7. 计算$(-\dfrac{x^2}{y})^2 · (-\dfrac{y^2}{x})^3 ÷ (-\dfrac{y}{x})^4$的结果是（）

A.$x^5$
B.$-x^5$
C.$\dfrac{y^8}{x^3}$
D.$-\dfrac{y^8}{x^3}$

7. B

【分析】
本题是分式的乘方、乘除混合运算题，解题思路如下：第一步先按照运算顺序，先计算每个分式的乘方，计算时注意负数的幂的符号规律：偶次幂为正，奇次幂为负，同时分式乘方要把分子、分母分别乘方；第二步将除法运算转化为乘法运算；第三步按照分式乘法法则计算，通过约分化简得到最终结果，过程中要注意幂的运算规则的正确使用。
【解析】
按照运算顺序先计算乘方：
1. 计算$(-\dfrac{x^2}{y})^2$：平方为偶次幂，结果为正，分子分母分别乘方得$\dfrac{(x^2)^2}{y^2}=\dfrac{x^4}{y^2}$；
2. 计算$(-\dfrac{y^2}{x})^3$：立方为奇次幂，结果为负，分子分母分别乘方得$-\dfrac{(y^2)^3}{x^3}=-\dfrac{y^6}{x^3}$；
3. 计算$(-\dfrac{y}{x})^4$：四次方为偶次幂，结果为正，分子分母分别乘方得$\dfrac{y^4}{x^4}$；
将原式改写为乘除运算，再把除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{x^4}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) ÷ \dfrac{y^4}{x^4}\\&=\dfrac{x^4}{y^2} · (-\dfrac{y^6}{x^3}) · \dfrac{x^4}{y^4}\\\end{aligned}$
先确定符号：仅有1个负因数，结果为负，再计算同底数幂的乘除：
$x$的次数：$4 - 3 + 4 = 5$，$y$的次数：$6 - 2 - 4 = 0$（即$y$的部分约分为1）
所以化简结果为$-x^5$
【答案】
B
【知识点】
分式的乘方运算，分式的乘除运算，幂的运算性质
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题的关键是牢记运算顺序，准确判断负数幂的符号，熟练运用同底数幂的运算法则进行约分计算，避免因符号判断错误或幂的次数计算错误失分。
【难度系数】
0.7

8. 计算：$\frac{4x^2 - 4xy + y^2}{2x - y} ÷ (4x^2 - y^2) · \frac{1}{2x + y}.$

8. 解:原式$=\frac{(2x-y)^2}{2x-y} · \frac{1}{(2x-y)(2x+y)} · \frac{1}{2x+y} =\frac{1}{(2x+y)^2}$.

【分析】
这是分式乘除混合运算题，解题思路如下：①先明确运算顺序：乘除是同级运算，需从左到右依次计算，先把除法转化为乘法（除以一个非零整式等于乘它的倒数）；②对分子分母中的多项式进行因式分解，本题用到完全平方公式和平方差公式；③约去分子分母的公因式，最后整理得到最简结果即可。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解：
原式$=\frac{(2x-y)^2}{2x-y} · \frac{1}{(2x-y)(2x+y)} · \frac{1}{2x+y}$
约去分子分母的公因式$2x-y$（隐含条件$2x-y≠0，2x+y≠0$），剩余部分分子相乘为1，分母为$(2x+y)(2x+y)$，因此：
$=\frac{1}{(2x+y)^2}$
【答案】
$\frac{1}{(2x+y)^2}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和乘法公式的应用，解题时要注意不要随意调换运算顺序，因式分解正确是后续约分准确的前提。
【难度系数】
0.7

9.【教材 P151 习题 T5(2)变式】先化简,再求值.
$[\dfrac{xy}{(x-y)^2}]^2 · (\dfrac{x-y}{xy^2})^2 ÷ (\dfrac{1}{xy-y^2})^3$，其中$(x+2)^2 + |y-4|=0$

9. 解:原式$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} · \frac{y^3 (x-y)^3}{1} =y(x-y)=xy-y^2$. $\because (x+2)^2 + |y-4|=0, \therefore x+2=0, y-4=0.$ 解得 $x=-2,y=4.$ 当 $x=-2,y=4$ 时,原式$=xy-y^2=-2×4-4^2=-24.$

