【例 1】如图，$\odot O$内切于$△ ABC$，切点分别是$E,F,G$.若$∠ C = 90°$，$AC = 6$，$BC = 8$，求$\odot O$的半径.

|思路分析|
思考:要求$\odot O$的半径,应在图形中先画出$\odot O$的半径,那么构造哪条半径便于运算?为什么?
解:
【规律方法】
直角三角形内切圆半径的求解方法
已知直角三角形的直角边为$a,b$,斜边为$c$,直角三角形的内切圆半径为$r$.
(1)根据切线长定理推得$a - r + b - r = c$,所以$r=\frac{a + b - c}{2}$.
(2)根据三角形面积的不同表示方法,得$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a + b + c)r$,所以$r=\frac{ab}{a + b + c}$.
|变式训练|

连接OE,OF，因为可构造正方形OECF，利用正方形的性质把⊙O的半径转移到△ABC的边上。由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，代入直角三角形内切圆半径公式可得$r=\frac{6+8-10}{2}=2$，即$\odot O$的半径为2。

1.如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$CA=6\ \mathrm{cm}$。
(1)求$AF$的长.
(2)已知$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$，求$OD$的长.

1. (1) AF 的长为 2 cm.
(2) OD 的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm.

【例2】如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，求∠AOB的度数.
解:

∠AOB=140°.