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1. 比较正比例函数和反比例函数的性质. 
答案
正比例函数$y=kx(k≠0)$：
1. 图象：过原点的直线；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 图象：双曲线，与坐标轴无交点；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
1. 图象：过原点的直线；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 图象：双曲线，与坐标轴无交点；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
要完成两类函数的性质对比，可按照表格给出的维度逐一梳理：首先分别回忆正比例函数和反比例函数的标准解析式，其次明确两类函数的图象形状，再分$k＞0$和$k＜0$两种情况梳理图象所在的象限，最后对比两者的增减性规律，注意反比例函数的增减性有“在每个象限内”的适用前提，避免与正比例函数的增减性混淆。
【解析】
我们分项目梳理两类函数的性质：
1. 解析式：
正比例函数的标准形式为$y=kx$，其中$k$为常数且$k≠0$；
反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数且$k≠0$，也可变形为$xy=k$或$y=kx^{-1}$的形式。
2. 图象：
正比例函数的图象是过原点$(0,0)$的一条直线；
反比例函数的图象是双曲线，与$x$轴、$y$轴都没有交点。
3. 位置：
对于正比例函数：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
对于反比例函数：当$k＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。
4. 增减性：
对于正比例函数：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
对于反比例函数：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
正比例函数$y=kx(k≠0)$：
1. 图象：过原点的直线；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 图象：双曲线，与坐标轴无交点；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，函数增减性判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分正比例函数和反比例函数的图象、象限分布及增减性的异同，尤其要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不可忽略该前提直接判断整体增减变化，这类基础性质是解决后续函数综合题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要完成两类函数的性质对比，可按照表格给出的维度逐一梳理：首先分别回忆正比例函数和反比例函数的标准解析式，其次明确两类函数的图象形状，再分$k＞0$和$k＜0$两种情况梳理图象所在的象限，最后对比两者的增减性规律，注意反比例函数的增减性有“在每个象限内”的适用前提，避免与正比例函数的增减性混淆。
【解析】
我们分项目梳理两类函数的性质：
1. 解析式：
正比例函数的标准形式为$y=kx$，其中$k$为常数且$k≠0$；
反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k$为常数且$k≠0$，也可变形为$xy=k$或$y=kx^{-1}$的形式。
2. 图象：
正比例函数的图象是过原点$(0,0)$的一条直线；
反比例函数的图象是双曲线，与$x$轴、$y$轴都没有交点。
3. 位置：
对于正比例函数：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限。
对于反比例函数：当$k＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。
4. 增减性：
对于正比例函数：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
对于反比例函数：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
正比例函数$y=kx(k≠0)$：
1. 图象：过原点的直线；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$：
1. 图象：双曲线，与坐标轴无交点；
2. 象限性质：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限；
3. 增减性：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，函数增减性判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分正比例函数和反比例函数的图象、象限分布及增减性的异同，尤其要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，不可忽略该前提直接判断整体增减变化，这类基础性质是解决后续函数综合题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在函数$y=\frac{k}{x}$图象上任取一点$P$,过点$P$分别作$x$轴,$y$轴的垂线,垂足为点$M,N$.用$k$表示矩形$PMON$的面积$S$,则$S=$
由此可知,反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$|k|$的几何意义是什么? 若在图象上任取一点$Q$,过$Q$点向一个坐标轴(比如$y$轴)作垂线,垂足为点$H$,连接$OQ$,那么$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=$
$|k|$
.由此可知,反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$|k|$的几何意义是什么? 若在图象上任取一点$Q$,过$Q$点向一个坐标轴(比如$y$轴)作垂线,垂足为点$H$,连接$OQ$,那么$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=$
$\frac{|k|}{2}$
.答案
2. $S=|k|$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$|k|$的几何意义是：过反比例函数图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于$|k|$；$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=\frac{|k|}{2}$
解析
【分析】
解题时可先设出反比例函数图象上点的坐标，结合反比例函数解析式得到横纵坐标的乘积关系，再结合矩形、直角三角形的面积公式推导即可：①先设点P的坐标为(x,y)，根据点在反比例函数图象上可得xy=k，矩形PMON的邻边长分别为点P横、纵坐标的绝对值，代入面积公式即可得到S与k的关系；②根据矩形面积的推导结果直接总结|k|的几何意义即可；③直角三角形QHO的两条直角边长分别为点Q横、纵坐标的绝对值，面积为对应矩形面积的一半，据此即可求出三角形面积。
【解析】
