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变式1 在$y=-\dfrac{3}{x}$图象上有点$(-1,y_1)$，$(1,y_2)$，$(2,y_3)$那么$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
.答案
$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
解析
【分析】
要比较反比例函数上三个点的函数值大小，可按以下思路推导：第一步，先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和增减性；第二步，根据各点横坐标的正负，确定点所在的象限，不同象限的点，第二象限的y值恒为正，第四象限的y值恒为负，由此可先确定y1是三者中最大的；第三步，对同处于第四象限的两个点，结合该象限内函数的增减性比较y2和y3的大小，最终即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$ y=-\dfrac{3}{x} $，其中比例系数$ k=-3＜0 $，
∴ 该函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，$ y $随$ x $的增大而增大。
∵ 点$ (-1,y_1) $的横坐标为$ -1＜0 $，
∴ 该点在第二象限，故$ y_1＞0 $。
∵ 点$ (1,y_2) $、$ (2,y_3) $的横坐标$ 1＞0 $、$ 2＞0 $，
∴ 这两个点都在第四象限，故$ y_2＜0 $，$ y_3＜0 $。
又
∵ 第四象限内$ y $随$ x $的增大而增大，且$ 1＜2 $，
∴ $ y_2＜y_3＜0 $。
综上可得：$ y_1＞y_3＞y_2 $。
【答案】
$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先判断点所在的象限，区分不同象限内函数值的正负，再结合同一象限内的增减性比较大小，切忌不看象限直接套用增减性导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要比较反比例函数上三个点的函数值大小，可按以下思路推导：第一步，先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和增减性；第二步，根据各点横坐标的正负，确定点所在的象限，不同象限的点，第二象限的y值恒为正，第四象限的y值恒为负，由此可先确定y1是三者中最大的；第三步，对同处于第四象限的两个点，结合该象限内函数的增减性比较y2和y3的大小，最终即可得出三者的大小关系。
【解析】
解：对于反比例函数$ y=-\dfrac{3}{x} $，其中比例系数$ k=-3＜0 $，
∴ 该函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，$ y $随$ x $的增大而增大。
∵ 点$ (-1,y_1) $的横坐标为$ -1＜0 $，
∴ 该点在第二象限，故$ y_1＞0 $。
∵ 点$ (1,y_2) $、$ (2,y_3) $的横坐标$ 1＞0 $、$ 2＞0 $，
∴ 这两个点都在第四象限，故$ y_2＜0 $，$ y_3＜0 $。
又
∵ 第四象限内$ y $随$ x $的增大而增大，且$ 1＜2 $，
∴ $ y_2＜y_3＜0 $。
综上可得：$ y_1＞y_3＞y_2 $。
【答案】
$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题的关键是先判断点所在的象限，区分不同象限内函数值的正负，再结合同一象限内的增减性比较大小，切忌不看象限直接套用增减性导致判断错误。
【难度系数】
0.7
变式2 若点$A(-5,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$在反比例函数$y=-\dfrac{a^2 +1}{x}$(a为常数)的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
.(用“＜”连接)答案
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
解析
【分析】
要比较反比例函数上三点的纵坐标大小，首先需判断反比例函数比例系数$k$的符号：由表达式中$a^2$的非负性可得$k=-(a^2+1)$恒为负，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。接下来按横坐标的正负将三点分类到对应象限：第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负，可先确定最大的$y$值；再对同一象限内的两点，利用增减性比较剩余两个$y$值的大小即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{a^2 +1}{x}$，
$\because a^2≥ 0$，$\therefore a^2+1≥ 1＞0$，
$\therefore$ 比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because$ 点$A(-5,y_1)$的横坐标$-5＜0$，
$\therefore$ 点$A$在第二象限，$\therefore y_1＞0$；
$\because$ 点$B(1,y_2)$、$C(2,y_3)$的横坐标$1＞0$，$2＞0$，
$\therefore$ 点$B$、$C$在第四象限，$\therefore y_2＜0$，$y_3＜0$。
在第四象限内，$y$随$x$的增大而增大，且$1＜2$，
$\therefore y_2＜y_3$。
综上，三者的大小关系为$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题关键是先判断函数图象所在象限，不同象限的点可先通过纵坐标的正负比较大小，同一象限内的点再结合函数增减性比较，切勿忽略象限差异直接用增减性比较所有点的纵坐标大小。
【难度系数】
0.7
要比较反比例函数上三点的纵坐标大小，首先需判断反比例函数比例系数$k$的符号：由表达式中$a^2$的非负性可得$k=-(a^2+1)$恒为负，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。接下来按横坐标的正负将三点分类到对应象限：第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负，可先确定最大的$y$值；再对同一象限内的两点，利用增减性比较剩余两个$y$值的大小即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=-\dfrac{a^2 +1}{x}$，
$\because a^2≥ 0$，$\therefore a^2+1≥ 1＞0$，
