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例 已知二次函数$y=x^2+4x+5$.
(1)求该抛物线的顶点坐标、对称轴.
(2)当$x$取何值时,$y$随$x$的增大而减小?
(3)函数值$y$有最大值还是最小值?此时$x$的值为多少?
(4)当$-2≤ x≤ 1$时,求函数的最大值与最小值.
(5)求出经过点$(2,3)$和上述二次函数图象顶点的直线解析式.
(1)求该抛物线的顶点坐标、对称轴.
(2)当$x$取何值时,$y$随$x$的增大而减小?
(3)函数值$y$有最大值还是最小值?此时$x$的值为多少?
(4)当$-2≤ x≤ 1$时,求函数的最大值与最小值.
(5)求出经过点$(2,3)$和上述二次函数图象顶点的直线解析式.
答案
(1) 顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴为直线$x=-2$；
(2) 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 函数值$y$有最小值，此时$x=-2$；
(4) 当$-2≤x≤1$时，最小值为1，最大值为10；
(5) 直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$
(2) 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 函数值$y$有最小值，此时$x=-2$；
(4) 当$-2≤x≤1$时，最小值为1，最大值为10；
(5) 直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$
解析
【分析】
本题围绕二次函数的基本性质展开考查，解题思路如下：1. 求顶点坐标和对称轴，可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，或直接使用顶点坐标公式计算；2. 判断增减性需先明确抛物线开口方向，结合对称轴即可确定y随x增大而减小的区间；3. 最值由开口方向决定，开口向上有最小值，开口向下有最大值，最值在顶点处取得；4. 给定区间内求最值，需先判断对称轴是否在区间内，再结合开口方向比较顶点和区间端点的函数值；5. 求直线解析式用待定系数法，代入两个已知点坐标解方程组即可。
【解析】
(1) 对二次函数$y=x^2+4x+5$进行配方：
$y=x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$
根据顶点式的性质，可得顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴为直线$x=-2$。
(2) 二次函数中$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，因此当$x＜-2$时，y随x的增大而减小。
(3) 因为抛物线开口向上，所以函数值y有最小值，最小值在顶点处取得，此时$x=-2$。
(4) 对称轴$x=-2$在区间$-2≤x≤1$内，且抛物线开口向上：
最小值为顶点处的函数值，即$x=-2$时，$y_{\mathrm{min}}=1$；
区间右端点$x=1$离对称轴更远，代入得$y=1^2+4×1+5=10$，因此$y_{\mathrm{max}}=10$。
(5) 设直线解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将顶点$(-2,1)$和点$(2,3)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}-2k+b=1\\2k+b=3\end{cases}$
两式相加得$2b=4$，解得$b=2$，将$b=2$代入$2k+b=3$得$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴为直线$x=-2$；
(2) 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 函数值$y$有最小值，此时$x=-2$；
(4) 当$-2≤x≤1$时，最小值为1，最大值为10；
(5) 直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合考查题，各个小问难度梯度合理，既考查了二次函数顶点、增减性、最值的核心知识点，也结合了一次函数解析式的求解，掌握二次函数顶点式的转化和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题围绕二次函数的基本性质展开考查，解题思路如下：1. 求顶点坐标和对称轴，可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，或直接使用顶点坐标公式计算；2. 判断增减性需先明确抛物线开口方向，结合对称轴即可确定y随x增大而减小的区间；3. 最值由开口方向决定，开口向上有最小值，开口向下有最大值，最值在顶点处取得；4. 给定区间内求最值，需先判断对称轴是否在区间内，再结合开口方向比较顶点和区间端点的函数值；5. 求直线解析式用待定系数法，代入两个已知点坐标解方程组即可。
【解析】
(1) 对二次函数$y=x^2+4x+5$进行配方：
$y=x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1$
根据顶点式的性质，可得顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴为直线$x=-2$。
(2) 二次函数中$a=1＞0$，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，因此当$x＜-2$时，y随x的增大而减小。
(3) 因为抛物线开口向上，所以函数值y有最小值，最小值在顶点处取得，此时$x=-2$。
(4) 对称轴$x=-2$在区间$-2≤x≤1$内，且抛物线开口向上：
最小值为顶点处的函数值，即$x=-2$时，$y_{\mathrm{min}}=1$；
区间右端点$x=1$离对称轴更远，代入得$y=1^2+4×1+5=10$，因此$y_{\mathrm{max}}=10$。
(5) 设直线解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将顶点$(-2,1)$和点$(2,3)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}-2k+b=1\\2k+b=3\end{cases}$
两式相加得$2b=4$，解得$b=2$，将$b=2$代入$2k+b=3$得$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(-2,1)$，对称轴为直线$x=-2$；