【分析】
解题分为两步：第一步化简分式，先依据分式乘方法则，将每个分式的分子、分母分别乘方，再把除法运算转化为乘法运算，同时对$xy-y^2$提公因式因式分解，最后通过约分得到最简整式；第二步求$x$、$y$的值，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，则两个非负数各自为0，列方程求出$x$、$y$的取值，代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} ÷ (\frac{1}{xy-y^2})^3$
$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} ÷ ( \frac{1}{y(x-y)} )^3$
$=\frac{x^2 y^2}{(x-y)^4} · \frac{(x-y)^2}{x^2 y^4} · y^3(x-y)^3$
约分后化简得：
原式$=y(x-y)=xy-y^2$
$\because (x+2)^2 + |y-4|=0$，且$(x+2)^2≥0$，$|y-4|≥0$
$\therefore x+2=0$，$y-4=0$
解得$x=-2$，$y=4$
将$x=-2$，$y=4$代入最简式得：
原式$=xy-y^2=-2×4-4^2=-8-16=-24$
【答案】
$-24$
【知识点】
分式的混合运算，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题是分式运算与非负性的综合题，既考查了分式乘方、乘除的运算法则，也考查了偶次方、绝对值非负性的应用，计算时要注意约分的正确性，避免因因式分解错误、符号失误丢分。
【难度系数】
0.7

10.【新中考·解题方法型阅读理解题】阅读下面的解题过程：
已知：$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$知 $x≠0$，所以$\frac{x^2 + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$. 所以$\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$，故$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知：$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.

10. 解:由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} =\frac{1}{5}$知 $x≠0, \therefore \frac{x^2 - 3x + 1}{x} =5.$ 即 $x-3+\frac{1}{x}=5.$ $\therefore x+\frac{1}{x}=8.$ $\therefore \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} =x^2 +1 +\frac{1}{x^2} =(x+\frac{1}{x})^2 -1 =8^2 -1=63,$ $\therefore \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} =\frac{1}{63}.$

【分析】
本题可参考题干给出的“倒数法”解题，思路如下：首先根据已知分式的取值判断x≠0，将已知等式左右取倒数，变形求出$x+\frac{1}{x}$的值；再将待求分式也取倒数，拆分后转化为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，利用完全平方公式将其转化为含$x+\frac{1}{x}$的式子，代入已求数值算出倒数的结果；最后将倒数结果再次取倒数，即可得到待求分式的值。
【解析】
解：由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$知$x≠0$，$\therefore \frac{x^2 - 3x + 1}{x} =5$，
即$x-3+\frac{1}{x}=5$，$\therefore x+\frac{1}{x}=8$。
$\therefore \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} =x^2 +1 +\frac{1}{x^2} =(x+\frac{1}{x})^2 - 2 +1 =(x+\frac{1}{x})^2 -1 =8^2 -1=63$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} =\frac{1}{63}$。
【答案】
$\frac{1}{63}$
【知识点】
倒数的性质，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题属于方法应用型阅读理解题，核心是掌握“倒数法”的适用场景：当分式分子次数低于分母次数时，通过取倒数拆分分式，结合完全平方公式可大幅简化计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7

1. $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 2;$

证明：
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\frac{1}{x}$代入得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
移项可得：
$(x+\frac{1}{x})^2 - 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}$
再由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\frac{1}{x}$代入得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$
两边同时加2可得：
$(x-\frac{1}{x})^2 + 2 = x^2 + \frac{1}{x^2}$
因此$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = (x-\frac{1}{x})^2 + 2$，等式成立。

【分析】
要证明该恒等式成立，可从右侧含完全平方的式子入手推导。首先观察到式中出现$(x+\frac{1}{x})^2$和$(x-\frac{1}{x})^2$，可联系完全平方公式解题。由于$x$与$\frac{1}{x}$的乘积为1，将两个完全平方式展开后中间项为常数，只需通过移项调整常数项，即可推出左侧的$x^2+\frac{1}{x^2}$，验证等式成立。
【解析】
证明：
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\frac{1}{x}$代入得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$
再由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\frac{1}{x}$代入得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$
两边同时加2可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2$
因此$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$，等式成立。
【答案】
$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$，等式成立。
【知识点】
完全平方公式，代数式恒等变形，分式运算
【点评】
本题是完全平方公式的经典变形应用，属于分式化简、代数式求值类题型的常用基础结论，熟练掌握该恒等式可有效提升相关题型的解题速度与正确率。
【难度系数】
0.8