$\therefore$ 比例系数$k=-(a^2+1)＜0$，
$\therefore$ 该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
$\because$ 点$A(-5,y_1)$的横坐标$-5＜0$，
$\therefore$ 点$A$在第二象限，$\therefore y_1＞0$；
$\because$ 点$B(1,y_2)$、$C(2,y_3)$的横坐标$1＞0$，$2＞0$，
$\therefore$ 点$B$、$C$在第四象限，$\therefore y_2＜0$，$y_3＜0$。
在第四象限内，$y$随$x$的增大而增大，且$1＜2$，
$\therefore y_2＜y_3$。
综上，三者的大小关系为$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
【答案】
$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题关键是先判断函数图象所在象限，不同象限的点可先通过纵坐标的正负比较大小，同一象限内的点再结合函数增减性比较，切勿忽略象限差异直接用增减性比较所有点的纵坐标大小。
【难度系数】
0.7
2. 如图，A,C是函数$y=\frac{1}{x}$的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点B，过点C作CD垂直y轴于点D，记$Rt△ AOB$的面积为$S_1$，$Rt△ COD$的面积为$S_2$，则(
A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_1$与$S_2$的大小关系无法确定
C
)A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.$S_1$与$S_2$的大小关系无法确定
答案
C
解析
【分析】
遇到反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线形成直角三角形求面积的问题，首先想到反比例函数中k的几何意义。我们可以先设出双曲线上点的坐标，结合点在反比例函数上横纵坐标乘积等于k的性质，分别计算两个直角三角形的面积，再比较大小即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵A、C均在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$。
对于$Rt△ AOB$，$AB=|x_1|$，$OB=|y_1|$，
∴$S_1=\frac{1}{2}× AB × OB=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
对于$Rt△ COD$，$CD=|x_2|$，$OD=|y_2|$，
∴$S_2=\frac{1}{2}× CD × OD=\frac{1}{2}|x_2y_2|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
因此$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，只要牢记“过双曲线上任意一点向任一坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$”这一结论，就可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
遇到反比例函数图象上的点向坐标轴作垂线形成直角三角形求面积的问题，首先想到反比例函数中k的几何意义。我们可以先设出双曲线上点的坐标，结合点在反比例函数上横纵坐标乘积等于k的性质，分别计算两个直角三角形的面积，再比较大小即可。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点C的坐标为$(x_2,y_2)$。
∵A、C均在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$。
对于$Rt△ AOB$，$AB=|x_1|$，$OB=|y_1|$，
∴$S_1=\frac{1}{2}× AB × OB=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
对于$Rt△ COD$，$CD=|x_2|$，$OD=|y_2|$，
∴$S_2=\frac{1}{2}× CD × OD=\frac{1}{2}|x_2y_2|=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
因此$S_1=S_2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查反比例函数中k的几何意义的应用，只要牢记“过双曲线上任意一点向任一坐标轴作垂线，该点、垂足、原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$”这一结论，就可以快速得出答案。
【难度系数】
0.8
1. 如图，正比例函数$y = x$与反比例函数$y = \dfrac{1}{x}$的图象相交于A，B两点，$BC ⊥ x$轴于点C，则$△ ABC$的面积为(
A.1
B.2
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$
A
)A.1
B.2
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先联立正比例函数与反比例函数的解析式，求出交点A、B的坐标，也可利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称的性质快速得到两点坐标关系；2. 结合BC⊥x轴的条件确定点C的坐标；3. 将△ABC的面积拆分为△BOC和△AOC的面积之和，分别计算后求和即可，也可直接利用反比例函数k的几何意义简化计算。
【解析】
首先联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x \\y = \dfrac{1}{x}\end{cases}$
将$y=x$代入$y=\dfrac{1}{x}$，得$x=\dfrac{1}{x}$，即$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
代入$y=x$得对应$y$值：当$x=1$时$y=1$，当$x=-1$时$y=-1$，因此$A(1,1)$，$B(-1,-1)$。
因为$BC ⊥ x$轴，所以点$C$的横坐标与$B$相同，纵坐标为0，即$C(-1,0)$。
计算$△ ABC$的面积：
$△ ABC$可拆分为$△ BOC$和$△ AOC$两部分：
$OC$的长度为$|-1|=1$，$BC$的长度为$|-1-0|=1$，因此$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2} × OC × BC = \dfrac{1}{2} × 1 × 1 = \dfrac{1}{2}$；