(2) 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(3) 函数值$y$有最小值，此时$x=-2$；
(4) 当$-2≤x≤1$时，最小值为1，最大值为10；
(5) 直线解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是二次函数基础性质的综合考查题，各个小问难度梯度合理，既考查了二次函数顶点、增减性、最值的核心知识点，也结合了一次函数解析式的求解，掌握二次函数顶点式的转化和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
1. 若抛物线 $ y=2x^2 -bx +3 $ 的对称轴是直线 $ x=1 $，则 $ b $ 的值为
4
。答案
1. 4
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记二次函数一般式的对称轴计算公式。首先回忆：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。解题时先从给定的抛物线解析式中确定二次项系数$a$和一次项系数，再结合题目给出的对称轴数值代入公式，列方程求解$b$即可，代入时要注意一次项的符号不要出错。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为：$x=-\frac{\mathrm{一次项系数}}{2×\mathrm{二次项系数}}$。
已知抛物线$y=2x^2 -bx +3$的对称轴是直线$x=1$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数为$-b$，代入公式得：
$1=-\frac{(-b)}{2×2}$
化简得：$\frac{b}{4}=1$
解得：$b=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数一般式性质
【点评】
本题是二次函数的基础考题，主要考查对对称轴公式的掌握程度，只要准确记忆公式、注意系数符号，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记二次函数一般式的对称轴计算公式。首先回忆：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。解题时先从给定的抛物线解析式中确定二次项系数$a$和一次项系数，再结合题目给出的对称轴数值代入公式，列方程求解$b$即可，代入时要注意一次项的符号不要出错。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为：$x=-\frac{\mathrm{一次项系数}}{2×\mathrm{二次项系数}}$。
已知抛物线$y=2x^2 -bx +3$的对称轴是直线$x=1$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数为$-b$，代入公式得：
$1=-\frac{(-b)}{2×2}$
化简得：$\frac{b}{4}=1$
解得：$b=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数一般式性质
【点评】
本题是二次函数的基础考题，主要考查对对称轴公式的掌握程度，只要准确记忆公式、注意系数符号，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线 $ y=-2x^2 -4x +8 $ 的开口向
下
，对称轴是直线$x=-1$
，顶点坐标是$(-1,10)$
。答案
2. 开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,10)$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$的相关性质：1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 求对称轴和顶点坐标可选用两种符合学段要求的方法：一是公式法，直接套用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$、顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算；二是配方法，将一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。先确定解析式中$a、b、c$的取值，再按上述规则依次计算即可。
【解析】
首先从抛物线解析式$y=-2x^2-4x+8$中可得：$a=-2$，$b=-4$，$c=8$。
1. 开口方向判断：
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下。
2. 求对称轴：
代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$x=-\frac{-4}{2×(-2)}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
也可通过配方法验证：将一般式整理为顶点式$y=-2(x+1)^2+10$，可直接得出对称轴为直线$x=-1$。
3. 求顶点坐标：
将$x=-1$代入原解析式，得$y=-2×(-1)^2-4×(-1)+8=-2+4+8=10$，结合对称轴横坐标为$-1$，得顶点坐标为$(-1,10)$。
也可通过顶点坐标公式或配方法得到相同结果。
【答案】
开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,10)$
【知识点】
二次函数开口判断；二次函数对称轴计算；二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题型，核心考查对二次函数一般式相关性质的掌握，熟练运用公式法或配方法即可快速求解，是学习二次函数相关内容必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$的相关性质：1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 求对称轴和顶点坐标可选用两种符合学段要求的方法：一是公式法，直接套用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$、顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算；二是配方法，将一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。先确定解析式中$a、b、c$的取值，再按上述规则依次计算即可。
【解析】
首先从抛物线解析式$y=-2x^2-4x+8$中可得：$a=-2$，$b=-4$，$c=8$。
1. 开口方向判断：
