均为矩形，说明是柱体，因此该几何体是三棱柱，结合俯视图为等边三角形，可得是正三棱柱。
(2) 计算表面积时，首先明确三视图的尺寸对应关系：左视图的长$2\sqrt{3}$对应俯视图中等边三角形的高，左视图的宽2对应正三棱柱的侧棱长。第一步先利用等边三角形的高与边长的关系求出底面等边三角形的边长；第二步分别计算两个底面的面积和、三个侧面的面积和；第三步将两部分面积相加，即可得到几何体的表面积。
【解析】
(1) 由三视图特征可知，该几何体是底面为等边三角形的直棱柱，名称为正三棱柱。
(2) 由左视图的尺寸可得，俯视图中等边三角形的高为$2\sqrt{3}$。
设等边三角形的边长为$a$，根据等边三角形高与边长的关系：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = 2\sqrt{3}$
解得 $a=4$。
由图中尺寸可知正三棱柱的侧棱长为2。
①计算两个底面的面积和：
$2× \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
②计算三个侧面矩形的面积和：
$3× 4 × 2 = 24$
因此该几何体的表面积为两部分之和：$24 + 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 正三棱柱
(2) $24+8\sqrt{3}$
【知识点】
三视图还原几何体，等边三角形性质，几何体表面积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系及表面积计算，需要具备一定的空间想象能力，能够准确将三视图的尺寸对应到几何体的棱长，再结合相关图形的面积公式求解，是立体几何的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 判断几何体时，先看俯视图：俯视图为三角形，说明该几何体底面是三角形；再看主视图和左视图均为矩形，说明是柱体，因此该几何体是三棱柱，结合俯视图为等边三角形，可得是正三棱柱。
(2) 计算表面积时，首先明确三视图的尺寸对应关系：左视图的长$2\sqrt{3}$对应俯视图中等边三角形的高，左视图的宽2对应正三棱柱的侧棱长。第一步先利用等边三角形的高与边长的关系求出底面等边三角形的边长；第二步分别计算两个底面的面积和、三个侧面的面积和；第三步将两部分面积相加，即可得到几何体的表面积。
【解析】
(1) 由三视图特征可知，该几何体是底面为等边三角形的直棱柱，名称为正三棱柱。
(2) 由左视图的尺寸可得，俯视图中等边三角形的高为$2\sqrt{3}$。
设等边三角形的边长为$a$，根据等边三角形高与边长的关系：
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = 2\sqrt{3}$
解得 $a=4$。
由图中尺寸可知正三棱柱的侧棱长为2。
①计算两个底面的面积和：
$2× \frac{1}{2} × 4 × 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
②计算三个侧面矩形的面积和：
$3× 4 × 2 = 24$
因此该几何体的表面积为两部分之和：$24 + 8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 正三棱柱
(2) $24+8\sqrt{3}$
【知识点】
三视图还原几何体，等边三角形性质，几何体表面积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体的对应关系及表面积计算，需要具备一定的空间想象能力，能够准确将三视图的尺寸对应到几何体的棱长，再结合相关图形的面积公式求解，是立体几何的基础题型。
【难度系数】
0.7
21. (10分)如图17,一名同学身高1.6 m,晚上站在路灯下,他在地面上的影子AB长是2 m,若他沿着影子的方向移动2 m站立时,则影长增加了0.5 m,求路灯的高度OE。
答案
解：
由题意得，$BD=AF=1.6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，移动后影长$CB=2+0.5=2.5\ \mathrm{m}$。
设路灯高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$OB=z\ \mathrm{m}$。
$\because BD⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore BD// OE$，
$\therefore △ CBD ∽ △ COE$，
$\therefore \dfrac{BD}{OE}=\dfrac{CB}{CO}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+z}\quad ①$
同理，$\because AF⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore AF// OE$，
$\therefore △ ABF ∽ △ OBE$，
$\therefore \dfrac{AF}{OE}=\dfrac{AB}{OB}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2}{z}\quad ②$
由②得：$z=\dfrac{2x}{1.6}$，代入①得：
$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+\dfrac{2x}{1.6}}$
交叉相乘化简：
$1.6×(2.5+\dfrac{2x}{1.6})=2.5x$
$4+2x=2.5x$
解得：$x=8$
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合实际意义。
答：路灯的高度$OE$为$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$。
由题意得，$BD=AF=1.6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，移动后影长$CB=2+0.5=2.5\ \mathrm{m}$。
设路灯高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$OB=z\ \mathrm{m}$。
$\because BD⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore BD// OE$，
$\therefore △ CBD ∽ △ COE$，
$\therefore \dfrac{BD}{OE}=\dfrac{CB}{CO}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+z}\quad ①$