点$A$到$x$轴的距离为$1$，因此$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2} × OC × 1 = \dfrac{1}{2} × 1 × 1 = \dfrac{1}{2}$；
因此$S_{△ ABC}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质，解题方法灵活，既可以通过求坐标直接计算面积，也可以利用反比例函数$k$的几何意义简化运算，是反比例函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先联立正比例函数与反比例函数的解析式，求出交点A、B的坐标，也可利用正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称的性质快速得到两点坐标关系；2. 结合BC⊥x轴的条件确定点C的坐标；3. 将△ABC的面积拆分为△BOC和△AOC的面积之和，分别计算后求和即可，也可直接利用反比例函数k的几何意义简化计算。
【解析】
首先联立两个函数的解析式：
$\begin{cases}y = x \\y = \dfrac{1}{x}\end{cases}$
将$y=x$代入$y=\dfrac{1}{x}$，得$x=\dfrac{1}{x}$，即$x^2=1$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$。
代入$y=x$得对应$y$值：当$x=1$时$y=1$，当$x=-1$时$y=-1$，因此$A(1,1)$，$B(-1,-1)$。
因为$BC ⊥ x$轴，所以点$C$的横坐标与$B$相同，纵坐标为0，即$C(-1,0)$。
计算$△ ABC$的面积：
$△ ABC$可拆分为$△ BOC$和$△ AOC$两部分：
$OC$的长度为$|-1|=1$，$BC$的长度为$|-1-0|=1$，因此$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2} × OC × BC = \dfrac{1}{2} × 1 × 1 = \dfrac{1}{2}$；
点$A$到$x$轴的距离为$1$，因此$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2} × OC × 1 = \dfrac{1}{2} × 1 × 1 = \dfrac{1}{2}$；
因此$S_{△ ABC}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，正比例函数的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质，解题方法灵活，既可以通过求坐标直接计算面积，也可以利用反比例函数$k$的几何意义简化运算，是反比例函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,过x轴上任意点P作y轴的平行线,分别与反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0),y=-\frac{6}{x}(x＞0)$的图象交于A点和B点.连接AO,BO,则△ABO的面积为
$\frac{9}{2}$
. 答案
$\frac{9}{2}$
解析
【分析】
要求△ABO的面积，观察到AB垂直于x轴，可将△ABO拆分为△AOP和△BOP两个直角三角形的面积之和；也可以先设出点P的横坐标，分别求出A、B两点的纵坐标，得到AB的长度后结合三角形面积公式计算。其中利用反比例函数k的几何意义（过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$）可快速计算两个小三角形的面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
方法一：利用反比例函数k的几何意义求解
∵点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，且AB⊥x轴，
∴$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×|3|=\frac{3}{2}$，
∵点B在反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且AB⊥x轴，
∴$S_{△ BOP}=\frac{1}{2}×|-6|=3$，
∴$S_{△ ABO}=S_{△ AOP}+S_{△ BOP}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$。
方法二：设坐标计算求解
设点P的横坐标为$a(a＞0)$，
∵AB平行于y轴，
∴A、B两点的横坐标均为a，
将$x=a$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_A=\frac{3}{a}$，即$A(a,\frac{3}{a})$，
将$x=a$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y_B=-\frac{6}{a}$，即$B(a,-\frac{6}{a})$，
∴AB的长度为$y_A-y_B=\frac{3}{a}-(-\frac{6}{a})=\frac{9}{a}$，
点O到AB的距离为P点的横坐标长度$a$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×AB×a=\frac{1}{2}×\frac{9}{a}×a=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的典型常考题型，既可以通过设坐标计算线段长度的基础方法求解，也可以利用k的几何意义快速得到结果，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要求△ABO的面积，观察到AB垂直于x轴，可将△ABO拆分为△AOP和△BOP两个直角三角形的面积之和；也可以先设出点P的横坐标，分别求出A、B两点的纵坐标，得到AB的长度后结合三角形面积公式计算。其中利用反比例函数k的几何意义（过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{|k|}{2}$）可快速计算两个小三角形的面积，相加即可得到最终结果。
【解析】
方法一：利用反比例函数k的几何意义求解
∵点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，且AB⊥x轴，
∴$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×|3|=\frac{3}{2}$，
∵点B在反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上，且AB⊥x轴，
