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[典例2]通分：
(1)$\frac{1}{a^2b}, -\frac{2}{ab^2}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - y^2}, \frac{1}{x^2 + xy}$.
规律方法 通分的一般步骤：
(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；
[典例解析]
(1)$\frac{1}{a^2b}, -\frac{2}{ab^2}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - y^2}, \frac{1}{x^2 + xy}$.
规律方法 通分的一般步骤：
(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；
[典例解析]
答案
解：
(1) 两个分式的最简公分母为$a^2b^2$。
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1· b}{a^2b· b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = \frac{-2· a}{ab^2· a} = \frac{-2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
两个分式的最简公分母为$x(x+y)(x-y)$。
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1· x}{(x+y)(x-y)· x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1· (x-y)}{x(x+y)· (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
(1) 两个分式的最简公分母为$a^2b^2$。
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1· b}{a^2b· b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = \frac{-2· a}{ab^2· a} = \frac{-2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
两个分式的最简公分母为$x(x+y)(x-y)$。
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1· x}{(x+y)(x-y)· x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1· (x-y)}{x(x+y)· (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母。对于(1)，分母为单项式，最简公分母取各分母相同字母的最高次幂的乘积；对于(2)，分母为多项式，需先对分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，最后按分式基本性质变形即可。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为$a^2b^2$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1· b}{a^2b· b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = \frac{-2· a}{ab^2· a} = \frac{-2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得两个分式的最简公分母为$x(x+y)(x-y)$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1· x}{(x+y)(x-y)· x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1· (x-y)}{x(x+y)· (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a^2b^2}$，$\frac{-2a}{a^2b^2}$；
(2) $\frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，$\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，明确单项式分母和多项式分母的最简公分母找法是解题前提，熟练掌握分式的基本性质和因式分解是解题关键，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分子分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母。对于(1)，分母为单项式，最简公分母取各分母相同字母的最高次幂的乘积；对于(2)，分母为多项式，需先对分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，最后按分式基本性质变形即可。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为$a^2b^2$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1· b}{a^2b· b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = \frac{-2· a}{ab^2· a} = \frac{-2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得两个分式的最简公分母为$x(x+y)(x-y)$，根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1· x}{(x+y)(x-y)· x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1· (x-y)}{x(x+y)· (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a^2b^2}$，$\frac{-2a}{a^2b^2}$；
(2) $\frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，$\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题考查分式通分的基本方法，明确单项式分母和多项式分母的最简公分母找法是解题前提，熟练掌握分式的基本性质和因式分解是解题关键，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
典例1
解 (1)$\frac{5xy}{20x^2y}=\frac{5xy}{4x·5xy}=\frac{1}{4x}.$
(2)$\frac{a^2+ab}{ab+b^2}=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}=\frac{a}{b}.$
典例2
解 (1)最简公分母是$a^2b^2.$
(2)确定最简公分母,即各分母的所有因式的最高次幂的积;
(3)将分子、分母乘同一个因式,使分母变为最简公分母.
[举一反三]通分:
(1)$\frac{1}{4a^2},\frac{b}{2ac};$
(2)$\frac{2}{9-3a},\frac{a-1}{a^2-9}.$
$\frac{1}{a^2b}=\frac{b}{a^2b^2},-\frac{2}{ab^2}=-\frac{2a}{a^2b^2}.$
(2)最简公分母是$x(x+y)(x-y).$
$\frac{1}{x^2-y^2}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x^3-xy^2},$
$\frac{1}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^3-xy^2}.$
解 (1)$\frac{5xy}{20x^2y}=\frac{5xy}{4x·5xy}=\frac{1}{4x}.$
(2)$\frac{a^2+ab}{ab+b^2}=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}=\frac{a}{b}.$
典例2
解 (1)最简公分母是$a^2b^2.$
(2)确定最简公分母,即各分母的所有因式的最高次幂的积;
(3)将分子、分母乘同一个因式,使分母变为最简公分母.
[举一反三]通分:
(1)$\frac{1}{4a^2},\frac{b}{2ac};$
(2)$\frac{2}{9-3a},\frac{a-1}{a^2-9}.$
$\frac{1}{a^2b}=\frac{b}{a^2b^2},-\frac{2}{ab^2}=-\frac{2a}{a^2b^2}.$
(2)最简公分母是$x(x+y)(x-y).$
$\frac{1}{x^2-y^2}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x^3-xy^2},$
$\frac{1}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^3-xy^2}.$
答案
2. 解 (1)最简公分母是$4a^2c$.
$\frac{1}{4a^2}=\frac{1·c}{4a^2·c}=\frac{c}{4a^2c},$
$\frac{b}{2ac}=\frac{b·2a}{2ac·2a}=\frac{2ab}{4a^2c}.$
(2)最简公分母是$3(a+3)(a-3)$.
