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二、填空题(每小题3分,共15分)
11.皮影戏中的皮影是由 (填“平行投影”或“中心投影”)得到的。
11.皮影戏中的皮影是由 (填“平行投影”或“中心投影”)得到的。
答案
解：中心投影
解析
【分析】
解题时先回忆平行投影和中心投影的核心区别：平行投影是平行光线（如太阳光）照射形成的投影，中心投影是点光源（如灯光、火把）发出的光线照射形成的投影。再分析皮影戏的光源类型：皮影戏以灯光作为光源，灯光属于点光源，光线从同一点发出，因此对应的投影为中心投影。
【解析】
我们先明确两类投影的定义：
1. 平行投影：由平行光线照射形成的投影，典型代表为太阳光下的影子；
2. 中心投影：由点光源发出的光线照射形成的投影，典型代表为灯光下的影子。
皮影戏的光源是灯光，属于点光源，因此皮影是中心投影得到的。
【答案】
中心投影
【知识点】
中心投影、平行投影、投影判别
【点评】
本题是基础概念辨析题，主要考查两种常见投影的区分，只要掌握两种投影的光源差异就能快速做对。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平行投影和中心投影的核心区别：平行投影是平行光线（如太阳光）照射形成的投影，中心投影是点光源（如灯光、火把）发出的光线照射形成的投影。再分析皮影戏的光源类型：皮影戏以灯光作为光源，灯光属于点光源，光线从同一点发出，因此对应的投影为中心投影。
【解析】
我们先明确两类投影的定义：
1. 平行投影：由平行光线照射形成的投影，典型代表为太阳光下的影子；
2. 中心投影：由点光源发出的光线照射形成的投影，典型代表为灯光下的影子。
皮影戏的光源是灯光，属于点光源，因此皮影是中心投影得到的。
【答案】
中心投影
【知识点】
中心投影、平行投影、投影判别
【点评】
本题是基础概念辨析题，主要考查两种常见投影的区分，只要掌握两种投影的光源差异就能快速做对。
【难度系数】
0.9
12. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度。如图8，木杆EF长2 m，它的影长FD是4 m，同一时刻测得OA是268 m，则金字塔的高度BO是 m。
答案
$\boldsymbol{134}$
解析
【分析】
本题属于相似三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：第一步，明确同一时刻太阳光为平行光线，因此太阳光线与地面的夹角处处相等；第二步，木杆、金字塔均垂直于地面，因此木杆与其影长、金字塔与其影长分别构成两个直角三角形，这两个直角三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求解金字塔高度。
【解析】
解：
∵同一时刻太阳光线平行，即$BA// ED$，
∴$∠ BAO=∠ EDF$，
又
∵$BO⊥ OA$，$EF⊥ FD$，
∴$∠ BOA=∠ EFD=90°$，
∴$△ BOA ∽ △ EFD$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BO}{EF}=\frac{OA}{FD}$，
将$EF=2\mathrm{m}$，$FD=4\mathrm{m}$，$OA=268\mathrm{m}$代入上式：
$\frac{BO}{2}=\frac{268}{4}$，
解得$BO=134\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{134}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行投影的特征
【点评】
本题结合古代数学家测量金字塔高度的实际情境考查相似三角形的应用，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律构造相似模型，既考查了基础知识点，又体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.8
本题属于相似三角形在实际测量中的应用问题，解题思路如下：第一步，明确同一时刻太阳光为平行光线，因此太阳光线与地面的夹角处处相等；第二步，木杆、金字塔均垂直于地面，因此木杆与其影长、金字塔与其影长分别构成两个直角三角形，这两个直角三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求解金字塔高度。
【解析】
解：
∵同一时刻太阳光线平行，即$BA// ED$，
∴$∠ BAO=∠ EDF$，
又
∵$BO⊥ OA$，$EF⊥ FD$，
∴$∠ BOA=∠ EFD=90°$，
∴$△ BOA ∽ △ EFD$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{BO}{EF}=\frac{OA}{FD}$，
将$EF=2\mathrm{m}$，$FD=4\mathrm{m}$，$OA=268\mathrm{m}$代入上式：
$\frac{BO}{2}=\frac{268}{4}$，
