登录
17. (9分)图13①是一个组合几何体，图13②是它的两种视图。
视图 视图
(1)在图13②中的横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图的尺寸(单位:cm)，计算这个组合几何体的表面积。(π取3.14)
视图 视图
(1)在图13②中的横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图的尺寸(单位:cm)，计算这个组合几何体的表面积。(π取3.14)
答案
解：
(1) 左方横线处填：主；右方横线处填：俯。
(2) 下方长方体的表面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{长方体}}&=2×(8×5 + 8×2 + 5×2)\\&=2×(40+16+10)\\&=132\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
上方圆柱的侧面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆柱侧}}&=π×4×6\\&\approx3.14×24\\&=75.36\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
组合几何体的表面积等于长方体的表面积与圆柱侧面积之和（圆柱上底面可补全长方体被圆柱底面遮挡的部分）：
$S_{\mathrm{总}}=132 + 75.36=207.36\ \mathrm{cm}^2$
答：这个组合几何体的表面积为207.36平方厘米。
(1) 左方横线处填：主；右方横线处填：俯。
(2) 下方长方体的表面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{长方体}}&=2×(8×5 + 8×2 + 5×2)\\&=2×(40+16+10)\\&=132\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
上方圆柱的侧面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆柱侧}}&=π×4×6\\&\approx3.14×24\\&=75.36\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
组合几何体的表面积等于长方体的表面积与圆柱侧面积之和（圆柱上底面可补全长方体被圆柱底面遮挡的部分）：
$S_{\mathrm{总}}=132 + 75.36=207.36\ \mathrm{cm}^2$
答：这个组合几何体的表面积为207.36平方厘米。
解析
【分析】
（1）判断视图名称时，根据视图定义：从正面观察几何体得到的是主视图，从上面观察几何体得到的是俯视图，对照两个视图的特征即可判断；（2）计算组合体表面积时，首先明确组合体由长方体和圆柱组成，二者接触的部分面积重叠：圆柱的下底面遮挡了长方体上表面的一部分，而圆柱的上底面面积刚好和遮挡部分的面积相等，因此总表面积=长方体的表面积+圆柱的侧面积，分别代入对应公式计算再求和即可。
【解析】
(1) 从正面观察该组合几何体，可得到下方长为8、高为2的长方形，上方长为4、高为6的长方形，对应左图，故左方横线为“主”视图；从上方观察该组合几何体，可得到长为8、宽为5的长方形，内部有一个圆，对应右图，故右方横线为“俯”视图。
(2) 先计算下方长方体的表面积，根据长方体表面积公式$S_{\mathrm{长方体}}=2(ab+ah+bh)$，其中$a=8\mathrm{cm}$，$b=5\mathrm{cm}$，$h=2\mathrm{cm}$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{长方体}}&=2×(8×5 + 8×2 + 5×2)\\&=2×(40+16+10)\\&=132\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
再计算上方圆柱的侧面积，圆柱底面直径为4cm，高为6cm，根据侧面积公式$S_{\mathrm{圆柱侧}}=π dh$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆柱侧}}&=π×4×6\\&\approx3.14×24\\&=75.36\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
由于圆柱与长方体接触部分的面积可通过圆柱上底面补全，因此组合体总表面积为两者之和：
$S_{\mathrm{总}}=132 + 75.36=207.36\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 主；俯
(2) $207.36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图识别；长方体表面积计算；圆柱侧面积计算
