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问题1:怎样画函数$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$的图象？
(1)用配方法将函数$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$写成$y=a(x-h)^2 +k$的形式.
(2)确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)利用图象的对称性列表:
描点并连线:
观察图象:在对称轴的左侧,抛物线从左到右
问题2:抛物线$y=ax^2 +bx +c$的顶点坐标及对称轴.
阅读以下内容,并回答问题:
$y=ax^2 +bx +c$
$=a(x^2 +\frac{b}{a}x +\frac{c}{a})$ ①
$=a[x^2 +\frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2 +\frac{c}{a}]$ ②
$=a[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac -b^2}{4a^2}]$ ③
$=a(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac -b^2}{4a}$.
(1)由①到②所用的数学方法是
(2)由②到③运用了
(3)由$y=ax^2 +bx +c$转化为$y=a(x-h)^2 +k$的形式后,抛物线$y=ax^2 +bx +c$的顶点坐标为
【归纳总结】二次函数$y=ax^2 +bx +c$的图象和性质.
填表:
(1)用配方法将函数$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21$写成$y=a(x-h)^2 +k$的形式.
(2)确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)利用图象的对称性列表:
描点并连线:
观察图象:在对称轴的左侧,抛物线从左到右
下降
(填“上升”或“下降”),即当$x＜6$时,$y$随$x$的增大而减小
.在对称轴的右侧呢?问题2:抛物线$y=ax^2 +bx +c$的顶点坐标及对称轴.
阅读以下内容,并回答问题:
$y=ax^2 +bx +c$
$=a(x^2 +\frac{b}{a}x +\frac{c}{a})$ ①
$=a[x^2 +\frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 -(\frac{b}{2a})^2 +\frac{c}{a}]$ ②
$=a[(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac -b^2}{4a^2}]$ ③
$=a(x+\frac{b}{2a})^2 +\frac{4ac -b^2}{4a}$.
(1)由①到②所用的数学方法是
配方法
.(2)由②到③运用了
完全平方
公式.(3)由$y=ax^2 +bx +c$转化为$y=a(x-h)^2 +k$的形式后,抛物线$y=ax^2 +bx +c$的顶点坐标为
$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$
,对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$
.【归纳总结】二次函数$y=ax^2 +bx +c$的图象和性质.
填表:
答案
问题1：(1) $y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$；(2) 开口向上，对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,3)$；(3) 对称轴左侧抛物线从左到右下降，$x＜6$时$y$随$x$增大而减小；对称轴右侧抛物线从左到右上升，$x＞6$时$y$随$x$增大而增大。
问题2：(1) 配方法；(2) 完全平方；(3) 顶点坐标$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$
问题2：(1) 配方法；(2) 完全平方；(3) 顶点坐标$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$
解析
【分析】
解决本题需要先掌握二次函数配方法的步骤，再结合二次函数顶点式的性质分析图象特征，最后推导一般式的顶点坐标与对称轴：①对于具体的二次函数，先提取二次项系数，再加上并减去一次项系数一半的平方，即可化为顶点式；②根据顶点式中a的正负判断开口方向，直接读出对称轴与顶点坐标，再结合开口方向判断函数的增减性；③推导一般式的顶点式时，明确每一步变形用到的数学方法，进而总结出一般式对应的顶点坐标与对称轴。
【解析】
问题1
(1) 用配方法变形：
先提取二次项系数$\frac{1}{2}$：
$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21=\frac{1}{2}(x^2 -12x)+21$
括号内凑完全平方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{12}{2})^2=36$：
$y=\frac{1}{2}[(x^2 -12x +36)-36]+21$
整理得：
$y=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$
(2) 顶点式中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上；
顶点式为$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=6,k=3$，因此对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,3)$。
(3) 由于抛物线开口向上，因此在对称轴左侧（$x＜6$），抛物线从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞6$），抛物线从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大。
问题2
(1) 步骤①到②中，通过加上并减去一次项系数一半的平方凑完全平方式，所用的数学方法是配方法。
(2) 步骤②到③中，将$x^2 +\frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2$变形为$(x+\frac{b}{2a})^2$，运用了完全平方公式。
(3) 化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$后，$h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
【答案】
问题1：(1) $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3}$；(2) 开口向上，对称轴为直线$\boldsymbol{x=6}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(6,3)}$；(3) 下降，减小；对称轴右侧抛物线从左到右上升，$x＞6$时$y$随$x$增大而增大。
问题2：(1) $\boldsymbol{配方法}$；(2) $\boldsymbol{完全平方}$；(3) 顶点坐标$\boldsymbol{(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=-\frac{b}{2a}}$
【知识点】
二次函数配方法，二次函数的图象与性质，完全平方公式
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，重点考查配方法的应用以及二次函数性质与解析式的对应关系，熟练掌握相关内容可以为后续解决二次函数的综合应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先掌握二次函数配方法的步骤，再结合二次函数顶点式的性质分析图象特征，最后推导一般式的顶点坐标与对称轴：①对于具体的二次函数，先提取二次项系数，再加上并减去一次项系数一半的平方，即可化为顶点式；②根据顶点式中a的正负判断开口方向，直接读出对称轴与顶点坐标，再结合开口方向判断函数的增减性；③推导一般式的顶点式时，明确每一步变形用到的数学方法，进而总结出一般式对应的顶点坐标与对称轴。
【解析】
问题1
(1) 用配方法变形：
先提取二次项系数$\frac{1}{2}$：
$y=\frac{1}{2}x^2 -6x +21=\frac{1}{2}(x^2 -12x)+21$
括号内凑完全平方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{12}{2})^2=36$：
$y=\frac{1}{2}[(x^2 -12x +36)-36]+21$
整理得：
$y=\frac{1}{2}(x-6)^2 - 18 +21=\frac{1}{2}(x-6)^2+3$
(2) 顶点式中$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上；
顶点式为$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=6,k=3$，因此对称轴为直线$x=6$，顶点坐标为$(6,3)$。
(3) 由于抛物线开口向上，因此在对称轴左侧（$x＜6$），抛物线从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞6$），抛物线从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大。
问题2
(1) 步骤①到②中，通过加上并减去一次项系数一半的平方凑完全平方式，所用的数学方法是配方法。
(2) 步骤②到③中，将$x^2 +\frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2$变形为$(x+\frac{b}{2a})^2$，运用了完全平方公式。