解得$BO=134\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{134}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 平行投影的特征
【点评】
本题结合古代数学家测量金字塔高度的实际情境考查相似三角形的应用，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律构造相似模型，既考查了基础知识点，又体现了数学的实际应用价值。
【难度系数】
0.8
13. 一个几何体的三视图如图9所示，则该几何体的表面积为。
答案
解：
由三视图可知，该几何体是长为4、宽为3、高为1的长方体，上方中央放置一个底面直径为2、高为1的圆柱。
长方体的表面积为：
$2×(4×3 + 4×1 + 3×1) = 38$
圆柱的侧面积为：
$2π×\frac{2}{2}×1 = 2π$
圆柱下底面与长方体上表面重合，重合部分面积与圆柱上底面面积抵消，因此总表面积等于长方体表面积加上圆柱侧面积。
该几何体的表面积为$\boldsymbol{38+2π}$。
由三视图可知，该几何体是长为4、宽为3、高为1的长方体，上方中央放置一个底面直径为2、高为1的圆柱。
长方体的表面积为：
$2×(4×3 + 4×1 + 3×1) = 38$
圆柱的侧面积为：
$2π×\frac{2}{2}×1 = 2π$
圆柱下底面与长方体上表面重合，重合部分面积与圆柱上底面面积抵消，因此总表面积等于长方体表面积加上圆柱侧面积。
该几何体的表面积为$\boldsymbol{38+2π}$。
解析
【分析】
解题时首先根据三视图还原几何体的组成：该几何体是下方长方体上方叠加一个圆柱的组合体。接下来思考组合体表面积的计算规则：两个几何体贴合的部分面积会被遮挡，不能重复计算。观察可知圆柱下底面和长方体上表面重合，重合部分面积刚好和圆柱上底面面积相等，因此总表面积等于长方体的完整表面积加上圆柱的侧面积即可，不需要额外计算圆柱的底面积，最后分别代入对应公式计算求和即可。
【解析】
由三视图可知，该几何体是长为4、宽为3、高为1的长方体，上方中央放置一个底面直径为2、高为1的圆柱。
1. 计算长方体的表面积：
长方体表面积公式为$S_{\mathrm{长方体}}=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入数据得：
$S_{\mathrm{长方体}}=2×(4×3 + 4×1 + 3×1) = 38$
2. 计算圆柱的侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{圆柱侧}}=2π r·h$（$r$为底面半径，$h$为高），已知底面直径为2，因此半径$r=\frac{2}{2}=1$，高$h=1$，代入得：
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=2π×1×1=2π$
3. 计算总表面积：
由于圆柱下底面与长方体上表面重合，重合部分面积与圆柱上底面面积抵消，因此总表面积为长方体表面积加圆柱侧面积，即$S_{\mathrm{总}}=38+2π$。
【答案】
$\boldsymbol{38+2π}$
【知识点】
三视图还原几何体、长方体表面积计算、圆柱侧面积计算
【点评】
本题重点考查由三视图判断几何体形状以及组合体表面积的计算，解题的关键是明确组合体表面积的构成，避免误加圆柱的底面积导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三视图还原几何体的组成：该几何体是下方长方体上方叠加一个圆柱的组合体。接下来思考组合体表面积的计算规则：两个几何体贴合的部分面积会被遮挡，不能重复计算。观察可知圆柱下底面和长方体上表面重合，重合部分面积刚好和圆柱上底面面积相等，因此总表面积等于长方体的完整表面积加上圆柱的侧面积即可，不需要额外计算圆柱的底面积，最后分别代入对应公式计算求和即可。
【解析】
由三视图可知，该几何体是长为4、宽为3、高为1的长方体，上方中央放置一个底面直径为2、高为1的圆柱。
1. 计算长方体的表面积：
长方体表面积公式为$S_{\mathrm{长方体}}=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，代入数据得：
$S_{\mathrm{长方体}}=2×(4×3 + 4×1 + 3×1) = 38$
2. 计算圆柱的侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{\mathrm{圆柱侧}}=2π r·h$（$r$为底面半径，$h$为高），已知底面直径为2，因此半径$r=\frac{2}{2}=1$，高$h=1$，代入得：
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=2π×1×1=2π$
3. 计算总表面积：
由于圆柱下底面与长方体上表面重合，重合部分面积与圆柱上底面面积抵消，因此总表面积为长方体表面积加圆柱侧面积，即$S_{\mathrm{总}}=38+2π$。
【答案】
$\boldsymbol{38+2π}$
【知识点】
三视图还原几何体、长方体表面积计算、圆柱侧面积计算
【点评】
本题重点考查由三视图判断几何体形状以及组合体表面积的计算，解题的关键是明确组合体表面积的构成，避免误加圆柱的底面积导致计算错误。
