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22. (10分)图18是住宅区内的两幢楼,它们的高$AB=CD=30\ \mathrm{m}$,两楼间的距离$AC=30\ \mathrm{m}$,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
(1)当太阳光与水平线的夹角为$30°$时,求甲楼的影子在乙楼上的高度；
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,则此时太阳光与水平线的夹角为多少度？
(1)当太阳光与水平线的夹角为$30°$时,求甲楼的影子在乙楼上的高度；
(2)若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上,则此时太阳光与水平线的夹角为多少度？
答案
解：
(1) 设从甲楼顶部B点射出的太阳光交乙楼CD于点E，过点B作BF⊥CD，垂足为F。
由题意得四边形ABFC是矩形，
∴ $BF = AC = 30\ \mathrm{m}$，$AB = CF = 30\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ EBF = 30°$，
由$\tan∠ EBF = \dfrac{EF}{BF}$，得：
$EF = BF· \tan30° = 30×\dfrac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore EC = CF - EF = (30 - 10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(2) 当甲楼的影子刚好不落在乙楼墙上时，从B点射出的太阳光恰好经过点C。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = 30\ \mathrm{m}$，$AC = 30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC = 90°$，
$\therefore \tan∠ BCA = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{30}{30} = 1$，
$\therefore ∠ BCA = 45°$。
答：(1) 甲楼的影子在乙楼上的高度为$(30-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$；(2) 此时太阳光与水平线的夹角为$45°$。
(1) 设从甲楼顶部B点射出的太阳光交乙楼CD于点E，过点B作BF⊥CD，垂足为F。
由题意得四边形ABFC是矩形，
∴ $BF = AC = 30\ \mathrm{m}$，$AB = CF = 30\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ EBF = 30°$，
由$\tan∠ EBF = \dfrac{EF}{BF}$，得：
$EF = BF· \tan30° = 30×\dfrac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore EC = CF - EF = (30 - 10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(2) 当甲楼的影子刚好不落在乙楼墙上时，从B点射出的太阳光恰好经过点C。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = 30\ \mathrm{m}$，$AC = 30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC = 90°$，
$\therefore \tan∠ BCA = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{30}{30} = 1$，
$\therefore ∠ BCA = 45°$。
答：(1) 甲楼的影子在乙楼上的高度为$(30-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$；(2) 此时太阳光与水平线的夹角为$45°$。
解析
【分析】
(1) 求解甲楼影子在乙楼上的高度，首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点B作BF垂直CD于点F，先利用矩形性质得到BF等于两楼间距AC、CF等于甲楼高度AB；再在含30°角的Rt△BEF中，用正切三角函数求出EF的长度，最后用CF减去EF即可得到影子高度EC。
(2) 若甲楼影子刚好不落在乙楼墙上，说明甲楼顶端B的影子恰好落在乙楼底部C点，此时在Rt△ABC中，已知AB、AC长度相等，利用正切函数求出∠BCA的度数，该角度就是所求的太阳光与水平线的夹角。
【解析】
(1) 设从甲楼顶部B点射出的太阳光交乙楼CD于点E，过点B作BF⊥CD，垂足为F。
由题意得四边形ABFC是矩形，
∴ $BF = AC = 30\ \mathrm{m}$，$AB = CF = 30\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ EBF = 30°$，
由$\tan∠ EBF = \dfrac{EF}{BF}$，得：
$EF = BF· \tan30° = 30×\dfrac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore EC = CF - EF = (30 - 10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(2) 当甲楼的影子刚好不落在乙楼墙上时，从B点射出的太阳光恰好经过点C。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = 30\ \mathrm{m}$，$AC = 30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC = 90°$，
$\therefore \tan∠ BCA = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{30}{30} = 1$，
$\therefore ∠ BCA = 45°$。
【答案】
(1) 甲楼的影子在乙楼上的高度为$(30-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$；(2) 此时太阳光与水平线的夹角为$45°$。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合生活中采光的实际场景考查几何知识的应用，解题核心是根据题意构造合适的直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值和矩形的性质。
【难度系数】
0.7