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下。
2. 求对称轴：
代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$x=-\frac{-4}{2×(-2)}=-1$，即对称轴为直线$x=-1$。
也可通过配方法验证：将一般式整理为顶点式$y=-2(x+1)^2+10$，可直接得出对称轴为直线$x=-1$。
3. 求顶点坐标：
将$x=-1$代入原解析式，得$y=-2×(-1)^2-4×(-1)+8=-2+4+8=10$，结合对称轴横坐标为$-1$，得顶点坐标为$(-1,10)$。
也可通过顶点坐标公式或配方法得到相同结果。
【答案】
开口向下，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,10)$
【知识点】
二次函数开口判断；二次函数对称轴计算；二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题型，核心考查对二次函数一般式相关性质的掌握，熟练运用公式法或配方法即可快速求解，是学习二次函数相关内容必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
3. 若二次函数$y=x^2+bx+5$配方后为$y=(x-2)^2+k$，则$b,k$的值分别为(
A.0,5
B.0,1
C.-4,5
D.-4,1
D
)A.0,5
B.0,1
C.-4,5
D.-4,1
答案
3. D
解析
【分析】
本题可通过将配方后的顶点式展开为一般式，再与原二次函数的一般式对比，利用对应项系数相等的原理求解b、k的值。首先运用完全平方公式展开顶点式，再分别匹配一次项系数和常数项即可得到结果。
【解析】
先将$y=(x-2)^2+k$展开：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$y=(x-2)^2+k=x^2-4x+4+k$
已知原二次函数为$y=x^2+bx+5$，两个式子表示同一函数，因此对应项系数相等：
1. 一次项系数对应：$b=-4$
2. 常数项对应：$4+k=5$，解得$k=5-4=1$
因此$b=-4$，$k=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数形式转换；完全平方公式；对应系数相等
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，核心考查二次函数一般式和顶点式的转化，熟练掌握完全平方公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可通过将配方后的顶点式展开为一般式，再与原二次函数的一般式对比，利用对应项系数相等的原理求解b、k的值。首先运用完全平方公式展开顶点式，再分别匹配一次项系数和常数项即可得到结果。
【解析】
先将$y=(x-2)^2+k$展开：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$y=(x-2)^2+k=x^2-4x+4+k$
已知原二次函数为$y=x^2+bx+5$，两个式子表示同一函数，因此对应项系数相等：
1. 一次项系数对应：$b=-4$
2. 常数项对应：$4+k=5$，解得$k=5-4=1$
因此$b=-4$，$k=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数形式转换；完全平方公式；对应系数相等
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，核心考查二次函数一般式和顶点式的转化，熟练掌握完全平方公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知$(-3,y_1),(-2,y_2),(1,y_3)$是抛物线$y=-3x^2 -12x +m$上的点,则(
A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
C.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
B
)A.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
B.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
C.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
答案
4. B
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：首先根据抛物线解析式求出对称轴，再判断开口方向，开口向下的抛物线中，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小。随后计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可对应比较出$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=-3x^2 -12x +m$，其中$a=-3$，$b=-12$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-12}{2×(-3)}=-2$；
2. 判断开口方向：$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，在对称轴$x=-2$处取得最大值，且点到对称轴的水平距离越大，函数值越小；
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-3,y_1)$到$x=-2$的距离为$\vert -3 - (-2)\vert=1$；
点$(-2,y_2)$到$x=-2$的距离为$\vert -2 - (-2)\vert=0$；
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离为$\vert 1 - (-2)\vert=3$；
4. 比较距离大小：$0＜1＜3$，对应函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数对称轴计算，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基本应用，解题核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值的关系，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小的方法，比直接代入解析式计算更简便高效。
【难度系数】
0.7
