1.(8分)综合与实践
【问题情境】如图是音乐喷泉其中的一根水管OA，其喷出的水流的轨迹是抛物线，当喷出的水流在与水管AO的水平距离为4米时达到最高，最大高度为9米，水流落地点B与水管AO的水平距离为10米.
【数学建模】如图，以点O为原点，以水平地面所在的直线为x轴，水管AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
【问题解决】
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图，若在第一象限的竖直方向放置一盏高为$\frac{11}{4}$米的景观灯EF，且景观灯的顶端恰好碰到水流.
①求出水点A与景观灯底部F之间的距离AF.
②现计划将出水点A向下平移n米，使新水流的落地处恰好在点F处，求n的值.

21. 解:(1)根据题意可设抛物线的函数解析式为$y=a(x-4)^2+9$,将点$B(10,0)$代入,得$0=a(10-4)^2+9$,解得$a=-\frac{1}{4}, \therefore$抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+9$. (2)①当$y=\frac{11}{4}$时,$\frac{11}{4}=-\frac{1}{4}(x-4)^2+9$,整理得$(x-4)^2=25$,解得$x_1=-1,x_2=9$.$\because OF＞0, \therefore$点$F(9,0), \therefore OF=9$.当$x=0$时,$y=-\frac{1}{4}×(0-4)^2+9=5, \therefore AO=5$,$\therefore AF=\sqrt{OA^2+OF^2}=\sqrt{106}$.答:出水点$A$与景观灯底部$F$之间的距离$AF$为$\sqrt{106}$米. ②根据题意,得平移后的抛物线为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+9-n$,$\because$平移后的抛物线经过点$F(9,0), \therefore 0=-\frac{1}{4}×(9-4)^2+9-n$,解得$n=\frac{11}{4}, \therefore n$的值为$\frac{11}{4}$.

2.(9分)如图，抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$，与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标.
(2)在对称轴上找一点Q，使$△ ACQ$的周长最小，求点Q的坐标.
(3)若P是第四象限内抛物线上的动点，求$△ BPC$的面积S的最大值及此时点P的坐标.

22. 解:(1)抛物线$y=x^2-2x-3$与$y$轴交于点$C$,当$x=0$时,得$y=-3, \therefore C(0,-3)$. (2)如图①,连接$CB$交对称轴于点$Q$. $\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4, \therefore$抛物线的对称轴为直线$x=1$.$\because$点$A,B$关于对称轴$x=1$对称,$\therefore AQ=BQ, \therefore AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥ AC+BC$.当$C,Q,B$三点共线时,$△ ACQ$的周长最小.设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$,将点$B,C$的坐标代入,得$\begin{cases}3k+b=0 \\b=-3 \end{cases}$,解得$\begin{cases}k=1 \\b=-3 \end{cases}, \therefore$直线$BC$的解析式为$y=x-3$.当$x=1$时,$y=-2, \therefore Q(1,-2)$. (3)如图②,连接$BC$,过点$P$作$PG// y$轴交$BC$于点$G$.设点$P(t,t^2-2t-3)$,则$G(t,t-3), \therefore PG=t-3-(t^2-2t-3)=-t^2+3t, \therefore S=\frac{1}{2}×3×(-t^2+3t)=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}, \therefore$当$t=\frac{3}{2}$时,$S$的最大值为$\frac{27}{8}$,此时$P(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$.