∴$S_{△ BOP}=\frac{1}{2}×|-6|=3$，
∴$S_{△ ABO}=S_{△ AOP}+S_{△ BOP}=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$。
方法二：设坐标计算求解
设点P的横坐标为$a(a＞0)$，
∵AB平行于y轴，
∴A、B两点的横坐标均为a，
将$x=a$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_A=\frac{3}{a}$，即$A(a,\frac{3}{a})$，
将$x=a$代入$y=-\frac{6}{x}$，得$y_B=-\frac{6}{a}$，即$B(a,-\frac{6}{a})$，
∴AB的长度为$y_A-y_B=\frac{3}{a}-(-\frac{6}{a})=\frac{9}{a}$，
点O到AB的距离为P点的横坐标长度$a$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×AB×a=\frac{1}{2}×\frac{9}{a}×a=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的典型常考题型，既可以通过设坐标计算线段长度的基础方法求解，也可以利用k的几何意义快速得到结果，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
1. 以正方形ABCD两条对角线的交点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象经过点D，则正方形ABCD的面积为(
A.12
B.16
C.18
D.20
B
)A.12
B.16
C.18
D.20
答案
1. B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|。观察图形可知正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴，中心在原点，因此第一象限内由原点、点D及两条坐标轴垂线围成的矩形面积就是|k|，且该矩形面积恰好是大正方形面积的$\frac{1}{4}$，由此可快速计算正方形面积；也可以先设点D坐标，结合正方形对称性得出点D横纵坐标相等，代入反比例函数求出坐标后再计算边长和面积。
【解析】
方法一：根据反比例函数$k$的几何意义，过点$D$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|=4$。
因为正方形$ABCD$的中心为原点$O$，且边分别平行于坐标轴，所以上述矩形的面积是正方形$ABCD$面积的$\frac{1}{4}$，因此正方形$ABCD$的面积为$4×4=16$。
方法二：设点$D$的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
因为点$D$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，所以$ab=4$。
又因为正方形$ABCD$的边平行于坐标轴，中心在原点，所以正方形的边长为$2a=2b$，即$a=b$，代入$ab=4$得$a^2=4$，解得$a=2$（$a＞0$），
因此正方形边长为$2a=4$，面积为$4×4=16$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与平面几何的结合题，解题的关键是抓住正方形关于坐标轴对称的特点，既可以利用反比例函数$k$的几何意义快速求解，也可以通过求点坐标逐步计算，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积等于|k|。观察图形可知正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴，中心在原点，因此第一象限内由原点、点D及两条坐标轴垂线围成的矩形面积就是|k|，且该矩形面积恰好是大正方形面积的$\frac{1}{4}$，由此可快速计算正方形面积；也可以先设点D坐标，结合正方形对称性得出点D横纵坐标相等，代入反比例函数求出坐标后再计算边长和面积。
【解析】
方法一：根据反比例函数$k$的几何意义，过点$D$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|=4$。
因为正方形$ABCD$的中心为原点$O$，且边分别平行于坐标轴，所以上述矩形的面积是正方形$ABCD$面积的$\frac{1}{4}$，因此正方形$ABCD$的面积为$4×4=16$。
方法二：设点$D$的坐标为$(a,b)$（$a＞0,b＞0$），
因为点$D$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，所以$ab=4$。
又因为正方形$ABCD$的边平行于坐标轴，中心在原点，所以正方形的边长为$2a=2b$，即$a=b$，代入$ab=4$得$a^2=4$，解得$a=2$（$a＞0$），
因此正方形边长为$2a=4$，面积为$4×4=16$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与平面几何的结合题，解题的关键是抓住正方形关于坐标轴对称的特点，既可以利用反比例函数$k$的几何意义快速求解，也可以通过求点坐标逐步计算，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 已知正比例函数$y = k_1x(k_1 ≠ 0)$与反比例函数$y = \frac{k_2}{x}(k_2 ≠ 0)$的图象有一个交点的坐标为$(-2, -1)$，则它的另一个交点的坐标是(
A.$(2,1)$
B.$(-2, -1)$
C.$(-2,1)$
D.$(2, -1)$
A
)A.$(2,1)$
B.$(-2, -1)$
C.$(-2,1)$
D.$(2, -1)$
答案
2. A
解析
【分析】
解题有两种思路：思路1：先将已知交点坐标分别代入正比例函数和反比例函数的解析式，求出$k_1$、$k_2$的值，得到两个函数的完整解析式，再联立两个解析式组成方程组，解方程组即可得到另一个交点坐标；思路2：利用正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称的性质，可知两个函数的交点也关于原点对称，直接求出已知点关于原点的对称点，就是另一个交点坐标。
【解析】
方法一：计算求解
将交点$(-2,-1)$代入正比例函数$y = k_1x$得：
$-1 = -2k_1$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，
∴正比例函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$
将交点$(-2,-1)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$得：