【点评】
本题考查视图的识别与组合体表面积的计算，易错点是计算组合体表面积时忽略重叠部分的处理，解题时需注意两个几何体接触位置的面积不需要重复计算，结合图形特征简化计算即可。
【难度系数】
0.7
（1）判断视图名称时，根据视图定义：从正面观察几何体得到的是主视图，从上面观察几何体得到的是俯视图，对照两个视图的特征即可判断；（2）计算组合体表面积时，首先明确组合体由长方体和圆柱组成，二者接触的部分面积重叠：圆柱的下底面遮挡了长方体上表面的一部分，而圆柱的上底面面积刚好和遮挡部分的面积相等，因此总表面积=长方体的表面积+圆柱的侧面积，分别代入对应公式计算再求和即可。
【解析】
(1) 从正面观察该组合几何体，可得到下方长为8、高为2的长方形，上方长为4、高为6的长方形，对应左图，故左方横线为“主”视图；从上方观察该组合几何体，可得到长为8、宽为5的长方形，内部有一个圆，对应右图，故右方横线为“俯”视图。
(2) 先计算下方长方体的表面积，根据长方体表面积公式$S_{\mathrm{长方体}}=2(ab+ah+bh)$，其中$a=8\mathrm{cm}$，$b=5\mathrm{cm}$，$h=2\mathrm{cm}$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{长方体}}&=2×(8×5 + 8×2 + 5×2)\\&=2×(40+16+10)\\&=132\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
再计算上方圆柱的侧面积，圆柱底面直径为4cm，高为6cm，根据侧面积公式$S_{\mathrm{圆柱侧}}=π dh$：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆柱侧}}&=π×4×6\\&\approx3.14×24\\&=75.36\ \mathrm{cm}^2\end{aligned}$
由于圆柱与长方体接触部分的面积可通过圆柱上底面补全，因此组合体总表面积为两者之和：
$S_{\mathrm{总}}=132 + 75.36=207.36\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 主；俯
(2) $207.36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图识别；长方体表面积计算；圆柱侧面积计算
【点评】
本题考查视图的识别与组合体表面积的计算，易错点是计算组合体表面积时忽略重叠部分的处理，解题时需注意两个几何体接触位置的面积不需要重复计算，结合图形特征简化计算即可。
【难度系数】
0.7
18. (9分)图14①是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体。
(1)请在图14②中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？
(1)请在图14②中画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？
答案
解：
(1) 三视图绘制：
主视图：共3列，从左到右小正方形的个数依次为3、1、2，所有正方形下边缘对齐；
左视图：共3列，从左到右小正方形的个数依次为3、2、1，所有正方形下边缘对齐；
俯视图：共3行，从后到前小正方形的个数依次为2、3、1，所有正方形下边缘对齐。
（按上述结构在对应网格中画出图形即可）
(2) 要保持俯视图不变，不能新增底层小正方体的摆放位置，仅可在现有6个底层小正方体上方叠放小正方体；要保持左视图不变，几何体从后到前三行的最大允许高度分别为3、2、1。
逐个计算可添加的小正方体数量：
① 最后行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至3层，可添加 $3-1=2$ 个；
② 中间行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至2层，可添加 $2-1=1$ 个；
③ 最前行：所有位置现有高度为1，已达最大允许高度1，无法添加。
总计最多可添加小正方体：$2+1=3$ 个。
答：最多可以再添加3个小正方体。
(1) 三视图绘制：
主视图：共3列，从左到右小正方形的个数依次为3、1、2，所有正方形下边缘对齐；
左视图：共3列，从左到右小正方形的个数依次为3、2、1，所有正方形下边缘对齐；
俯视图：共3行，从后到前小正方形的个数依次为2、3、1，所有正方形下边缘对齐。
（按上述结构在对应网格中画出图形即可）
(2) 要保持俯视图不变，不能新增底层小正方体的摆放位置，仅可在现有6个底层小正方体上方叠放小正方体；要保持左视图不变，几何体从后到前三行的最大允许高度分别为3、2、1。
逐个计算可添加的小正方体数量：
① 最后行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至3层，可添加 $3-1=2$ 个；
