4. 在函数$y=\frac{1}{x}$的图象上有三个点的坐标分别为$(1,y_1),(\frac{1}{2},y_2),(-3,y_3)$，函数值$y_1,y_2,y_3$的大小关系是()

A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
C.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
D.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$

4. D

【分析】
解题时先从反比例函数的性质入手：首先确定函数的比例系数k的正负，以此判断函数图象所在象限和增减性；其次判断三个点所属的象限，位于第三象限的点的函数值为负，第一象限的点的函数值为正，因此第三象限的$y_3$最小；最后对同一象限内的两个点，结合函数增减性比较$y_1$和$y_2$的大小，即可得到三个函数值的排序。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{1}{x}$，比例系数$k=1＞0$，因此函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
1. 判断点所在象限：
点$(1,y_1)$、$(\frac{1}{2},y_2)$的横坐标为正，位于第一象限，因此$y_1＞0$，$y_2＞0$；
点$(-3,y_3)$的横坐标为负，位于第三象限，因此$y_3＜0$，可得$y_3$是三个值中最小的。
2. 比较第一象限内的函数值：
因为$\frac{1}{2}＜1$，且第一象限内$y$随$x$增大而减小，所以$y_2＞y_1$。
综上，三个函数值的大小关系为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题时要注意：反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，跨象限比较函数值时可先根据正负判断大小，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8

5.若反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象与一次函数$y=x-1$的图象交于点$A(3,n)$，则$k$的值为。

5. 6

【分析】
已知点A是反比例函数与一次函数的交点，因此点A的坐标同时满足两个函数的解析式。解题时可先将点A的横坐标代入一次函数解析式，求出n的值，得到点A的完整坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式，即可计算出k的值。
【解析】
∵ 点$A(3,n)$在一次函数$y=x-1$的图象上，
∴ 将$x=3$代入$y=x-1$，得$n=3-1=2$，即点A的坐标为$(3,2)$。
又
∵ 点$A(3,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴ 将$x=3$，$y=2$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3×2=6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；函数交点的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是理解函数交点的坐标同时满足相交的两个函数的解析式，通过两次代入求值即可得到结果，计算难度低，属于易得分题。
【难度系数】
0.9

6. 已知正比例函数 $ y = 2x $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $ 的图象相交于 $ A(2,m) $，$ B $ 两点，则点 $ B $ 的坐标为。

6. (-2, -4)

【分析】
要确定点B的坐标，我们可以按以下思路思考：首先，函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可先将点A的横坐标代入正比例函数解析式，求出m的值，得到点A的完整坐标。接下来有两种解题路径：路径一：将点A坐标代入反比例函数求出k值，再联立正比例与反比例函数的解析式，解方程组得到两个交点，排除已知的点A即可得到点B；路径二：利用正比例函数和反比例函数均关于原点中心对称的性质，可知两个交点关于原点对称，直接求点A关于原点的对称点即为点B，这种方法更简便。
【解析】
步骤1：求点A的纵坐标m
已知点A(2,m)在正比例函数$y=2x$的图象上，将$x=2$代入$y=2x$，得：
$m = 2×2 = 4$
因此点A的坐标为$(2,4)$。
步骤2：求点B的坐标
方法一：联立方程求解
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$4 = \frac{k}{2}$，解得$k=8$，即反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
联立两个函数解析式：
$\begin{cases} y=2x \\ y=\frac{8}{x} \end{cases}$
将$y=2x$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2x=\frac{8}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）得$2x^2=8$，化简得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。
当$x=-2$时，$y=2×(-2)=-4$，因此点B的坐标为$(-2,-4)$。
方法二：利用对称性求解
因为正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，所以它们的交点也关于原点对称。
点$A(2,4)$关于原点对称的点的坐标为$(-2,-4)$，因此点B的坐标为$(-2,-4)$。
【答案】
$(-2, -4)$
【知识点】
1. 函数交点的坐标特征
2. 正比例函数的性质
3. 反比例函数的性质
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数交点的相关计算，既可以通过联立方程组的常规方法求解，也可以利用函数的中心对称性快速得出结果，解题时灵活选择方法可提升答题效率。
【难度系数】
0.8

7. 如图，反比例函数$y=\frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为。

7. 4

【分析】
本题是反比例函数与矩形结合的基础题，解题思路如下：第一步，设出点A的横坐标为a（a＞0），则矩形的边OA长为a，且AB边上所有点的横坐标都等于a；第二步，将x=a代入反比例函数解析式，得到AB中点D的纵坐标，再根据中点性质推出AB的长度；第三步，利用矩形面积=长×宽计算面积，计算过程中a会被消去，直接得到最终结果。
【解析】
解：设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），
∵四边形OABC是矩形，
∴$OA=a$，$AB⊥x$轴，即AB上所有点的横坐标均为$a$，
∵D是AB的中点，且D在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴将$x=a$代入$y=\frac{2}{x}$，得D点纵坐标为$\frac{2}{a}$，
∴$AB=2×\frac{2}{a}=\frac{4}{a}$，
∴矩形OABC的面积$S=OA·AB=a×\frac{4}{a}=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；中点的性质
【点评】
本题属于基础题，考查反比例函数与几何图形的综合应用，解题的核心是通过设坐标，利用反比例函数解析式表示出矩形的边长，计算过程中未知数会自动消去，无需求出未知数的具体值，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象相交于A,B两点.
(1) 根据图象,分别写出A,B的坐标.
(2) 求出两个函数解析式.
(3) 根据图象回答:当x为何值时,一次函数的函数值大于反比例函数的函数值?
(4) 求$△ AOB$的面积.

