3.(乌鲁木齐模拟)如图,在矩形ABCD中,点E为AD边上的不与端点重合的一动点,点F是对角线BD上的一点,连接BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF.
【模型建立】
(1)求证:AF⊥BE.
【模型应用】
(2)若AB=2,AD=3,DF=$\frac{1}{2}$BF,求DE的长.

3. (1) 证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°.
∵∠ABE=∠DAF,
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
∴AF⊥BE. (2) 解:如图,延长AF交CD于点G.
∵GD//AB,
∴△GDF∽△ABF.
∵DF=1/2 BF, AB=2,AD=3,
∴GD/AB=DF/BF=1/2,
∴GD=1/2 AB=1/2×2=1.
∵∠BAE=∠ADG=90°,∠ABE=∠DAG,
∴AE/AB=tan∠ABE=tan∠DAG=GD/AD=1/3,
∴AE=1/3 AB=1/3×2=2/3,
∴DE=AD-AE=3-2/3=7/3.

4.(乌鲁木齐模拟)在矩形$ABCD$中,$BC=2CD$,点$E,F$分别为直线$AB,BC$上的动点,且$BE=2CF$,连接$CE,DF$.
(1)如图①,若点$E,F$分别在边$AB,BC$上,则$CE$与$DF$的位置关系为,数量关系为.
(2)如图②,若点$E,F$分别在边$AB,BC$的延长线上,$EC$的延长线与$DF$交于点$H$.求证:$∠ CHD=90°$.
(3)如图③,在(2)的条件下,点$G$为$EH$上的点,且$GH=2DH$,请用等式表示线段$BG$与$CH$的数量关系,并说明理由.

4. (1) CE⊥DF CE=2DF (2) 证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠CBE=∠DCF=90°.
∵BC=2CD,BE=2CF,
∴BC/CD=BE/CF=2,
∴△BCE∽△CDF,
∴∠BCE=∠CDF.
∵∠BCE+∠DCH=180°-∠BCD=90°,
∴∠CDF+∠DCH=90°,
∴∠CHD=90°. (3) 解:BG=√5 CH. 理由:连接DG,DB.
∵GH=2DH,BC=2CD,
∴GH/DH=BC/CD=2,
∴GH/BC=DH/CD.
∵∠BCD=∠CHD=90°,
∴△GDH∽△BDC,
∴DH/CD=DG/DB,∠GDH=∠BDC,
∴DH/DG=CD/DB, ∠CDH=∠BDG,
∴△CDH∽△BDG,
∴CH/BG=CD/BD.
∵BC=2CD,
∴BD=√(BC²+CD²)=√((2CD)²+CD²)=√5 CD,
∴CH/BG=CD/(√5 CD),
∴BG=√5 CH.