同理，$\because AF⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore AF// OE$，
$\therefore △ ABF ∽ △ OBE$，
$\therefore \dfrac{AF}{OE}=\dfrac{AB}{OB}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2}{z}\quad ②$
由②得：$z=\dfrac{2x}{1.6}$，代入①得：
$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+\dfrac{2x}{1.6}}$
交叉相乘化简：
$1.6×(2.5+\dfrac{2x}{1.6})=2.5x$
$4+2x=2.5x$
解得：$x=8$
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合实际意义。
答：路灯的高度$OE$为$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$。
解析
【分析】
这是中心投影类的实际应用题，可借助相似三角形的性质求解：首先明确已知条件：人的身高为1.6m，初始影长AB=2m，沿影子方向移动2m后，影长增加0.5m即新影长CB=2.5m。由于人和路灯都垂直于地面，可得人和路灯互相平行，进而能得到两组相似三角形；我们可以设路灯高度OE为x m，OB的长度为z m，将已知量和未知量代入相似三角形对应边成比例的关系中，得到两个方程，联立求解即可得到路灯高度，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
由题意得，$BD=AF=1.6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，移动后影长$CB=2+0.5=2.5\ \mathrm{m}$。
设路灯高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$OB=z\ \mathrm{m}$。
$\because BD⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore BD// OE$，
$\therefore △ CBD ∽ △ COE$，
$\therefore \dfrac{BD}{OE}=\dfrac{CB}{CO}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+z}\quad ①$
同理，$\because AF⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore AF// OE$，
$\therefore △ ABF ∽ △ OBE$，
$\therefore \dfrac{AF}{OE}=\dfrac{AB}{OB}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2}{z}\quad ②$
由②得：$z=\dfrac{2x}{1.6}$，代入①得：
$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+\dfrac{2x}{1.6}}$
交叉相乘化简：
$1.6×(2.5+\dfrac{2x}{1.6})=2.5x$
$4+2x=2.5x$
解得：$x=8$
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；分式方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用题，解题关键是根据平行关系找到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立方程求解，求解后需验证解是否符合实际情况，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是中心投影类的实际应用题，可借助相似三角形的性质求解：首先明确已知条件：人的身高为1.6m，初始影长AB=2m，沿影子方向移动2m后，影长增加0.5m即新影长CB=2.5m。由于人和路灯都垂直于地面，可得人和路灯互相平行，进而能得到两组相似三角形；我们可以设路灯高度OE为x m，OB的长度为z m，将已知量和未知量代入相似三角形对应边成比例的关系中，得到两个方程，联立求解即可得到路灯高度，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
由题意得，$BD=AF=1.6\ \mathrm{m}$，$AB=2\ \mathrm{m}$，移动后影长$CB=2+0.5=2.5\ \mathrm{m}$。
设路灯高度$OE=x\ \mathrm{m}$，$OB=z\ \mathrm{m}$。
$\because BD⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore BD// OE$，
$\therefore △ CBD ∽ △ COE$，
$\therefore \dfrac{BD}{OE}=\dfrac{CB}{CO}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+z}\quad ①$
同理，$\because AF⊥ CO$，$OE⊥ CO$，
$\therefore AF// OE$，
$\therefore △ ABF ∽ △ OBE$，
$\therefore \dfrac{AF}{OE}=\dfrac{AB}{OB}$，即 $\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2}{z}\quad ②$
由②得：$z=\dfrac{2x}{1.6}$，代入①得：
$\dfrac{1.6}{x}=\dfrac{2.5}{2.5+\dfrac{2x}{1.6}}$
交叉相乘化简：
$1.6×(2.5+\dfrac{2x}{1.6})=2.5x$
$4+2x=2.5x$
解得：$x=8$
经检验，$x=8$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的应用；中心投影；分式方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用题，解题关键是根据平行关系找到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例建立方程求解，求解后需验证解是否符合实际情况，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