要比较抛物线上三点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：首先根据抛物线解析式求出对称轴，再判断开口方向，开口向下的抛物线中，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小。随后计算三个点的横坐标到对称轴的距离，即可对应比较出$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=-3x^2 -12x +m$，其中$a=-3$，$b=-12$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-12}{2×(-3)}=-2$；
2. 判断开口方向：$\because a=-3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，在对称轴$x=-2$处取得最大值，且点到对称轴的水平距离越大，函数值越小；
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-3,y_1)$到$x=-2$的距离为$\vert -3 - (-2)\vert=1$；
点$(-2,y_2)$到$x=-2$的距离为$\vert -2 - (-2)\vert=0$；
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离为$\vert 1 - (-2)\vert=3$；
4. 比较距离大小：$0＜1＜3$，对应函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数对称轴计算，函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数的基本应用，解题核心是掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值的关系，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小的方法，比直接代入解析式计算更简便高效。
【难度系数】
0.7
5. 如图是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的一部分，直线$x=-1$是对称轴。有下列结论：①$b-2a=0$；②$4a-2b+c＜0$；③$a-b+$
$c=-9a$；④若$(-3,y_1),(\dfrac{3}{2},y_2)$是抛物线上两点，则$y_1＞y_2$。其中正确的是(
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
$c=-9a$；④若$(-3,y_1),(\dfrac{3}{2},y_2)$是抛物线上两点，则$y_1＞y_2$。其中正确的是(
B
)A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先从题干给出的对称轴$x=-1$、图象过$(2,0)$、开口向下这三个已知信息入手，结合二次函数的相关性质逐个判断结论：①利用对称轴公式推导$a$和$b$的关系即可判断；②形如$4a-2b+c$的式子对应$x=-2$时的函数值，利用对称性找$x=-2$的对称点，结合图象即可判断函数值正负；③先将$x=2$代入解析式，结合$b=2a$用$a$表示$c$，再代入$a-b+c$化简即可判断；④比较两点到对称轴的距离，结合开口向下时“离对称轴越近函数值越大”的规律即可判断。
【解析】
1. 判断结论①：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，即$b-2a=0$，故①正确；
2. 判断结论②：$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，由对称轴$x=-1$可知，$x=-2$的对称点为$x=0$，由图象得$x=0$时$y＞0$，因此$x=-2$时$y=4a-2b+c＞0$，故②错误；
3. 判断结论③：由图象得$x=2$时$y=0$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，将$b=2a$代入得$4a+4a+c=0$，即$c=-8a$。$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，代入$b=2a$、$c=-8a$得：$a-2a-8a=-9a$，即$a-b+c=-9a$，故③正确；
4. 判断结论④：点$(-3,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-3-(-1)|=2$，点$(\frac{3}{2},y_2)$到对称轴的距离为$|\frac{3}{2}-(-1)|=2.5$。抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，$2＜2.5$，因此$y_1＞y_2$，故④正确。
综上，①③④正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的核心是掌握二次函数对称轴、函数值与自变量的对应关系、对称性等性质，能结合图象给出的信息进行推导，易错点是容易误判$x=-2$时函数值的正负。
【难度系数】
0.65
解题时先从题干给出的对称轴$x=-1$、图象过$(2,0)$、开口向下这三个已知信息入手，结合二次函数的相关性质逐个判断结论：①利用对称轴公式推导$a$和$b$的关系即可判断；②形如$4a-2b+c$的式子对应$x=-2$时的函数值，利用对称性找$x=-2$的对称点，结合图象即可判断函数值正负；③先将$x=2$代入解析式，结合$b=2a$用$a$表示$c$，再代入$a-b+c$化简即可判断；④比较两点到对称轴的距离，结合开口向下时“离对称轴越近函数值越大”的规律即可判断。
【解析】
1. 判断结论①：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，即$b-2a=0$，故①正确；
2. 判断结论②：$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，由对称轴$x=-1$可知，$x=-2$的对称点为$x=0$，由图象得$x=0$时$y＞0$，因此$x=-2$时$y=4a-2b+c＞0$，故②错误；
3. 判断结论③：由图象得$x=2$时$y=0$，代入解析式得$4a+2b+c=0$，将$b=2a$代入得$4a+4a+c=0$，即$c=-8a$。$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，代入$b=2a$、$c=-8a$得：$a-2a-8a=-9a$，即$a-b+c=-9a$，故③正确；
