1.(乌鲁木齐模拟)在解决几何问题时,通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题.
【问题情境】(1)如图①,在正方形ABCD中,E,F,G分别是边BC,AB,CD上的点,FG⊥AE于点Q.判断线段AE,FG的数量关系并证明.
【尝试应用】(2)如图②,在正方形网格中,点A,B,C,D为格点,AB交CD于点O.求tan∠AOC的值.

1. 解:(1)AE=FG.证明:如图①所示,过点B作BH//FG交AE于点K,交CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB//CD,AB=BC,∠ABE=∠C=90°.易证四边形BFGH是平行四边形,
∴BH=FG.
∵FG⊥AE,
∴BH⊥AE,
∴∠BKE=90°,
∴∠KBE+∠BEK=90°.
∵∠BEK+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠CBH.在△ABE 和△BCH 中，$\begin{cases}∠BAE=∠CBH \\AB=BC \\∠ABE=∠C \end{cases}$，
∴△ABE ≌△BCH(ASA),
∴AE=BH,
∴AE=FG.
(2) 将线段AB向右平移至FD处,使得点B与点D重合,连接CF,如图②所示,易证∠AOC=∠FDC.设正方形网格的边长为1,则AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4.由勾股定理可得CF=$\sqrt{AC^2+AF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,CD=$\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,DF=$\sqrt{FG^2+DG^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵$(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5^2$,
∴$CF^2+CD^2=DF^2$,
∴∠FCD=90°,
∴$\tan∠AOC=\tan∠FDC=\frac{CF}{CD}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$.

2. 如图①，$△ ABE$是等腰三角形，$AB＝AE$，$∠ BAE＝45°$，过点$B$作$BC⊥ AE$于点$C$，在$BC$上截取$CD＝CE$，连接$AD$，$DE$，并延长$AD$交$BE$于点$P$.
(1)求证：$AD＝BE$.
(2)求证：$AD$平分$∠ BAE$.
(3)如图②，将$△ CDE$绕点$C$旋转一定角度，那么$AD$与$BE$的位置关系是否发生变化？说明理由.

2. (1) 证明:
∵BC⊥AE,∠BAE=45°,
∴∠CBA=∠CAB,
∴BC=CA. 在△ACD 和△BCE 中，$\begin{cases}AC=BC \\∠ACD=∠BCE=90° \\CD=CE \end{cases}$,
∴△ACD ≌△BCE(SAS),
∴AD = BE.
(2) 证明:
∵△ACD ≌△BCE,
∴∠DAC = ∠EBC.
∵∠BDP = ∠ADC,
∴∠BPD = ∠DCA=90°.
∵AB=AE,
∴AD 平分∠BAE.
(3) 解:AD⊥BE 不发生变化. 理由:如图,
∵△ACD ≌△BCE,
∴∠DAC = ∠EBC.
∵∠BFP = ∠AFC,
∴∠BPF = ∠ACF = 90°,
∴AD⊥BE.