1.(乌鲁木齐模拟)新定义:平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形若是直角三角形,则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”,并且把该平行四边形的长边与短边之比称为该平行四边形的“度量值”.如图,已知四边形ABCD是矩形,△BEF为其“中直三角形”,其中∠BEF = 90°,求矩形ABCD的“度量值”.

1. 解: 由条件可知∠A = ∠D = 90°, AB = CD,
∴∠ABE + ∠AEB = 90°.
∵ ∠BEF = 90°,
∴∠AEB + ∠DEF = 90°,
∴∠ABE = ∠DEF,
∴△ABE∽△DEF,
∴AB/DE = AE/DF. 由题意知DE = AE = 1/2 AD, DF = CF = 1/2 CD = 1/2 AB,
∴AB/(1/2 AD) = (1/2 AD)/(1/2 AB), 解得AD/AB = √2,
∴矩形ABCD的“度量值”为√2.

2. (乌鲁木齐模拟)【模型建立】如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=45°,探究图中线段EF,BE,DF之间的数量关系.
(1)小宋的探究思路如下:延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明△ADF≌△ABG,再证明△AEF≌△AEG.则EF,BE,DF之间的数量关系为.若AD=6,DF=2,则BE=.
【模型应用】(2)如图②,在矩形ABCD中,AD=4,AB=3,点F为CD的中点,∠FAE=45°,求BE的长.

2. (1) EF=BE+DF 3 (2) 如图,分别延长AB,DC到点M,N,使四边形AMND是正方形,延长NM到点H,使MH=DF,连接AH,延长AE交MN于点P,连接PF.
∵AD=4,AB=3,点F为CD的中点,
∴DF=1/2 CD=1/2 AB=3/2,
∴FN=4-3/2=5/2. 设MP=x,则PN=4-x,由(1)得PF=MP+DF=x+3/2. 在Rt△PNF中,由勾股定理,得PN²+NF²=PF²,
∴(4-x)²+(5/2)²=(x+3/2)²,解得x=20/11.
∵BC//MN,
∴△ABE∽△AMP,
∴AB/AM=BE/MP,即3/4=BE/(20/11),
∴BE=15/11.