【难度系数】
0.7
14. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图如图10所示，则所需的小正方体最少是个。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
首先明确三视图的对应规律：主视图反映几何体的左右列数及每列的最大层数，左视图反映几何体的前后行数及每行的最大层数。求解最少小正方体个数的核心思路是：高层（大于1层的部分）的小正方体尽量放在最高列与最高行的交叉位置，1个即可同时满足对应列、行的高度要求；底层小正方体需保证每列、每行至少有1个，在此基础上取最少数量，最后将两部分数量相加即可。
【解析】
1. 由主视图可得：几何体左右共2列，左列最大层数为2，右列最大层数为1；
2. 由左视图可得：几何体前后共2行，前行最大层数为2，后行最大层数为1；
3. 计算最少个数：
① 第二层（高层）仅需在左列与前行的交叉位置放置1个小正方体，即可同时满足主视图左列2层、左视图前行2层的高度要求，故上层最少1个；
② 底层需满足每列、每行至少1个，最少需要3个小正方体；
③ 总个数为$1+3=4$个。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
三视图的应用；由三视图判断几何体
【点评】
本题考查三视图的逆向推理能力，解题关键是明确主视图、左视图分别对应几何体的维度特征，抓住“最少个数”的优化原则，避免多算不必要的小正方体。
【难度系数】
0.6
首先明确三视图的对应规律：主视图反映几何体的左右列数及每列的最大层数，左视图反映几何体的前后行数及每行的最大层数。求解最少小正方体个数的核心思路是：高层（大于1层的部分）的小正方体尽量放在最高列与最高行的交叉位置，1个即可同时满足对应列、行的高度要求；底层小正方体需保证每列、每行至少有1个，在此基础上取最少数量，最后将两部分数量相加即可。
【解析】
1. 由主视图可得：几何体左右共2列，左列最大层数为2，右列最大层数为1；
2. 由左视图可得：几何体前后共2行，前行最大层数为2，后行最大层数为1；
3. 计算最少个数：
① 第二层（高层）仅需在左列与前行的交叉位置放置1个小正方体，即可同时满足主视图左列2层、左视图前行2层的高度要求，故上层最少1个；
② 底层需满足每列、每行至少1个，最少需要3个小正方体；
③ 总个数为$1+3=4$个。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
三视图的应用；由三视图判断几何体
【点评】
本题考查三视图的逆向推理能力，解题关键是明确主视图、左视图分别对应几何体的维度特征，抓住“最少个数”的优化原则，避免多算不必要的小正方体。
【难度系数】
0.6
15. 如图11,一人在两个等高的路灯之间走动,GB为人AB在路灯EF照射下的影子,BH为人AB在路灯CD照射下的影子。当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是。
答案
解：设路灯高度为$h$，人身高为$a$，两路灯底部间距$CE = L$，人到路灯$C$的水平距离为$x$。
由$AB// CD$，得$△ HAB ∽ △ HCD$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{HB}{HC}$，即$\frac{a}{h}=\frac{HB}{HB+x}$，
整理得$HB=\frac{a}{h-a}· x$。
同理，由$AB// EF$，得$△ GAB ∽ △ GEF$，
$\therefore \frac{AB}{EF}=\frac{GB}{GE}$，即$\frac{a}{h}=\frac{GB}{GB+(L-x)}$，
整理得$GB=\frac{a}{h-a}· (L-x)$。
因此$GH=GB+BH=\frac{a}{h-a}·(L-x)+\frac{a}{h-a}· x=\frac{aL}{h-a}$，
该结果为定值，与$x$无关。
所以两段影子之和$GH$的变化趋势是保持不变。
由$AB// CD$，得$△ HAB ∽ △ HCD$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{HB}{HC}$，即$\frac{a}{h}=\frac{HB}{HB+x}$，
整理得$HB=\frac{a}{h-a}· x$。
同理，由$AB// EF$，得$△ GAB ∽ △ GEF$，
$\therefore \frac{AB}{EF}=\frac{GB}{GE}$，即$\frac{a}{h}=\frac{GB}{GB+(L-x)}$，
整理得$GB=\frac{a}{h-a}· (L-x)$。
因此$GH=GB+BH=\frac{a}{h-a}·(L-x)+\frac{a}{h-a}· x=\frac{aL}{h-a}$，
该结果为定值，与$x$无关。
所以两段影子之和$GH$的变化趋势是保持不变。
解析
【分析】
这是结合中心投影的几何应用题，解题思路如下：首先明确路灯高度、人身高、两路灯底部间距都是固定值，我们先设出这几个常量，再设人到其中一侧路灯底部的水平距离为变量；因为人和路灯都垂直于地面，所以二者互相平行，可得到两组相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质，分别表示出两段影子的长度，将两段影子长度求和后化简，判断和是否与变量有关，即可得出影子之和的变化趋势。