4. 判断结论④：点$(-3,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-3-(-1)|=2$，点$(\frac{3}{2},y_2)$到对称轴的距离为$|\frac{3}{2}-(-1)|=2.5$。抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，$2＜2.5$，因此$y_1＞y_2$，故④正确。
综上，①③④正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，对称轴公式
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的核心是掌握二次函数对称轴、函数值与自变量的对应关系、对称性等性质，能结合图象给出的信息进行推导，易错点是容易误判$x=-2$时函数值的正负。
【难度系数】
0.65
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标是
$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$
，对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$
。答案
顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$
解析
【分析】
要推导二次函数一般式的顶点坐标和对称轴，我们可以利用配方法，将一般式$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点式中直接对应顶点为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，由此即可得出对应结果。
【解析】
对二次函数一般式进行配方变形：
$\begin{aligned}y &= ax^2+bx+c \\&= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\&= a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2]+c \\&= a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2} + c \\&= a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此可直接得到顶点坐标和对称轴。
【答案】
顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$
【知识点】
1.二次函数的顶点坐标
2.二次函数的对称轴
3.配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础性质题，是二次函数相关问题的核心基础考点，既需要掌握配方法的推导过程，也需要牢记最终结论，方便后续快速解题。
【难度系数】
0.9
要推导二次函数一般式的顶点坐标和对称轴，我们可以利用配方法，将一般式$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，顶点式中直接对应顶点为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，由此即可得出对应结果。
【解析】
对二次函数一般式进行配方变形：
$\begin{aligned}y &= ax^2+bx+c \\&= a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\&= a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2]+c \\&= a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2} + c \\&= a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$h=-\frac{b}{2a}$，$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，因此可直接得到顶点坐标和对称轴。
【答案】
顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$
【知识点】
1.二次函数的顶点坐标
2.二次函数的对称轴
3.配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础性质题，是二次函数相关问题的核心基础考点，既需要掌握配方法的推导过程，也需要牢记最终结论，方便后续快速解题。
【难度系数】
0.9
1. 二次函数$y=ax^2 +4x +a$的最大值是3，
则$a=$
则$a=$
-1
.答案
1. -1
解析
【分析】
首先，已知该函数是二次函数且存在最大值，根据二次函数的性质，只有当二次项系数a＜0时，抛物线开口向下，函数才有最大值，最大值为顶点的纵坐标。接下来我们可以利用二次函数顶点纵坐标的公式，代入已知的最大值3列出关于a的方程，解方程后结合a＜0的条件舍去不符合题意的解，即可求出a的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 +4x +a$有最大值，
∴ 抛物线开口向下，即$a＜0$，
二次函数顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，本题中$b=4$，$c=a$，最大值为3，因此：
$\frac{4a· a - 4^2}{4a}=3$
化简得：
$\frac{4a^2 - 16}{4a}=3 \implies \frac{a^2 - 4}{a}=3$
两边同乘$a$（$a≠0$）得：
$a^2 - 4 = 3a$
移项整理为一元二次方程：
$a^2 - 3a - 4 = 0$
因式分解得：
$(a-4)(a+1)=0$
解得$a_1=4$，$a_2=-1$，
结合$a＜0$的条件，舍去$a=4$，故$a=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的性质、二次函数最值计算、一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题时需先根据函数最值的存在性判断二次项系数的符号，再结合顶点坐标公式列方程求解，最后要注意对求出的解进行取舍，避免因忽略开口方向导致错误。
【难度系数】
0.7
首先，已知该函数是二次函数且存在最大值，根据二次函数的性质，只有当二次项系数a＜0时，抛物线开口向下，函数才有最大值，最大值为顶点的纵坐标。接下来我们可以利用二次函数顶点纵坐标的公式，代入已知的最大值3列出关于a的方程，解方程后结合a＜0的条件舍去不符合题意的解，即可求出a的值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 +4x +a$有最大值，
∴ 抛物线开口向下，即$a＜0$，
