4.(乌鲁木齐一模)如图①,在正方形ABCD中,AB=8 cm.点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿折线A→B→C运动,同时点Q从点D出发,以1 cm/s的速度沿线段DC运动,连接DP,QP.当点Q到达点C时,P,Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为x(0＜x＜8)s,△DPQ的面积为y cm².
(1)请直接写出y与x的函数解析式,并注明自变量x的取值范围.
(2)在给定的平面直角坐标系图②中,画出函数y的图象.
(3)若(2)中函数y的图象与直线y₁=x+b有两个交点,求b的取值范围.

4. 解:(1)由题意知,DQ=x,AB=BC=CD=8 cm.当0＜x≤4时,点P在AB上,y=4x.当4＜x＜8时,点P在BC上,CP=16-2x,$y=\dfrac{1}{2}x(16-2x)$=$-x^2+8x$.综上可得$y=\begin{cases}4x(0＜x≤4) \\-x^2+8x(4＜x＜8)\end{cases}$.
(2)函数图象如图所示.
(3)如图,当直线$y_1=x+b$经过点(0,0)时,0=0+b,解得b=0.当直线$y_1=x+b$经过点(4,16)时,16=4+b,解得b=12.结合图象可知,当0＜b＜12时,函数y的图象与直线$y_1=x+b$有两个交点.

5. (吐鲁番模拟)反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象如图所示，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与$y=\frac{4}{x}$的图象交于$A(m,4),B(-2,n)$两点.

(1)求一次函数的解析式,并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)观察图象,直接写出不等式$kx+b＜\frac{4}{x}$的解集.
(3)一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$C$,连接$OA$,求$△ AOC$的面积.

5. 解:(1)
∵A(m,4),B(-2,n)在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象上,
∴4m=-2n=4,解得m=1,n=-2,
∴A(1,4),B(-2,-2).把(1,4),(-2,-2)代入y=kx+b中,得$\begin{cases}k+b=4 \\-2k+b=-2\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=2 \\b=2\end{cases}$,
∴一次函数的解析式为y=2x+2.函数图象如图所示.
(2)由图象可得当0＜x＜1或x＜-2时,直线y=2x+2在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$的图象的下方,
∴$kx+b＜\dfrac{4}{x}$的解集为0＜x＜1或x＜-2. (3)把y=0代入y=2x+2得0=2x+2,解得x=-1,
∴点C的坐标为(-1,0),
∴$S_{△AOC}=\dfrac{1}{2}×1×4=2$.