17.(6分)厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度$y$(单位:m)是面条横截面面积$S$(单位:mm²)的反比例函数，其图象经过$A(4,32),B(a,80)$两点(如图).
(1)求$y$与$S$之间的函数解析式及$a$的值.
(2)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过$0.8\ \mathrm{mm}^2$，求这根面条的总长度至少是多少米.

17. 解:(1)设$y$与$S$之间的函数解析式为$y=\frac{k}{S}(S＞0)$,由条件可得$k=128, \therefore y$与$S$之间的函数解析式为$y=\frac{128}{S}(S＞0)$.将$(a,80)$代入$y=\frac{128}{S}$,得$a=1.6$. (2)由条件可知$y≥\frac{128}{0.8}=160$,故面条的总长度至少是160 m.

18. (6分)已知抛物线$y=x^2 - ax + 2(a - 3)$。
(1)求证:不论a为何实数,这个抛物线与x轴总有两个交点。
(2)如果有一个交点坐标为$(3,0)$,求a的值。

18. (1)证明:$\Delta=a^2-8(a-3)=a^2-8a+24=a^2-8a+16+8=(a-4)^2+8＞0$,则不论$a$为何实数,这个抛物线与$x$轴总有两个交点. (2)解:把$(3,0)$代入抛物线,得$9-3a+2(a-3)=0$,解得$a=3$.

19. (6分)如图,已知点$A(a,-2),B(1,4)$是一次函数$y=kx+b$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象的两个交点,直线$AB$与$y$轴交于点$C$.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)若点$P$是$y$轴上一点,且$△ APB$的面积等于3,求点$P$的坐标.
(3)求不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$的解集.(直接写出答案)

19. 解:(1)由条件可知$m=4,a=-2, \therefore A(-2,-2)$.又$\because A(-2,-2),B(1,4)$是一次函数$y=kx+b$图象上的点,得$\begin{cases}-2k+b=-2 \\k+b=4 \end{cases}$,解得$\begin{cases}k=2 \\b=2 \end{cases}, \therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$,一次函数的解析式为$y=2x+2$. (2)在$y=2x+2$中,令$x=0$,则$y=2, \therefore C(0,2)$.设$P(0,y_0)$,则$PC=|y_0-2|$.$\because A(-2,-2),B(1,4), \therefore |x_B-x_A|=|1-(-2)|=3, S_{△ APB}=S_{△ APC}+S_{△ BPC}, S_{△ APB}=\frac{1}{2}× PC×|x_B-x_A|, \therefore \frac{1}{2}×|y_0-2|×3=3$,即$|y_0-2|=2$.当$y_0-2=2$时,$y_0=4$;当$y_0-2=-2$时,$y_0=0, \therefore$点$P$的坐标为$(0,4)$或$(0,0)$. (3)$0＜x＜1$或$x＜-2$.

20. (6分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 = 0$有两个实数根$x_1, x_2$，且分别是四边形$ABCD$相邻两边的长.
(1)若四边形$ABCD$为菱形，求$m$的值.
(2)若四边形$ABCD$为矩形，且该矩形对角线长为$\sqrt{7}$，求$m$的值.

20. 解:(1)若四边形$ABCD$为菱形,则$AB=AD$,$\therefore$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有两个相等实数根,$\therefore \Delta=0$,即$(2m-1)^2-4m^2=0$,解得$m=\frac{1}{4}$. (2)由题意可知$AB,AD$为方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两个实数根,$\therefore AB+AD=1-2m, AB· AD=m^2, \therefore AB^2+AD^2=(AB+AD)^2-2AB· AD=(1-2m)^2-2m^2=2m^2-4m+1$.当四边形$ABCD$为矩形时,则$AB^2+AD^2=AC^2=(\sqrt{7})^2=7, \therefore 2m^2-4m+1=7$,整理得$m^2-2m-3=0$,解得$m=3$或$m=-1$.$\because \Delta=1-4m≥0, \therefore m≤\frac{1}{4}, \therefore m=-1$.