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12.已知$(a-2)^2 + |-b +7| + |c -1| =0$，求$2a -b +c$的值。
答案
解:由题可知$a-2=0,-b+7=0,c-1=0,$
解得$a=2,b=7,c=1,$
所以$2a-b+c=4-7+1=-2$。
解得$a=2,b=7,c=1,$
所以$2a-b+c=4-7+1=-2$。
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方数、绝对值的计算结果都是非负数（即大于等于0的数）。当几个非负数相加的和为0时，只有这几个非负数全部为0才能满足等式，因此我们可以分别令三个非负项等于0，求出a、b、c的取值，最后将值代入代数式$2a - b + c$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值都具有非负性，且$(a-2)^2 + |-b +7| + |c -1| =0$
∴ $a-2=0$，$-b+7=0$，$c-1=0$
分别解得：$a=2$，$b=7$，$c=1$
将a、b、c的值代入$2a - b + c$得：
$2×2 -7 +1 =4 -7 +1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
非负数的性质；绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是牢记“几个非负数的和为0时，每一个非负数的值都为0”，熟练掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆非负数的性质：平方数、绝对值的计算结果都是非负数（即大于等于0的数）。当几个非负数相加的和为0时，只有这几个非负数全部为0才能满足等式，因此我们可以分别令三个非负项等于0，求出a、b、c的取值，最后将值代入代数式$2a - b + c$计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值都具有非负性，且$(a-2)^2 + |-b +7| + |c -1| =0$
∴ $a-2=0$，$-b+7=0$，$c-1=0$
分别解得：$a=2$，$b=7$，$c=1$
将a、b、c的值代入$2a - b + c$得：
$2×2 -7 +1 =4 -7 +1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
非负数的性质；绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查非负数性质的应用，解题的关键是牢记“几个非负数的和为0时，每一个非负数的值都为0”，熟练掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13.阅读材料:“如果代数式$5a + 3b$的值是$-4$,那么代数式$2(a + b)+4(2a + b)$的值是多少?”我们可以这样来解:原式$=2a + 2b +8a +4b=10a +6b$。把式子$5a +3b=-4$两边同乘2,得$10a +6b=-8$。仿照上面的解题方法,解决下面的问题:
(1)已知$a^2 +a=0$,求$a^2 +a +2026$的值;
(2)已知$a -b=-3$,求$3(a -b)-a +b +5$的值;
(3)已知$a^2 +2ab=-2$,$ab -b^2=-4$,求$2a^2 +5ab -b^2$的值。
(1)已知$a^2 +a=0$,求$a^2 +a +2026$的值;
(2)已知$a -b=-3$,求$3(a -b)-a +b +5$的值;
(3)已知$a^2 +2ab=-2$,$ab -b^2=-4$,求$2a^2 +5ab -b^2$的值。
答案
解:(1)因为$a^2 +a=0$,所以$a^2 +a + 2026=0+2026=2026$。
(2)因为$a - b = -3$,所以$3(a - b)-a + b +5=3×(-3)-(-3)+5=-1$。
(3)因为$a^2 + 2ab = -2,ab - b^2 = -4$,
所以$2a^2 + 5ab - b^2 = 2a^2 + 4ab + ab - b^2=2×(-2)+(-4)=-8$。
(2)因为$a - b = -3$,所以$3(a - b)-a + b +5=3×(-3)-(-3)+5=-1$。
(3)因为$a^2 + 2ab = -2,ab - b^2 = -4$,
所以$2a^2 + 5ab - b^2 = 2a^2 + 4ab + ab - b^2=2×(-2)+(-4)=-8$。
解析
【分析】
本题考查整体代入法求代数式的值，解题核心是无需计算单个字母的取值，只需将待求式变形为包含已知代数式的形式，再整体代入计算即可：
(1) 待求式中直接包含已知的$a^2+a$，可直接代入已知数值计算；
(2) 先将待求式中的$-a+b$变形为$-(a-b)$，即可将式子整理为仅含$(a-b)$的形式，再代入$a-b=-3$计算；
(3) 观察待求式$2a^2 + 5ab - b^2$的结构，可拆分为$2(a^2+2ab) + (ab - b^2)$，刚好对应已知的两个代数式，分别代入数值计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 +a=0$，将其整体代入待求式：
$a^2 +a +2026=0+2026=2026$
(2) 先对待求式变形，将$-a+b$整理为$-(a-b)$：
$3(a -b)-a +b +5=3(a -b)-(a -b)+5$
已知$a-b=-3$，整体代入得：
原式$=3×(-3)-(-3)+5=-9+3+5=-1$
(3) 先将待求式拆分变形为已知代数式的组合形式：
$2a^2 + 5ab - b^2 = 2a^2 + 4ab + ab - b^2 = 2(a^2 + 2ab) + (ab - b^2)$
已知$a^2 + 2ab=-2$，$ab - b^2=-4$，整体代入得：
原式$=2×(-2) + (-4) = -4 -4 = -8$
【答案】
(1)$\boxed{2026}$；(2)$\boxed{-1}$；(3)$\boxed{-8}$
【知识点】
整体代入法，代数式求值，整式的加减
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，通过将待求式变形匹配已知条件，避免了求解单个未知字母的繁琐过程，简化了运算，掌握整体变形的技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.75
本题考查整体代入法求代数式的值，解题核心是无需计算单个字母的取值，只需将待求式变形为包含已知代数式的形式，再整体代入计算即可：
(1) 待求式中直接包含已知的$a^2+a$，可直接代入已知数值计算；
(2) 先将待求式中的$-a+b$变形为$-(a-b)$，即可将式子整理为仅含$(a-b)$的形式，再代入$a-b=-3$计算；
(3) 观察待求式$2a^2 + 5ab - b^2$的结构，可拆分为$2(a^2+2ab) + (ab - b^2)$，刚好对应已知的两个代数式，分别代入数值计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 +a=0$，将其整体代入待求式：
$a^2 +a +2026=0+2026=2026$
(2) 先对待求式变形，将$-a+b$整理为$-(a-b)$：
$3(a -b)-a +b +5=3(a -b)-(a -b)+5$
已知$a-b=-3$，整体代入得：
原式$=3×(-3)-(-3)+5=-9+3+5=-1$
(3) 先将待求式拆分变形为已知代数式的组合形式：
$2a^2 + 5ab - b^2 = 2a^2 + 4ab + ab - b^2 = 2(a^2 + 2ab) + (ab - b^2)$
已知$a^2 + 2ab=-2$，$ab - b^2=-4$，整体代入得：
原式$=2×(-2) + (-4) = -4 -4 = -8$
【答案】
(1)$\boxed{2026}$；(2)$\boxed{-1}$；(3)$\boxed{-8}$
【知识点】
整体代入法，代数式求值，整式的加减
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，通过将待求式变形匹配已知条件，避免了求解单个未知字母的繁琐过程，简化了运算，掌握整体变形的技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.75
14.用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案。
(1)第4个图案中,三角形有
(2)第n(n为正整数)个图案中,三角形与六边形各有多少个?