② 中间行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至2层，可添加 $2-1=1$ 个；
③ 最前行：所有位置现有高度为1，已达最大允许高度1，无法添加。
总计最多可添加小正方体：$2+1=3$ 个。
答：最多可以再添加3个小正方体。
解析
【分析】
(1) 绘制三视图首先要明确观察方向：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，左视图是从左面观察得到的平面图形，俯视图是从上面观察得到的平面图形。观察时分别统计对应方向下每一列小正方形的层数，按照所有小正方形下边缘对齐的规则绘制即可。
(2) 要保持俯视图不变，说明底层小正方体的摆放位置不能新增，仅可在现有底层小正方体的上方叠放；要保持左视图不变，说明从左观察时每列的最大高度不能改变，对应几何体从后到前每一行的最大允许高度分别为3、2、1。只需逐个位置计算现有高度和最大允许高度的差值，求和即可得到最多可添加的小正方体数量。
【解析】
(1) 三视图绘制：
① 主视图：从正面看共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、2，所有小正方形下边缘对齐，按此结构在网格中绘制。
② 左视图：从左面看共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，所有小正方形下边缘对齐，按此结构在网格中绘制。
③ 俯视图：从上面看共3行，从后到前每行小正方形的个数依次为2、3、1，所有小正方形下边缘对齐，按此结构在网格中绘制。
(2) 计算最多可添加的小正方体数量：
由俯视图不变可知，仅能在现有底层小正方体上方叠放；由左视图不变可知，几何体从后到前三行的最大允许高度分别为3、2、1。
最后行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至3层，可添加$3-1=2$个；
中间行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至2层，可添加$2-1=1$个；
最前行：所有位置现有高度为1，已达最大允许高度，无法添加。
总计最多可添加小正方体数量为$2+1=3$个。
【答案】
(1) 按解析描述的结构画出对应三视图即可；
(2) 最多可以再添加$\boxed{3}$个小正方体。
【知识点】
1. 三视图的绘制
2. 三视图的应用
3. 组合体计数
【点评】
本题是三视图的典型考法，第一问侧重基础的三视图绘制能力，第二问需要结合两个视图的约束条件分析，对学生的空间想象能力有一定要求，熟练掌握三视图的观察规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 绘制三视图首先要明确观察方向：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，左视图是从左面观察得到的平面图形，俯视图是从上面观察得到的平面图形。观察时分别统计对应方向下每一列小正方形的层数，按照所有小正方形下边缘对齐的规则绘制即可。
(2) 要保持俯视图不变，说明底层小正方体的摆放位置不能新增，仅可在现有底层小正方体的上方叠放；要保持左视图不变，说明从左观察时每列的最大高度不能改变，对应几何体从后到前每一行的最大允许高度分别为3、2、1。只需逐个位置计算现有高度和最大允许高度的差值，求和即可得到最多可添加的小正方体数量。
【解析】
(1) 三视图绘制：
① 主视图：从正面看共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、1、2，所有小正方形下边缘对齐，按此结构在网格中绘制。
② 左视图：从左面看共3列，从左到右每列小正方形的个数依次为3、2、1，所有小正方形下边缘对齐，按此结构在网格中绘制。
③ 俯视图：从上面看共3行，从后到前每行小正方形的个数依次为2、3、1，所有小正方形下边缘对齐，按此结构在网格中绘制。
(2) 计算最多可添加的小正方体数量：
由俯视图不变可知，仅能在现有底层小正方体上方叠放；由左视图不变可知，几何体从后到前三行的最大允许高度分别为3、2、1。
最后行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至3层，可添加$3-1=2$个；
中间行：仅第2列位置现有高度为1，最多可叠至2层，可添加$2-1=1$个；
最前行：所有位置现有高度为1，已达最大允许高度，无法添加。
总计最多可添加小正方体数量为$2+1=3$个。
【答案】
(1) 按解析描述的结构画出对应三视图即可；
(2) 最多可以再添加$\boxed{3}$个小正方体。
【知识点】
1. 三视图的绘制
2. 三视图的应用
3. 组合体计数
【点评】
本题是三视图的典型考法，第一问侧重基础的三视图绘制能力，第二问需要结合两个视图的约束条件分析，对学生的空间想象能力有一定要求，熟练掌握三视图的观察规则是解题的核心。
【难度系数】
0.7
