13.（2025攀枝花中考）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。
（1）根据锐角三角函数的定义，求证：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$；
（2）若$\sin A = \frac{1}{3}$，求$\cos A$的值。

13. (1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°. \therefore a^2+b^2=c^2$，$\sin A=\dfrac{a}{c},\cos A=\dfrac{b}{c}.$
$\therefore \sin^2 A + \cos^2 A =(\dfrac{a}{c})^2 + (\dfrac{b}{c})^2 =\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}=\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{c^2}{c^2}=1$
(2) $\because \sin^2 A + \cos^2 A =1, \therefore \dfrac{1}{9}+\cos^2 A=1. \therefore \cos^2 A=\dfrac{8}{9}. \therefore \cos A=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ 或 $\cos A=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$(舍去). $\therefore \cos A$ 的值为$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

14. 已知$a$、$b$、$c$分别是$△ ABC$中$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边，若关于$x$的方程$(b+c)x^2 - 2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根，且$\sin B\cos A - \cos B\sin A = 0$，试判断$△ ABC$的形状。

14. $\because$ 关于$x$的方程$(b+c)x^2 - 2ax + c - b = 0$有两个相等的实数根,$\therefore (-2a)^2 - 4(b+c)(c-b)=0.$ 化简,得$a^2 + b^2 - c^2=0$,即$a^2 + b^2 = c^2.$ 又$\because \sin B\cos A - \cos B\sin A = 0, \therefore \dfrac{b}{c}· \dfrac{b}{c} - \dfrac{a}{c}· \dfrac{a}{c}=0. \therefore a=b. \therefore △ ABC$ 的形状为等腰直角三角形

1. 计算$4\sin30°$的结果为 【 】

A.$\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

B

2. 如图,以点O为圆心、任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心、AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则$\tan∠ AOB$的值为
【 】

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

10

D