二次函数顶点纵坐标公式为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，本题中$b=4$，$c=a$，最大值为3，因此：
$\frac{4a· a - 4^2}{4a}=3$
化简得：
$\frac{4a^2 - 16}{4a}=3 \implies \frac{a^2 - 4}{a}=3$
两边同乘$a$（$a≠0$）得：
$a^2 - 4 = 3a$
移项整理为一元二次方程：
$a^2 - 3a - 4 = 0$
因式分解得：
$(a-4)(a+1)=0$
解得$a_1=4$，$a_2=-1$，
结合$a＜0$的条件，舍去$a=4$，故$a=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的性质、二次函数最值计算、一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题时需先根据函数最值的存在性判断二次项系数的符号，再结合顶点坐标公式列方程求解，最后要注意对求出的解进行取舍，避免因忽略开口方向导致错误。
【难度系数】
0.7
2. 将抛物线$y=x^2 -6x +5$向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是(
A.$y=(x-4)^2 -6$
B.$y=(x-4)^2 -2$
C.$y=(x-2)^2 -2$
D.$y=(x-1)^2 -3$
B
)A.$y=(x-4)^2 -6$
B.$y=(x-4)^2 -2$
C.$y=(x-2)^2 -2$
D.$y=(x-1)^2 -3$
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题需利用二次函数图象的平移规律，平移不会改变抛物线的形状与开口方向。解题思路如下：第一步先将原抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，方便后续平移计算；第二步根据“向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加”的规律，对顶点坐标进行调整，或直接利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀对顶点式进行变形，最终得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
首先对原抛物线解析式配方，将其转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=x^2 -6x +9 -9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
根据平移规则计算：
1. 向右平移1个单位长度：将自变量$x$替换为$x-1$，解析式变为$y=(x-1-3)^2 -4=(x-4)^2 -4$；
2. 再向上平移2个单位长度：给常数项加2，解析式变为$y=(x-4)^2 -4 +2=(x-4)^2 -2$。
因此平移后得到的抛物线解析式为$y=(x-4)^2 -2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数配方，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对平移规则的应用，熟练掌握一般式化顶点式的配方方法，牢记“左加右减、上加下减”的平移口诀即可快速解题，做题时需注意平移是针对自变量$x$单独进行运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解决本题需利用二次函数图象的平移规律，平移不会改变抛物线的形状与开口方向。解题思路如下：第一步先将原抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，方便后续平移计算；第二步根据“向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加”的规律，对顶点坐标进行调整，或直接利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀对顶点式进行变形，最终得到平移后的抛物线解析式。
【解析】
首先对原抛物线解析式配方，将其转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=x^2 -6x +9 -9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
根据平移规则计算：
1. 向右平移1个单位长度：将自变量$x$替换为$x-1$，解析式变为$y=(x-1-3)^2 -4=(x-4)^2 -4$；
2. 再向上平移2个单位长度：给常数项加2，解析式变为$y=(x-4)^2 -4 +2=(x-4)^2 -2$。
因此平移后得到的抛物线解析式为$y=(x-4)^2 -2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数配方，二次函数顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对平移规则的应用，熟练掌握一般式化顶点式的配方方法，牢记“左加右减、上加下减”的平移口诀即可快速解题，做题时需注意平移是针对自变量$x$单独进行运算，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，下列4个结论：①$abc＜0$；②$b＜a+c$；③$4a+2b+c＞0$；④$b^2-4ac＞0$. 其中正确的是（
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
B
）A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路是先结合二次函数图像特征确定系数a、b、c的符号，再结合特殊点的函数值、根的判别式的意义逐个判断结论：
1. 先看开口方向确定a的符号，根据对称轴公式确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，可判断结论①；
2. 结论②变形为$a-b+c＞0$，对应x=-1时的函数值，结合图像判断x=-1时y的符号即可；
3. 结论③对应x=2时的函数值，顶点在x轴下方，可判断其符号；
4. 结论④根据抛物线与x轴交点个数，结合判别式的意义判断即可。
【解析】
步骤1：确定a、b、c的符号
①抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
②对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，
∵$a＞0$，
∴$b＜0$；
③抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