$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}$
$=-\frac{2·(a+3)}{3(a-3)·(a+3)}$
$=-\frac{2a+6}{3a^2-27},$
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{(a-1)·3}{(a+3)(a-3)·3}$
$=\frac{3a-3}{3a^2-27}.$
$\frac{1}{4a^2}=\frac{1·c}{4a^2·c}=\frac{c}{4a^2c},$
$\frac{b}{2ac}=\frac{b·2a}{2ac·2a}=\frac{2ab}{4a^2c}.$
(2)最简公分母是$3(a+3)(a-3)$.
$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}$
$=-\frac{2·(a+3)}{3(a-3)·(a+3)}$
$=-\frac{2a+6}{3a^2-27},$
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{(a-1)·3}{(a+3)(a-3)·3}$
$=\frac{3a-3}{3a^2-27}.$
解析
【分析】
通分需遵循两步核心步骤：第一步先确定各分式的最简公分母：①若分母是多项式，先对分母因式分解；②取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或因式）取最高次幂，所有不同的字母（或因式）都要纳入公分母，即可得到最简公分母。第二步根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘同一个合适的非零整式，将分母统一为最简公分母即可。
本题第(1)问分母都是单项式，直接找系数最小公倍数和字母最高次幂即可得最简公分母；第(2)问分母是多项式，先因式分解再找最简公分母，同时注意处理符号问题。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：两个分母分别为$4a^2$和$2ac$，系数4和2的最小公倍数是4，字母$a$的最高次幂是$a^2$，还有单独因式$c$，因此最简公分母是$4a^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{4a^2}$的分母要变为$4a^2c$，需给分子、分母同时乘$c$，得$\frac{1·c}{4a^2·c}=\frac{c}{4a^2c}$；
$\frac{b}{2ac}$的分母要变为$4a^2c$，需给分子、分母同时乘$2a$，得$\frac{b·2a}{2ac·2a}=\frac{2ab}{4a^2c}$。
(2) 先对分母因式分解：$9-3a=3(3-a)=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$。
确定最简公分母：系数最小公倍数是3，因式包含$(a+3)$、$(a-3)$，因此最简公分母是$3(a+3)(a-3)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}$，分母要变为$3(a+3)(a-3)$，需给分子、分母同时乘$(a+3)$，得$-\frac{2·(a+3)}{3(a-3)·(a+3)}=-\frac{2a+6}{3a^2-27}$；
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$，分母要变为$3(a+3)(a-3)$，需给分子、分母同时乘3，得$\frac{(a-1)·3}{(a+3)(a-3)·3}=\frac{3a-3}{3a^2-27}$。
【答案】
(1)最简公分母是$4a^2c$，$\frac{1}{4a^2}=\frac{c}{4a^2c}$，$\frac{b}{2ac}=\frac{2ab}{4a^2c}$；
(2)最简公分母是$3(a+3)(a-3)$，$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2a+6}{3a^2-27}$，$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{3a-3}{3a^2-27}$。
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母的确定；分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考察通分的操作步骤，解题的易错点是分母为多项式时忘记先因式分解，以及负号的处理，熟练掌握最简公分母的确定方法是解决这类问题的核心，也为后续分式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.7
通分需遵循两步核心步骤：第一步先确定各分式的最简公分母：①若分母是多项式，先对分母因式分解；②取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或因式）取最高次幂，所有不同的字母（或因式）都要纳入公分母，即可得到最简公分母。第二步根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘同一个合适的非零整式，将分母统一为最简公分母即可。
本题第(1)问分母都是单项式，直接找系数最小公倍数和字母最高次幂即可得最简公分母；第(2)问分母是多项式，先因式分解再找最简公分母，同时注意处理符号问题。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：两个分母分别为$4a^2$和$2ac$，系数4和2的最小公倍数是4，字母$a$的最高次幂是$a^2$，还有单独因式$c$，因此最简公分母是$4a^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{4a^2}$的分母要变为$4a^2c$，需给分子、分母同时乘$c$，得$\frac{1·c}{4a^2·c}=\frac{c}{4a^2c}$；
$\frac{b}{2ac}$的分母要变为$4a^2c$，需给分子、分母同时乘$2a$，得$\frac{b·2a}{2ac·2a}=\frac{2ab}{4a^2c}$。
(2) 先对分母因式分解：$9-3a=3(3-a)=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$。
确定最简公分母：系数最小公倍数是3，因式包含$(a+3)$、$(a-3)$，因此最简公分母是$3(a+3)(a-3)$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}$，分母要变为$3(a+3)(a-3)$，需给分子、分母同时乘$(a+3)$，得$-\frac{2·(a+3)}{3(a-3)·(a+3)}=-\frac{2a+6}{3a^2-27}$；
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$，分母要变为$3(a+3)(a-3)$，需给分子、分母同时乘3，得$\frac{(a-1)·3}{(a+3)(a-3)·3}=\frac{3a-3}{3a^2-27}$。
【答案】