【解析】
设路灯高度为$h$，人身高为$a$，两路灯底部间距$CE = L$，人到路灯$C$的水平距离为$x$。
由$AB// CD$，得$△ HAB ∽ △ HCD$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{HB}{HC}$，即$\frac{a}{h}=\frac{HB}{HB+x}$，
整理得$HB=\frac{a}{h-a}· x$。
同理，由$AB// EF$，得$△ GAB ∽ △ GEF$，
$\therefore \frac{AB}{EF}=\frac{GB}{GE}$，即$\frac{a}{h}=\frac{GB}{GB+(L-x)}$，
整理得$GB=\frac{a}{h-a}· (L-x)$。
因此$GH=GB+BH=\frac{a}{h-a}·(L-x)+\frac{a}{h-a}· x=\frac{aL}{h-a}$，
该结果为定值，与$x$无关。
所以两段影子之和$GH$的变化趋势是保持不变。
【答案】
保持不变
【知识点】
相似三角形的判定与性质；中心投影；代数式化简
【点评】
本题将生活中的投影现象与几何知识结合，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，通过设参数表示各线段长度，化简后即可判断结果是否为定值，较好地考查了数学建模能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
这是结合中心投影的几何应用题，解题思路如下：首先明确路灯高度、人身高、两路灯底部间距都是固定值，我们先设出这几个常量，再设人到其中一侧路灯底部的水平距离为变量；因为人和路灯都垂直于地面，所以二者互相平行，可得到两组相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质，分别表示出两段影子的长度，将两段影子长度求和后化简，判断和是否与变量有关，即可得出影子之和的变化趋势。
【解析】
设路灯高度为$h$，人身高为$a$，两路灯底部间距$CE = L$，人到路灯$C$的水平距离为$x$。
由$AB// CD$，得$△ HAB ∽ △ HCD$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{HB}{HC}$，即$\frac{a}{h}=\frac{HB}{HB+x}$，
整理得$HB=\frac{a}{h-a}· x$。
同理，由$AB// EF$，得$△ GAB ∽ △ GEF$，
$\therefore \frac{AB}{EF}=\frac{GB}{GE}$，即$\frac{a}{h}=\frac{GB}{GB+(L-x)}$，
整理得$GB=\frac{a}{h-a}· (L-x)$。
因此$GH=GB+BH=\frac{a}{h-a}·(L-x)+\frac{a}{h-a}· x=\frac{aL}{h-a}$，
该结果为定值，与$x$无关。
所以两段影子之和$GH$的变化趋势是保持不变。
【答案】
保持不变
【知识点】
相似三角形的判定与性质；中心投影；代数式化简
【点评】
本题将生活中的投影现象与几何知识结合，解题关键是从实际场景中抽象出相似三角形模型，通过设参数表示各线段长度，化简后即可判断结果是否为定值，较好地考查了数学建模能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16.(8分)画出图12所示立体图形的三视图。
16.(8分)画出图12所示立体图形的三视图。
答案
解：
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，绘制结果如下：
1. 主视图：下方为横置的矩形，对应底层长方体的正面投影；在该矩形上方偏右位置绘制平行四边形，平行四边形的底边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：下方为竖置的矩形，对应底层长方体的左面投影；在该矩形上方绘制直角三角形，直角三角形的水平直角边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
3. 俯视图：整体为大矩形，对应底层长方体的顶面投影；在大矩形内部靠右位置绘制平行四边形，对应上方斜放几何体的水平投影，所有可见轮廓线均用实线绘制。
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，绘制结果如下：
1. 主视图：下方为横置的矩形，对应底层长方体的正面投影；在该矩形上方偏右位置绘制平行四边形，平行四边形的底边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：下方为竖置的矩形，对应底层长方体的左面投影；在该矩形上方绘制直角三角形，直角三角形的水平直角边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