(1) 求解甲楼影子在乙楼上的高度，首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形：过点B作BF垂直CD于点F，先利用矩形性质得到BF等于两楼间距AC、CF等于甲楼高度AB；再在含30°角的Rt△BEF中，用正切三角函数求出EF的长度，最后用CF减去EF即可得到影子高度EC。
(2) 若甲楼影子刚好不落在乙楼墙上，说明甲楼顶端B的影子恰好落在乙楼底部C点，此时在Rt△ABC中，已知AB、AC长度相等，利用正切函数求出∠BCA的度数，该角度就是所求的太阳光与水平线的夹角。
【解析】
(1) 设从甲楼顶部B点射出的太阳光交乙楼CD于点E，过点B作BF⊥CD，垂足为F。
由题意得四边形ABFC是矩形，
∴ $BF = AC = 30\ \mathrm{m}$，$AB = CF = 30\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ EBF = 30°$，
由$\tan∠ EBF = \dfrac{EF}{BF}$，得：
$EF = BF· \tan30° = 30×\dfrac{\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore EC = CF - EF = (30 - 10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
(2) 当甲楼的影子刚好不落在乙楼墙上时，从B点射出的太阳光恰好经过点C。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB = 30\ \mathrm{m}$，$AC = 30\ \mathrm{m}$，$∠ BAC = 90°$，
$\therefore \tan∠ BCA = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{30}{30} = 1$，
$\therefore ∠ BCA = 45°$。
【答案】
(1) 甲楼的影子在乙楼上的高度为$(30-10\sqrt{3})\ \mathrm{m}$；(2) 此时太阳光与水平线的夹角为$45°$。
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合生活中采光的实际场景考查几何知识的应用，解题核心是根据题意构造合适的直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值和矩形的性质。
【难度系数】
0.7
23. (11分)一透明的敞口正方体容器$ABCD-A'B'C'D'$装有一些有色液体,棱$AB$始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为$α$。(注:图19①中$∠ CBE=α$,图19②中$BQ=3\ \mathrm{dm}$)
(1)探究:如图19①,液面刚好过棱$CD$,并与棱$BB'$交于点$Q$,其三视图及尺寸如图19②所示,那么,图19①中液体形状为(填几何体的名称);利用图19②中的数据,可以算出图19①中液体的体积为$\mathrm{dm}^3$。
(2)拓展:在图19①的基础上,以棱$AB$为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出。从正面看,若液面与棱$C'C$或$CB$交于点$P$,点$Q$始终在棱$BB'$上,设$PC=x$,请你把此时容器的主视图补充完整,并用含$x$的代数式表示$BQ$的长度。
(1)探究:如图19①,液面刚好过棱$CD$,并与棱$BB'$交于点$Q$,其三视图及尺寸如图19②所示,那么,图19①中液体形状为(填几何体的名称);利用图19②中的数据,可以算出图19①中液体的体积为$\mathrm{dm}^3$。
(2)拓展:在图19①的基础上,以棱$AB$为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出。从正面看,若液面与棱$C'C$或$CB$交于点$P$,点$Q$始终在棱$BB'$上,设$PC=x$,请你把此时容器的主视图补充完整,并用含$x$的代数式表示$BQ$的长度。
答案
直三棱柱；$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
(1) 判断液体形状：观察液体部分的结构，它有两个互相平行且全等的三角形面（位于容器前后侧），其余各面均为矩形，且侧棱与三角形面垂直，符合直三棱柱的特征。计算体积时，首先从三视图提取数据：左视图的4dm是正方体的棱长，也就是直三棱柱的纵向长度；主视图中△CBQ是直角三角形，直角边分别为3dm和4dm，先计算三角形的面积，再用直棱柱体积=底面积×高（此处的高为纵向棱长）即可算出液体体积。
【解析】
(1) 液体的两个端面是全等的直角三角形，侧棱平行且垂直于端面，因此形状为直三棱柱。
由三视图可知，正方体棱长为4dm，主视图中Rt△CBQ的两条直角边长度分别为3dm、4dm，
则△CBQ的面积：$S_{△ CBQ}=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{dm}^2$
直三棱柱的纵向长度（即垂直于主视图的棱长）为4dm，
因此液体体积：$V=S_{△ CBQ}×4=6×4=24\ \mathrm{dm}^3$
【答案】
直三棱柱；$\boldsymbol{24}$
【知识点】
三视图识别，直棱柱体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何体的识别和体积计算，解题关键是从三视图中准确提取边长信息，熟练运用直棱柱的体积公式求解，理解液体体积恒定是解决后续拓展问题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 判断液体形状：观察液体部分的结构，它有两个互相平行且全等的三角形面（位于容器前后侧），其余各面均为矩形，且侧棱与三角形面垂直，符合直三棱柱的特征。计算体积时，首先从三视图提取数据：左视图的4dm是正方体的棱长，也就是直三棱柱的纵向长度；主视图中△CBQ是直角三角形，直角边分别为3dm和4dm，先计算三角形的面积，再用直棱柱体积=底面积×高（此处的高为纵向棱长）即可算出液体体积。
【解析】
(1) 液体的两个端面是全等的直角三角形，侧棱平行且垂直于端面，因此形状为直三棱柱。
由三视图可知，正方体棱长为4dm，主视图中Rt△CBQ的两条直角边长度分别为3dm、4dm，
则△CBQ的面积：$S_{△ CBQ}=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{dm}^2$
直三棱柱的纵向长度（即垂直于主视图的棱长）为4dm，
因此液体体积：$V=S_{△ CBQ}×4=6×4=24\ \mathrm{dm}^3$
【答案】
直三棱柱；$\boldsymbol{24}$
【知识点】
三视图识别，直棱柱体积计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何体的识别和体积计算，解题关键是从三视图中准确提取边长信息，熟练运用直棱柱的体积公式求解，理解液体体积恒定是解决后续拓展问题的核心。
【难度系数】
0.7