步骤2：逐个判断结论
①判断$abc＜0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＞0$，因此$abc＜0$，结论①正确；
②判断$b＜a+c$：当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c$，由图像可知$x=-1$时抛物线在x轴上方，即$y＞0$，因此$a - b + c＞0$，移项可得$b ＜ a + c$，结论②正确；
③判断$4a+2b+c＞0$：当$x=2$时，函数值$y=4a + 2b + c$，x=2是抛物线顶点，顶点在x轴下方，即$y＜0$，因此$4a+2b+c＜0$，结论③错误；
④判断$b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，结论④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数特殊点值；根的判别式
【点评】
本题是二次函数图像综合类常考题，解题核心是将图像的开口、对称轴、交点等特征和系数、特殊点函数值、判别式一一对应，只要准确找到每个式子对应的x取值，结合图像判断符号即可。
【难度系数】
0.7
解题思路是先结合二次函数图像特征确定系数a、b、c的符号，再结合特殊点的函数值、根的判别式的意义逐个判断结论：
1. 先看开口方向确定a的符号，根据对称轴公式确定b的符号，根据与y轴交点确定c的符号，可判断结论①；
2. 结论②变形为$a-b+c＞0$，对应x=-1时的函数值，结合图像判断x=-1时y的符号即可；
3. 结论③对应x=2时的函数值，顶点在x轴下方，可判断其符号；
4. 结论④根据抛物线与x轴交点个数，结合判别式的意义判断即可。
【解析】
步骤1：确定a、b、c的符号
①抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
②对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，
∵$a＞0$，
∴$b＜0$；
③抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$。
步骤2：逐个判断结论
①判断$abc＜0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＞0$，因此$abc＜0$，结论①正确；
②判断$b＜a+c$：当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a - b + c$，由图像可知$x=-1$时抛物线在x轴上方，即$y＞0$，因此$a - b + c＞0$，移项可得$b ＜ a + c$，结论②正确；
③判断$4a+2b+c＞0$：当$x=2$时，函数值$y=4a + 2b + c$，x=2是抛物线顶点，顶点在x轴下方，即$y＜0$，因此$4a+2b+c＜0$，结论③错误；
④判断$b^2-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有2个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，结论④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数特殊点值；根的判别式
【点评】
本题是二次函数图像综合类常考题，解题核心是将图像的开口、对称轴、交点等特征和系数、特殊点函数值、判别式一一对应，只要准确找到每个式子对应的x取值，结合图像判断符号即可。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象如图所示，若点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在此函数的图象上，且$x_1＜x_2＜1$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是(
A.$y_1≤ y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1≥ y_2$
D.$y_1＞y_2$
B
)A.$y_1≤ y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1≥ y_2$
D.$y_1＞y_2$
答案
4. B
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需结合二次函数的增减性判断：首先确定二次函数的开口方向，再结合图象确定对称轴，最后判断两点所在区间对应的增减性，即可推导$y$值的大小关系。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+bx+c$，
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 由图象可知，抛物线的对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（即$x＜1$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1＜x_2＜1$，两点都在对称轴左侧，且$x_2$更大，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握不同开口方向的二次函数在对称轴两侧的增减性规律，结合给出的自变量范围即可快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
要比较$y_1$和$y_2$的大小，需结合二次函数的增减性判断：首先确定二次函数的开口方向，再结合图象确定对称轴，最后判断两点所在区间对应的增减性，即可推导$y$值的大小关系。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+bx+c$，
1. 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 由图象可知，抛物线的对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴左侧（即$x＜1$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1＜x_2＜1$，两点都在对称轴左侧，且$x_2$更大，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数的图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是熟练掌握不同开口方向的二次函数在对称轴两侧的增减性规律，结合给出的自变量范围即可快速比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