设反比例函数图象上点P的坐标为$(x,y)$，
∵点$P$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$P(x,y)$代入解析式得：$xy=k$，
矩形$PMON$的两条邻边长度分别为$|x|$（PN的长度）、$|y|$（PM的长度），
∴矩形面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
根据上述推导可得$|k|$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于$|k|$。
设点$Q$的坐标为$(a,b)$，同理可得$ab=k$，
$Rt△ QHO$的两条直角边长度分别为$|a|$（Q点横坐标的绝对值）、$|b|$（Q点纵坐标的绝对值），
∴$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=\frac{1}{2}×|a|×|b|=\frac{1}{2}|ab|=\frac{|k|}{2}$。
【答案】
$S=|k|$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$|k|$的几何意义是：过反比例函数图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于$|k|$；$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=\frac{|k|}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数|k|的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对|k|几何意义的理解与推导，该性质是解决反比例函数相关面积问题的核心工具，需熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9
解题时可先设出反比例函数图象上点的坐标，结合反比例函数解析式得到横纵坐标的乘积关系，再结合矩形、直角三角形的面积公式推导即可：①先设点P的坐标为(x,y)，根据点在反比例函数图象上可得xy=k，矩形PMON的邻边长分别为点P横、纵坐标的绝对值，代入面积公式即可得到S与k的关系；②根据矩形面积的推导结果直接总结|k|的几何意义即可；③直角三角形QHO的两条直角边长分别为点Q横、纵坐标的绝对值，面积为对应矩形面积的一半，据此即可求出三角形面积。
【解析】
设反比例函数图象上点P的坐标为$(x,y)$，
∵点$P$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$P(x,y)$代入解析式得：$xy=k$，
矩形$PMON$的两条邻边长度分别为$|x|$（PN的长度）、$|y|$（PM的长度），
∴矩形面积$S=|x|·|y|=|xy|=|k|$。
根据上述推导可得$|k|$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于$|k|$。
设点$Q$的坐标为$(a,b)$，同理可得$ab=k$，
$Rt△ QHO$的两条直角边长度分别为$|a|$（Q点横坐标的绝对值）、$|b|$（Q点纵坐标的绝对值），
∴$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=\frac{1}{2}×|a|×|b|=\frac{1}{2}|ab|=\frac{|k|}{2}$。
【答案】
$S=|k|$；反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$|k|$的几何意义是：过反比例函数图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于$|k|$；$S_{\mathrm{Rt}△ QHO}=\frac{|k|}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数|k|的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对|k|几何意义的理解与推导，该性质是解决反比例函数相关面积问题的核心工具，需熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.9
已知反比例函数的图象经过点$A(-2,4)$。
（1）这个函数的图象位于哪些象限？
$y$随$x$的增大如何变化？
（2）点$B(1, - 8),C(2\dfrac{1}{2},3\dfrac{1}{5}),D(2,4)$
是否在这个函数图象上？
（1）这个函数的图象位于哪些象限？
$y$随$x$的增大如何变化？
（2）点$B(1, - 8),C(2\dfrac{1}{2},3\dfrac{1}{5}),D(2,4)$
是否在这个函数图象上？
答案
（1）设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将$A(-2,4)$代入得$k=-2×4=-8＜0$，所以这个函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
（2）该函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$：
将$x=1$代入得$y=-8$，所以点B在这个函数图象上；
将$x=2\frac{1}{2}$代入得$y=-\frac{16}{5}=-3\frac{1}{5}≠3\frac{1}{5}$，所以点C不在这个函数图象上；
将$x=2$代入得$y=-4≠4$，所以点D不在这个函数图象上。
（2）该函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$：
将$x=1$代入得$y=-8$，所以点B在这个函数图象上；
将$x=2\frac{1}{2}$代入得$y=-\frac{16}{5}=-3\frac{1}{5}≠3\frac{1}{5}$，所以点C不在这个函数图象上；
将$x=2$代入得$y=-4≠4$，所以点D不在这个函数图象上。
解析
【分析】
解题的核心是先求出反比例函数的比例系数$k$，反比例函数的图象位置、增减性均由$k$的符号决定，判断点是否在函数图象上也需要先确定函数解析式。第(1)问：先用待定系数法，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入已知点$A$的坐标求出$k$，再根据$k$的正负判断图象所在象限和增减性；第(2)问：判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，若计算得到的$y$值与该点纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
【解析】
（1）设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(-2,4)$代入解析式得：$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2×4=-8$，
因为$k=-8＜0$，所以这个反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
（2）由(1)得该反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$：
将$x=1$代入解析式得$y=-\frac{8}{1}=-8$，与点$B$的纵坐标相等，故点$B$在这个函数图象上；
