3.(乌鲁木齐联考)$△ ABC$和$△ ADF$均为等边三角形,点$E,D$分别从点$A,B$同时出发,以相同的速度沿$AB,BC$运动,运动到点$B,C$停止.
(1)如图①,当点$E,D$分别与点$A,B$重合时,请判断:线段$CD,EF$的数量关系是,位置关系是.
(2)如图②,当点$E,D$不与点$A,B$重合时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

3. (1) CD=EF，CD//EF
(2) 结论成立. 证明:如图,连接BF.
∵△ABC,△ADF 都是等边三角形,
∴∠FAD = ∠BAC,AF = AD,AB = AC,
∴∠FAB = ∠DAC,
∴△FAB ≌△DAC(SAS),
∴BF=CD,∠ABF=∠ACD=60°.
∵AE=BD,AB=BC,
∴BE=CD=BF,
∴△EFB 是等边三角形,
∴CD = BF = EF,∠FEB = ∠ABC = 60°,
∴CD//EF.

4.(乌鲁木齐模拟)如图,在正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.
(1)求证:ED=EC.
(2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B'落在AC上,连接MB'.当点M在边BC上运动时(点M不与B,C重合),判断△CMB'的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,已知AB=1,当∠DEB'=45°时,求BM的长.

4. (1) 证明:在正方形ABCD 中,AD=BC,∠BAD=∠ABC=90°.
∵点E 为AM 的中点,
∴AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA,
∴∠EAD=∠EBC. 在△EAD 和△EBC 中,$\begin{cases}AE=BE \\∠EAD=∠EBC \\AD=BC \end{cases}$,
∴△EAD ≌△EBC(SAS),
∴ED=EC.
(2) 解:△CMB'是等腰直角三角形. 理由:根据旋转的性质可得,EB'=EB.
∵EB=AE=ME,
∴EB'=AE=ME,
∴∠EAB'=∠EB'A,∠EMB'=∠EB'M.
∵∠EAB'+∠EB'A+∠EB'M+∠EMB'=180°,
∴∠AB'M=90°,
∴∠MB'C=90°. 在正方形 ABCD 中,∠ACB=45°,
∴∠B'MC=45°,
∴B'M=B'C,
∴△CMB'是等腰直角三角形.
(3) 解:延长 BE 交 AD 于点 F, 如图.
∵∠BEM = 2∠BAE,∠B'EM=2∠B'AE,∠BAB'=45°,
∴∠BEB'=90°,
∴∠B'EF=90°.
∵∠DEB'=45°,
∴∠DEF=45°.
∵△EAD ≌△EBC,
∴∠AED = ∠BEC.
∵∠AEF = ∠BEM,
∴∠CEM = ∠DEF = 45°.
∵∠MCA=45°,
∴∠CEM=∠MCA. 又
∵∠CME=∠AMC,
∴△CME ∽△AMC,
∴CM : AM = EM : CM.
∵$EM=\frac{1}{2}AM$,
∴$CM^2=\frac{1}{2}AM^2$. 在正方形 ABCD 中,BC=AB=1,设 BM=x,则 CM=1-x,根据勾股定理,得$AM^2=1+x^2$,
∴$\frac{1}{2}(1+x^2)=(1-x)^2$,解得$x=2-\sqrt{3}$或$x=2+\sqrt{3}$(舍去),
∴$BM=2-\sqrt{3}$.