(3) 化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$后，$h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
【答案】
问题1：(1) $\boldsymbol{y=\frac{1}{2}(x-6)^2+3}$；(2) 开口向上，对称轴为直线$\boldsymbol{x=6}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(6,3)}$；(3) 下降，减小；对称轴右侧抛物线从左到右上升，$x＞6$时$y$随$x$增大而增大。
问题2：(1) $\boldsymbol{配方法}$；(2) $\boldsymbol{完全平方}$；(3) 顶点坐标$\boldsymbol{(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=-\frac{b}{2a}}$
【知识点】
二次函数配方法，二次函数的图象与性质，完全平方公式
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，重点考查配方法的应用以及二次函数性质与解析式的对应关系，熟练掌握相关内容可以为后续解决二次函数的综合应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
| a 的取值 | 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a＞0$ |
| | | | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而
| $a＜0$ | | | | | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a＞0$ |
| | | | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小
；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大
| 当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取最小
值，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
|| $a＜0$ | | | | | 当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而
增大
；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小
| 当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取最大
值，最值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
|答案
a＞0：开口向上，顶点坐标$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$，增减性：$x＜-\frac{b}{2a}$时$y$随$x$增大而减小，$x＞-\frac{b}{2a}$时$y$随$x$增大而增大，最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$；
a＜0：开口向下，顶点坐标$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$，增减性：$x＜-\frac{b}{2a}$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-\frac{b}{2a}$时$y$随$x$增大而减小，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
a＜0：开口向下，顶点坐标$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴直线$x=-\frac{b}{2a}$，增减性：$x＜-\frac{b}{2a}$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-\frac{b}{2a}$时$y$随$x$增大而减小，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可结合图象记忆相关结论：1. 首先根据$a$的符号判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 顶点坐标、对称轴是将二次函数一般式配方得到的固定结论，可直接记忆；3. 增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧图象下降、右侧上升；开口向下时，对称轴左侧图象上升、右侧下降；4. 最值对应顶点的纵坐标，开口向上时顶点是最低点，取最小值，开口向下时顶点是最高点，取最大值。
【解析】
当$a＞0$时：
开口方向：向上；顶点坐标：$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$；对称轴：直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$；
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取最小值，最值为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$。
当$a＜0$时：
开口方向：向下；顶点坐标：$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$；对称轴：直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$；
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取最大值，最值为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$。
【答案】
$a＞0$：开口向上，顶点坐标$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，增减性依次为减小、增大，取最小值，最值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$：开口向下，顶点坐标$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，增减性依次为增大、减小，取最大值，最值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的识记类考查，属于基础题，建议结合图象用“数形结合”的方法记忆相关性质，避免混淆$a$取不同符号时的增减性和最值类型，熟练掌握这些性质是解决二次函数综合题的核心基础。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的基本性质，解题时可结合图象记忆相关结论：1. 首先根据$a$的符号判断开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 顶点坐标、对称轴是将二次函数一般式配方得到的固定结论，可直接记忆；3. 增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧图象下降、右侧上升；开口向下时，对称轴左侧图象上升、右侧下降；4. 最值对应顶点的纵坐标，开口向上时顶点是最低点，取最小值，开口向下时顶点是最高点，取最大值。
【解析】
当$a＞0$时：
开口方向：向上；顶点坐标：$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$；对称轴：直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$；
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取最小值，最值为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$。
当$a＜0$时：
开口方向：向下；顶点坐标：$\boldsymbol{(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})}$；对称轴：直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$；
增减性：当$x＜-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞-\dfrac{b}{2a}$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：当$x=-\dfrac{b}{2a}$时，$y$取最大值，最值为$\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}$。
【答案】
$a＞0$：开口向上，顶点坐标$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，增减性依次为减小、增大，取最小值，最值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$；
$a＜0$：开口向下，顶点坐标$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$，增减性依次为增大、减小，取最大值，最值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的识记类考查，属于基础题，建议结合图象用“数形结合”的方法记忆相关性质，避免混淆$a$取不同符号时的增减性和最值类型，熟练掌握这些性质是解决二次函数综合题的核心基础。
【难度系数】
0.8