将$x=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$代入解析式得$y=-\frac{8}{\frac{5}{2}}=-\frac{16}{5}=-3\frac{1}{5}$，与点$C$的纵坐标$3\frac{1}{5}$不相等，故点$C$不在这个函数图象上；
将$x=2$代入解析式得$y=-\frac{8}{2}=-4$，与点$D$的纵坐标$4$不相等，故点$D$不在这个函数图象上。
【答案】
（1）这个函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
（2）点$B$在这个函数图象上，点$C$、$D$不在这个函数图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，既考查了反比例函数核心性质的应用，也考查了点与函数图象位置关系的判断方法，解题关键是准确求出比例系数$k$，熟练掌握反比例函数的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先求出反比例函数的比例系数$k$，反比例函数的图象位置、增减性均由$k$的符号决定，判断点是否在函数图象上也需要先确定函数解析式。第(1)问：先用待定系数法，设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，代入已知点$A$的坐标求出$k$，再根据$k$的正负判断图象所在象限和增减性；第(2)问：判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，若计算得到的$y$值与该点纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
【解析】
（1）设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$A(-2,4)$代入解析式得：$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-2×4=-8$，
因为$k=-8＜0$，所以这个反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
（2）由(1)得该反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$：
将$x=1$代入解析式得$y=-\frac{8}{1}=-8$，与点$B$的纵坐标相等，故点$B$在这个函数图象上；
将$x=2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$代入解析式得$y=-\frac{8}{\frac{5}{2}}=-\frac{16}{5}=-3\frac{1}{5}$，与点$C$的纵坐标$3\frac{1}{5}$不相等，故点$C$不在这个函数图象上；
将$x=2$代入解析式得$y=-\frac{8}{2}=-4$，与点$D$的纵坐标$4$不相等，故点$D$不在这个函数图象上。
【答案】
（1）这个函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
（2）点$B$在这个函数图象上，点$C$、$D$不在这个函数图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，既考查了反比例函数核心性质的应用，也考查了点与函数图象位置关系的判断方法，解题关键是准确求出比例系数$k$，熟练掌握反比例函数的相关性质。
【难度系数】
0.8
1. 右图是反比例函数$y=\frac{m - 5}{x}$的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$，如果$x_1 ＞ x_2$，那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系？
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$，如果$x_1 ＞ x_2$，那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系？
答案
（1）由图可知函数图象的一支在第一象限，所以另一支位于第三象限；因为反比例函数图象分布在第一、三象限，所以$m-5＞0$，解得$m＞5$；
（2）因为$m-5＞0$，在函数图象的同一支上，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$。
（2）因为$m-5＞0$，在函数图象的同一支上，$y$随$x$的增大而减小，所以当$x_1＞x_2$时，$y_1＜y_2$。
解析
【分析】
解决本题需先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的核心性质：①图象为双曲线，$k＞0$时两支分别在第一、三象限，$k＜0$时两支分别在第二、四象限；②$k＞0$时，同一象限内$y$随$x$的增大而减小，$k＜0$时同一象限内$y$随$x$的增大而增大。
解题时先根据给出的图象在第一象限，判断比例系数的符号，即可求解第一问；再结合比例系数的符号判断函数增减性，即可比较第二问中$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
（1）由图可知函数图象的一支在第一象限，根据反比例函数的图象特征，另一支位于第三象限；
因为反比例函数图象分布在第一、三象限，因此比例系数大于0，即$m-5＞0$，解得$m＞5$。
（2）由（1）得$m-5＞0$，因此在这个函数图象的同一支上，$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
（1）图象的另一支位于第三象限，常数$m$的取值范围是$m＞5$；
（2）$y_1＜y_2$。
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题关键是掌握反比例函数比例系数$k$的符号与图象位置、函数增减性的对应关系，熟练记忆性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决本题需先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的核心性质：①图象为双曲线，$k＞0$时两支分别在第一、三象限，$k＜0$时两支分别在第二、四象限；②$k＞0$时，同一象限内$y$随$x$的增大而减小，$k＜0$时同一象限内$y$随$x$的增大而增大。
解题时先根据给出的图象在第一象限，判断比例系数的符号，即可求解第一问；再结合比例系数的符号判断函数增减性，即可比较第二问中$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
（1）由图可知函数图象的一支在第一象限，根据反比例函数的图象特征，另一支位于第三象限；
因为反比例函数图象分布在第一、三象限，因此比例系数大于0，即$m-5＞0$，解得$m＞5$。
（2）由（1）得$m-5＞0$，因此在这个函数图象的同一支上，$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2$，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
（1）图象的另一支位于第三象限，常数$m$的取值范围是$m＞5$；
（2）$y_1＜y_2$。
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题关键是掌握反比例函数比例系数$k$的符号与图象位置、函数增减性的对应关系，熟练记忆性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