1.若$x+\frac{1}{x}=3$，求下列各式的值：
(1)$x^2+\frac{1}{x^2}=$；
(2)$x^4+\frac{1}{x^4}=$；
(3)$x-\frac{1}{x}=$。

1. (1)7 (2)47 (3)$\pm\sqrt{5}$

【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解，已知$x+\frac{1}{x}=3$，观察所求代数式与已知式的关系：(1) $x^2+\frac{1}{x^2}$可由已知式两边平方后整理得到；(2) $x^4+\frac{1}{x^4}$可将第(1)问的结果再次平方后整理得到；(3) 先求$(x-\frac{1}{x})^2$的值，再根据平方根的定义得到$x-\frac{1}{x}$的值，注意开平方结果有正负两个。
【解析】
(1) 已知$x+\frac{1}{x}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(x+\frac{1}{x})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
化简得：$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$
(2) 将(1)中得到的$x^2+\frac{1}{x^2}=7$两边同时平方，得：
$(x^2+\frac{1}{x^2})^2 = 7^2$
展开左边：$x^4 + 2· x^2· \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 49$
化简得：$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 49$
移项得：$x^4 + \frac{1}{x^4} = 49 - 2 = 47$
(3) 先计算$(x-\frac{1}{x})^2$，展开得：
$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$
将$x^2+\frac{1}{x^2}=7$代入，得：$(x-\frac{1}{x})^2 = 7 - 2 = 5$
根据平方根的定义，平方等于5的数为$\pm\sqrt{5}$，因此$x-\frac{1}{x} = \pm\sqrt{5}$
【答案】
(1)7；(2)47；(3)$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值；平方根的性质
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，解题的关键是找到已知式与所求式之间的联系，注意求一个数的平方根时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7

2. 已知$x^2 -4x -1=0$，求$x^4 + \frac{1}{x^4}$的值.

2. 解:$\because x^2 -4x -1=0, \therefore x^2 -1=4x. \therefore x-\frac{1}{x}=4.$ $\therefore (x-\frac{1}{x})^2=4^2. \therefore x^2 +\frac{1}{x^2}=18. \therefore (x^2 +\frac{1}{x^2})^2=18^2. \therefore x^4 +\frac{1}{x^4}=322.$

【分析】
解题时先观察已知方程和所求代数式的特征：已知是关于x的二次方程，所求为x的四次方与其倒数的四次方的和，首先可判断x≠0（若x=0，代入原方程左边为-1≠0，不成立），因此可将原方程两边同时除以x，得到x与$\frac{1}{x}$的差的形式，再利用完全平方公式的变形，先求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值，再次对其平方即可求出目标式的值，核心是通过完全平方公式的恒等变形逐步升次得到目标代数式。
【解析】
解：$\because x^2 -4x -1=0$，
$\therefore x≠0$，将方程两边同时除以x得$x - 4 - \frac{1}{x}=0$，整理得$x-\frac{1}{x}=4$，
对等式两边平方得：$(x-\frac{1}{x})^2=4^2$，
展开得$x^2-2+\frac{1}{x^2}=16$，$\therefore x^2 +\frac{1}{x^2}=18$，
再对该等式两边平方得：$(x^2 +\frac{1}{x^2})^2=18^2$，
展开得$x^4+2+\frac{1}{x^4}=324$，$\therefore x^4 + \frac{1}{x^4}=322$。
【答案】
322
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题是代数式变形求值的典型题型，解题关键是结合已知方程和目标式的特征，先变形得到$x-\frac{1}{x}$的值，再两次运用完全平方公式逐步升次求解，解题时要注意先判断x≠0的隐含条件，避免随意除以x出错。
【难度系数】
0.6