$-1=\frac{k_2}{-2}$，解得$k_2=2$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，消去$y$得$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$
两边同乘$2x$（$x≠0$）得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2=1$，
∴另一个交点坐标为$(2,1)$
方法二：利用对称性求解
∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称
∴两个函数的交点也关于原点对称
已知一个交点为$(-2,-1)$，其关于原点对称的点为$(2,1)$，即另一个交点坐标为$(2,1)$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；中心对称的性质
【点评】
本题既可以通过联立解析式计算求解，也可以利用函数的对称性快速得出答案，灵活运用对称性可以大幅提升解题速度，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解题有两种思路：思路1：先将已知交点坐标分别代入正比例函数和反比例函数的解析式，求出$k_1$、$k_2$的值，得到两个函数的完整解析式，再联立两个解析式组成方程组，解方程组即可得到另一个交点坐标；思路2：利用正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称的性质，可知两个函数的交点也关于原点对称，直接求出已知点关于原点的对称点，就是另一个交点坐标。
【解析】
方法一：计算求解
将交点$(-2,-1)$代入正比例函数$y = k_1x$得：
$-1 = -2k_1$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，
∴正比例函数解析式为$y=\frac{1}{2}x$
将交点$(-2,-1)$代入反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$得：
$-1=\frac{k_2}{-2}$，解得$k_2=2$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x \\ y=\frac{2}{x} \end{cases}$，消去$y$得$\frac{1}{2}x=\frac{2}{x}$
两边同乘$2x$（$x≠0$）得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2=1$，
∴另一个交点坐标为$(2,1)$
方法二：利用对称性求解
∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称
∴两个函数的交点也关于原点对称
已知一个交点为$(-2,-1)$，其关于原点对称的点为$(2,1)$，即另一个交点坐标为$(2,1)$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；中心对称的性质
【点评】
本题既可以通过联立解析式计算求解，也可以利用函数的对称性快速得出答案，灵活运用对称性可以大幅提升解题速度，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
3. 若$ab ＜ 0$,则函数$y = ax$与$y = \frac{b}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象大致是(
B
)答案
3. B
解析
【分析】
首先根据已知条件$ab＜0$可知$a$和$b$符号相反，因此需要分两种情况讨论：①$a＞0，b＜0$；②$a＜0，b＞0$。再分别结合正比例函数$y=ax$的图象性质（过原点，$a＞0$过一三象限，$a＜0$过二四象限）、反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象性质（$b＞0$过一三象限，$b＜0$过二四象限），逐一比对选项，同时注意正比例函数图象必过原点，可直接排除不符合的选项。
【解析】
已知$ab＜0$，说明$a、b$异号，分两种情况分析：
1. 当$a＞0，b＜0$时：
正比例函数$y=ax$的图象过原点，且经过第一、三象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第二、四象限，无符合的选项。
2. 当$a＜0，b＞0$时：
正比例函数$y=ax$的图象过原点，且经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第一、三象限，对应选项B。
另外选项C中直线不过原点，不符合正比例函数$y=ax$的图象特征，可直接排除。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；有理数乘法符号判定
【点评】
本题考查正比例函数和反比例函数的图象与系数符号的关系，解题时运用分类讨论思想，结合两类函数的图象性质逐一判断即可，同时注意正比例函数图象必过原点，可帮助快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件$ab＜0$可知$a$和$b$符号相反，因此需要分两种情况讨论：①$a＞0，b＜0$；②$a＜0，b＞0$。再分别结合正比例函数$y=ax$的图象性质（过原点，$a＞0$过一三象限，$a＜0$过二四象限）、反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象性质（$b＞0$过一三象限，$b＜0$过二四象限），逐一比对选项，同时注意正比例函数图象必过原点，可直接排除不符合的选项。
【解析】
已知$ab＜0$，说明$a、b$异号，分两种情况分析：
1. 当$a＞0，b＜0$时：
正比例函数$y=ax$的图象过原点，且经过第一、三象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第二、四象限，无符合的选项。
2. 当$a＜0，b＞0$时：
正比例函数$y=ax$的图象过原点，且经过第二、四象限；
反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第一、三象限，对应选项B。
另外选项C中直线不过原点，不符合正比例函数$y=ax$的图象特征，可直接排除。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；有理数乘法符号判定
【点评】
本题考查正比例函数和反比例函数的图象与系数符号的关系，解题时运用分类讨论思想，结合两类函数的图象性质逐一判断即可，同时注意正比例函数图象必过原点，可帮助快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