8. (1) A(-6, -2),B(4,3); (2) $y=\frac{12}{x},y=\frac{1}{2}x + 1$; (3) $-6 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 4$; (4) $S_{△ AOB} = 5$.

【分析】
(1) 观察坐标系的刻度标识，直接读取A、B两点的横纵坐标即可。
(2) 反比例函数仅需一个点坐标即可求出参数，将已知点代入$y=\frac{m}{x}$计算m的值；一次函数需要两个点坐标代入$y=kx+b$，得到二元一次方程组，解出k和b的值即可。
(3) 一次函数值大于反比例函数值，对应图像中一次函数图像位于反比例函数图像上方的部分，结合A、B的横坐标和反比例函数$x\ne0$的限制，分区间写出x的范围即可。
(4) 先求一次函数与x轴的交点，将$△ AOB$拆分为两个同底的三角形，分别计算面积后相加，即可得到$△ AOB$的总面积。
【解析】
(1) 根据图像刻度可直接读出：A点横坐标为-6，纵坐标为-2，即$A(-6,-2)$；B点横坐标为4，纵坐标为3，即$B(4,3)$。
(2) ①求反比例函数解析式：
将$B(4,3)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$3=\frac{m}{4}$，解得$m=12$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
②求一次函数解析式：
将$A(-6,-2)$、$B(4,3)$代入$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases}-6k + b = -2 \\4k + b = 3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=5$，解得$k=\frac{1}{2}$，
将$k=\frac{1}{2}$代入$4k + b=3$，得$2+b=3$，解得$b=1$，
∴一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$。
(3) 观察图像可得：
当$-6＜x＜0$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，函数值更大；
当$x＞4$时，一次函数图像也在反比例函数图像上方，函数值更大；
即x的取值范围是$-6＜x＜0$或$x＞4$。
(4) 设一次函数$y=\frac{1}{2}x+1$与x轴交于点C，令$y=0$，得$0=\frac{1}{2}x+1$，解得$x=-2$，即$C(-2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |y_A|=\frac{1}{2}×2×2=2$
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC× |y_B|=\frac{1}{2}×2×3=3$
∴$S_{△ AOB}=2+3=5$。
【答案】
(1) $A(-6,-2)$，$B(4,3)$；
(2) 反比例函数：$y=\frac{12}{x}$，一次函数：$y=\frac{1}{2}x+1$；
(3) $-6＜x＜0$或$x＞4$；
(4) $S_{△ AOB}=5$。
【知识点】
反比例函数与一次函数综合；待定系数法求解析式；坐标系图形面积计算
【点评】
本题是函数综合基础题，侧重考查图像读取能力和基础计算能力，解题时要注意反比例函数自变量的取值限制，计算不规则三角形面积时合理使用割补法可简化运算。
【难度系数】
0.65

9. 如图,一次函数$y = kx + 2(k ≠ 0)$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}(m ≠ 0,x ＞ 0)$的图象交于点$A(2,n)$,与$y$轴交于点$B$,与$x$轴交于点$C(-4,0)$.
(1)求$k$与$m$的值;
(2)$P(a,0)$为$x$轴上的一动点,当$△ APB$的面积为$\frac{7}{2}$时,求$a$的值.

9. (1) $k$ 的值为$\frac{1}{2}$,$m$ 的值为6; (2) $a = 3$ 或 $-11$.

【分析】
(1) 求解k、m的值可利用待定系数法：先将一次函数经过的点C(-4,0)代入一次函数解析式，即可求出k的值；得到一次函数解析式后，将点A的横坐标代入求出n，得到A点完整坐标，再将A点代入反比例函数解析式就能求出m的值。
(2) 求解a的值，先确定一次函数与y轴交点B的坐标，观察发现△APB的面积可通过同底的△ACP和△BCP的面积差的绝对值计算，两个三角形均以CP为底，高分别为点A、点B的纵坐标，结合已知面积列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，避免漏解。
【解析】
(1) 把$C(-4,0)$代入一次函数$y = kx + 2$，得：
$-4k + 2 = 0$
解得$k = \frac{1}{2}$
因此一次函数解析式为$y = \frac{1}{2}x + 2$
$\because$点$A(2,n)$在一次函数图象上，代入得：
$n = \frac{1}{2} × 2 + 2 = 3$
$\therefore A$点坐标为$(2,3)$
把$A(2,3)$代入反比例函数$y = \frac{m}{x}$，得：
$3 = \frac{m}{2}$
解得$m = 6$
(2) 对于一次函数$y = \frac{1}{2}x + 2$，当$x=0$时，$y=2$，$\therefore B$点坐标为$(0,2)$
$\because P(a,0)$在$x$轴上，$C(-4,0)$，$\therefore CP$的长度为$|a - (-4)| = |a + 4|$
$S_{△ BCP} = \frac{1}{2} × CP × |y_B| = \frac{1}{2} × |a+4| × 2 = |a+4|$
$S_{△ ACP} = \frac{1}{2} × CP × |y_A| = \frac{1}{2} × |a+4| × 3 = \frac{3}{2}|a+4|$
$\because S_{△ APB} = |S_{△ ACP} - S_{△ BCP}| = \frac{7}{2}$
$\therefore |\frac{3}{2}|a+4| - |a+4|| = \frac{7}{2}$
化简得$\frac{1}{2}|a+4| = \frac{7}{2}$，即$|a+4| = 7$
$\therefore a+4=7$ 或 $a+4=-7$
解得$a=3$ 或 $a=-11$
【答案】
(1) $k=\frac{1}{2}$，$m=6$；(2) $a$的值为$3$或$-11$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，解绝对值方程
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合基础题，解题的核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，灵活运用割补法计算平面直角坐标系中的三角形面积，求解含绝对值的方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7