3. 俯视图：整体为大矩形，对应底层长方体的顶面投影；在大矩形内部靠右位置绘制平行四边形，对应上方斜放几何体的水平投影，所有可见轮廓线均用实线绘制。
解析
【分析】
解题时首先拆分组合立体图形，该立体图形由底层的长方体和上方斜放的四棱柱两个基本几何体组成。接下来回忆三视图的定义和绘制规则：主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，绘制需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，可见的轮廓线用实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制。第一步先分别确定从三个方向观察时，两个基本几何体各自的投影形状，第二步再按照位置关系组合，最后核对投影规则即可完成绘制。
【解析】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则分步绘制：
1. 绘制主视图：从正面观察，底层长方体的正面投影为横置矩形；上方斜放四棱柱的正面投影为平行四边形，位于下方矩形的上方偏右位置，平行四边形的底边与下方矩形的上边部分重合，所有可见线条用实线绘制。
2. 绘制左视图：从左面观察，底层长方体的左面投影为竖置矩形；上方斜放四棱柱的左面投影为直角三角形，直角三角形的水平直角边与下方矩形的上边部分重合，所有可见线条用实线绘制。
3. 绘制俯视图：从上面观察，底层长方体的顶面投影为大矩形；上方斜放四棱柱的水平投影为平行四边形，位于大矩形内部靠右位置，所有可见线条用实线绘制。
【答案】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，绘制结果如下：
1. 主视图：下方为横置的矩形，对应底层长方体的正面投影；在该矩形上方偏右位置绘制平行四边形，平行四边形的底边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：下方为竖置的矩形，对应底层长方体的左面投影；在该矩形上方绘制直角三角形，直角三角形的水平直角边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
3. 俯视图：整体为大矩形，对应底层长方体的顶面投影；在大矩形内部靠右位置绘制平行四边形，对应上方斜放几何体的水平投影，所有可见轮廓线均用实线绘制。
【知识点】
组合体三视图绘制；三视图投影规则；几何体视图判断
【点评】
本题考查组合立体图形的三视图绘制，解题关键是先将组合体拆解为熟悉的基本几何体，再分别确定各方向的投影形状，绘制时注意遵循投影规则和轮廓线的虚实要求，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先拆分组合立体图形，该立体图形由底层的长方体和上方斜放的四棱柱两个基本几何体组成。接下来回忆三视图的定义和绘制规则：主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，绘制需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，可见的轮廓线用实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制。第一步先分别确定从三个方向观察时，两个基本几何体各自的投影形状，第二步再按照位置关系组合，最后核对投影规则即可完成绘制。
【解析】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则分步绘制：
1. 绘制主视图：从正面观察，底层长方体的正面投影为横置矩形；上方斜放四棱柱的正面投影为平行四边形，位于下方矩形的上方偏右位置，平行四边形的底边与下方矩形的上边部分重合，所有可见线条用实线绘制。
2. 绘制左视图：从左面观察，底层长方体的左面投影为竖置矩形；上方斜放四棱柱的左面投影为直角三角形，直角三角形的水平直角边与下方矩形的上边部分重合，所有可见线条用实线绘制。
3. 绘制俯视图：从上面观察，底层长方体的顶面投影为大矩形；上方斜放四棱柱的水平投影为平行四边形，位于大矩形内部靠右位置，所有可见线条用实线绘制。
【答案】
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，绘制结果如下：
1. 主视图：下方为横置的矩形，对应底层长方体的正面投影；在该矩形上方偏右位置绘制平行四边形，平行四边形的底边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
2. 左视图：下方为竖置的矩形，对应底层长方体的左面投影；在该矩形上方绘制直角三角形，直角三角形的水平直角边与下方矩形的上边部分重合，所有可见轮廓线均用实线绘制。
3. 俯视图：整体为大矩形，对应底层长方体的顶面投影；在大矩形内部靠右位置绘制平行四边形，对应上方斜放几何体的水平投影，所有可见轮廓线均用实线绘制。
【知识点】
组合体三视图绘制；三视图投影规则；几何体视图判断
【点评】
本题考查组合立体图形的三视图绘制，解题关键是先将组合体拆解为熟悉的基本几何体，再分别确定各方向的投影形状，绘制时注意遵循投影规则和轮廓线的虚实要求，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