(3)是否存在某个符合上述规律的图案,其中有100个三角形与30个六边形?如果存在,指出是第几个图案;如果不存在,请说明理由。
(1)第4个图案中,三角形有
10
个,六边形有4
个。(2)第n(n为正整数)个图案中,三角形与六边形各有多少个?
(3)是否存在某个符合上述规律的图案,其中有100个三角形与30个六边形?如果存在,指出是第几个图案;如果不存在,请说明理由。
答案
14. 解:(1)10 4
(2)第$n$个图案中三角形的个数为$2n+2$,六边形的个数为$n$。
(3)不存在。
理由如下:假设存在这样的一个图案,其中有30个六边形,则这个图案是第30个图案,而第30个图案中三角形的个数为$2×30+2=62≠100$,所以这样的图案不存在。
(2)第$n$个图案中三角形的个数为$2n+2$,六边形的个数为$n$。
(3)不存在。
理由如下:假设存在这样的一个图案,其中有30个六边形,则这个图案是第30个图案,而第30个图案中三角形的个数为$2×30+2=62≠100$,所以这样的图案不存在。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究类题目，解题思路如下：第一步先分别统计前3个图案中三角形、六边形的个数，观察两种图形数量随图案序号增加的变化规律；第二步根据规律推导第4个图案的图形数量，再进一步推导第n个图案对应图形数量的通用代数式；第三步解决存在性问题时，可先假设图案存在，结合得到的代数式验证数量是否匹配，即可判断是否存在。
【解析】
(1) 先统计已知图案的图形数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
可发现规律：每增加1个图案，三角形个数增加2，六边形个数增加1。
因此第4个图案中，三角形个数为$8+2=10$，六边形个数为$3+1=4$。
(2) 结合上述规律推导第n个图案的数量：
三角形个数：第1个为$4=2×1+2$，第2个为$6=2×2+2$，第3个为$8=2×3+2$，因此第n个图案中三角形个数为$2n+2$；
六边形个数：第1个为1，第2个为2，第3个为3，因此第n个图案中六边形个数为$n$。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在符合条件的图案，若该图案有30个六边形，根据规律可知该图案是第30个图案，此时三角形的个数应为$2×30+2=62$，和题目给出的100个三角形不符，因此这样的图案不存在。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{4}$
(2) 三角形有$\boxed{2n+2}$个，六边形有$\boxed{n}$个
(3) 不存在，理由见解析
【知识点】
图形规律探究；列代数式；存在性判断
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是从给出的示例图案中归纳出图形数量和图案序号的对应关系，推导通用代数式后即可解决后续问题，存在性问题可通过假设法结合代数式验证求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究类题目，解题思路如下：第一步先分别统计前3个图案中三角形、六边形的个数，观察两种图形数量随图案序号增加的变化规律；第二步根据规律推导第4个图案的图形数量，再进一步推导第n个图案对应图形数量的通用代数式；第三步解决存在性问题时，可先假设图案存在，结合得到的代数式验证数量是否匹配，即可判断是否存在。
【解析】
(1) 先统计已知图案的图形数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
可发现规律：每增加1个图案，三角形个数增加2，六边形个数增加1。
因此第4个图案中，三角形个数为$8+2=10$，六边形个数为$3+1=4$。
(2) 结合上述规律推导第n个图案的数量：
三角形个数：第1个为$4=2×1+2$，第2个为$6=2×2+2$，第3个为$8=2×3+2$，因此第n个图案中三角形个数为$2n+2$；
六边形个数：第1个为1，第2个为2，第3个为3，因此第n个图案中六边形个数为$n$。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在符合条件的图案，若该图案有30个六边形，根据规律可知该图案是第30个图案，此时三角形的个数应为$2×30+2=62$，和题目给出的100个三角形不符，因此这样的图案不存在。
【答案】
(1) $\boxed{10}$，$\boxed{4}$
(2) 三角形有$\boxed{2n+2}$个，六边形有$\boxed{n}$个
(3) 不存在，理由见解析
【知识点】
图形规律探究；列代数式；存在性判断
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是从给出的示例图案中归纳出图形数量和图案序号的对应关系，推导通用代数式后即可解决后续问题，存在性问题可通过假设法结合代数式验证求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