(1)最简公分母是$4a^2c$，$\frac{1}{4a^2}=\frac{c}{4a^2c}$，$\frac{b}{2ac}=\frac{2ab}{4a^2c}$；
(2)最简公分母是$3(a+3)(a-3)$，$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2a+6}{3a^2-27}$，$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{3a-3}{3a^2-27}$。
【知识点】
分式的基本性质；最简公分母的确定；分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考察通分的操作步骤，解题的易错点是分母为多项式时忘记先因式分解，以及负号的处理，熟练掌握最简公分母的确定方法是解决这类问题的核心，也为后续分式的加减运算打好基础。
【难度系数】
0.7
1. 下列各式是最简分式的是(
A.$\frac{4y+2x}{4a}$
B.$\frac{y-x}{x-y}$
C.$\frac{x^2+1}{x-1}$
D.$\frac{x^2-1}{x+1}$
C
).A.$\frac{4y+2x}{4a}$
B.$\frac{y-x}{x-y}$
C.$\frac{x^2+1}{x-1}$
D.$\frac{x^2-1}{x+1}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需逐个对每个选项的分子、分母进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，不存在则为正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：分子$4y+2x=2(x+2y)$，分母$4a=2·2a$，分子分母有公因式2，可约分为$\frac{x+2y}{2a}$，不是最简分式；
选项B：分子$y-x=-(x-y)$，分母为$x-y$，分子分母有公因式$x-y$，可约分为$-1$，不是最简分式；
选项C：分子$x^2+1$在整式范围内无法分解因式，与分母$x-1$没有公因式，是最简分式；
选项D：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母为$x+1$，分子分母有公因式$x+1$，可约分为$x-1$，不是最简分式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简分式的判定
2. 因式分解
3. 分式约分
【点评】
本题考查最简分式的识别，解题的核心是熟练掌握因式分解的方法，准确判断分式分子分母是否存在公因式，是分式约分部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需逐个对每个选项的分子、分母进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若存在公因式则不是最简分式，不存在则为正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：分子$4y+2x=2(x+2y)$，分母$4a=2·2a$，分子分母有公因式2，可约分为$\frac{x+2y}{2a}$，不是最简分式；
选项B：分子$y-x=-(x-y)$，分母为$x-y$，分子分母有公因式$x-y$，可约分为$-1$，不是最简分式；
选项C：分子$x^2+1$在整式范围内无法分解因式，与分母$x-1$没有公因式，是最简分式；
选项D：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母为$x+1$，分子分母有公因式$x+1$，可约分为$x-1$，不是最简分式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 最简分式的判定
2. 因式分解
3. 分式约分
【点评】
本题考查最简分式的识别，解题的核心是熟练掌握因式分解的方法，准确判断分式分子分母是否存在公因式，是分式约分部分的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为(
A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
C
).A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决通分后分子变化的问题，需按以下思路思考：①先对两个分式的分母因式分解，便于找最简公分母；②按照最简公分母的确定规则，算出两个分式的最简公分母；③观察原分式的分母到最简公分母需要乘的整式，根据分式的基本性质，分子也要乘相同的整式，即可得到变形后的分子。
【解析】
步骤1：分解两个分式的分母
第一个分式的分母：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
第二个分式的分母：$2(x-y)$。
步骤2：确定最简公分母
取分母系数的最小公倍数2，取所有出现的因式$(x+y)$、$(x-y)$的最高次幂，可得最简公分母为$2(x+y)(x-y)$。
步骤3：计算第一个分式变形后的分子
原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母为$(x+y)(x-y)$，要变为最简公分母，分母需乘2，根据分式的基本性质（分式的分子分母同乘一个不为0的整式，分式值不变），分子$3x^2$也需乘2，即变形后的分子为$3x^2 × 2=6x^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；分式通分
【点评】
本题考查分式通分的相关知识，解题核心是正确确定最简公分母，再结合分式的基本性质对分子进行变形，属于基础题型，需要注意通分时分子要和分母乘相同的整式，避免漏乘。
【难度系数】
0.8
要解决通分后分子变化的问题，需按以下思路思考：①先对两个分式的分母因式分解，便于找最简公分母；②按照最简公分母的确定规则，算出两个分式的最简公分母；③观察原分式的分母到最简公分母需要乘的整式，根据分式的基本性质，分子也要乘相同的整式，即可得到变形后的分子。
【解析】
步骤1：分解两个分式的分母
第一个分式的分母：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
第二个分式的分母：$2(x-y)$。
步骤2：确定最简公分母
取分母系数的最小公倍数2，取所有出现的因式$(x+y)$、$(x-y)$的最高次幂，可得最简公分母为$2(x+y)(x-y)$。
步骤3：计算第一个分式变形后的分子
原分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母为$(x+y)(x-y)$，要变为最简公分母，分母需乘2，根据分式的基本性质（分式的分子分母同乘一个不为0的整式，分式值不变），分子$3x^2$也需乘2，即变形后的分子为$3x^2 × 2=6x^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；分式的基本性质；分式通分
【点评】
本题考查分式通分的相关知识，解题核心是正确确定最简公分母，再结合分式的基本性质对分子进行变形，属于基础题型，需要注意通分时分子要和分母乘相同的整式，避免漏乘。
【难度系数】
0.8
