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1. [2026渭南期末]为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5人的投中次数，得到数据5,5,4,3,3，则这组数据的离差平方和为
4
。答案
这组数据的平均数为$\frac{5 + 5 + 4 + 3 + 3}{5}=4$,所以这组数据的离差平方和为$(5 - 4)^2 + (5 -4)^2 + (4 -4)^2 + (3 -4)^2 + (3 -4)^2 =1 +1 +0 +1 +1 =4$。
2. [2024黑龙江龙东地区中考]一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 (
A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
D
)A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
答案
这组数据的平均数是$\frac{1}{4} × (2 + 3 + 3 + 4) = 3$,则这组数据的方差为$\frac{1}{4} × [(2 - 3)^2 + 2 × (3 - 3)^2 + (4 - 3)^2 ] = 0.5$。
3. 教材P150 素材变式 [2024 烟台中考]射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为$s^2_甲$和$s^2_乙$，则$s^2_甲$和$s^2_乙$的大小关系是（
A.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
B.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
C.$s^2_甲 = s^2_乙$
D.无法确定
A
）A.$s^2_甲 ＞ s^2_乙$
B.$s^2_甲 ＜ s^2_乙$
C.$s^2_甲 = s^2_乙$
D.无法确定
答案
由题图可知,甲选手的数据浮动较大,所以甲选手的成绩波动较大,所以甲选手成绩的方差较大,即$s^2_甲 ＞ s^2_乙$。
4. [2024长沙中考]为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势,每种秧苗各随机抽取40株,分别量出每株高度,计算发现三组秧苗的平均高度一样,并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8,由此可知
甲
种秧苗长势更整齐。(填“甲”“乙”或“丙”)答案
因为甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8,所以甲组秧苗高度的方差最小,所以甲种秧苗长势更整齐。
5. 一题多解 [2026枣庄月考]已知一组数据为97,98,99,100,101,则这组数据的标准差是
√2
。答案
通解 $\bar{x} = \frac{1}{5} × (97 + 98 + 99 + 100 + 101 ) =99$,$s^2 = \frac{1}{5} × [(97 -99)^2 + (98 -99)^2 + (99 -99)^2 + (100 -99)^2 + (101 -99)^2 ] =2$,所以这组数据的标准差是$\sqrt{2}$。
另解 将数据97,98,99,100,101都减去100后,得到一组新数据-3,-2,-1,0,1,新数据的平均数 $\bar{x} = \frac{1}{5} × (-3 -2 -1 + 0 + 1 ) = -1$,$s^2 = \frac{1}{5} × \{[(-3) - (-1)]^2 + [(-2) - (-1)]^2 + [(-1) - (-1)]^2 + [0 - (-1)]^2 + [1 - (-1)]^2 \} =2$,所以数据97,98,99,100,101的标准差是$\sqrt{2}$。
另解 将数据97,98,99,100,101都减去100后,得到一组新数据-3,-2,-1,0,1,新数据的平均数 $\bar{x} = \frac{1}{5} × (-3 -2 -1 + 0 + 1 ) = -1$,$s^2 = \frac{1}{5} × \{[(-3) - (-1)]^2 + [(-2) - (-1)]^2 + [(-1) - (-1)]^2 + [0 - (-1)]^2 + [1 - (-1)]^2 \} =2$,所以数据97,98,99,100,101的标准差是$\sqrt{2}$。
6. [2025聊城月考]已知一个样本-1,0,2,x,3,平均数为2,则这个样本的方差是
6
,标准差是√6
。答案
由题意,得$\frac{1}{5} × ( - 1 + 0 + 2 + x + 3 ) = 2$,所以$-1 + 0 + 2 + x + 3 = 10$,解得$x = 6$,所以方差为$\frac{1}{5} × [(-1 - 2)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 2)^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 2)^2 ] =6$,所以标准差是$\sqrt{6}$。
7.［2025宁德月考］在我校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表。
乙运动员的射击成绩统计表
(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是
(2)求乙运动员第5次的成绩。
(3)如果从中选择一个成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由。
乙运动员的射击成绩统计表
(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是
9
环。(2)求乙运动员第5次的成绩。
(3)如果从中选择一个成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由。
答案
解:(1)9
(2)因为甲运动员前5箭的总成绩是5 + 7 + 9 + 9 + 10 = 40(环),甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同,所以$a = 40 -8 -10 -8 -6 =8$,所以乙运动员第5次的成绩是8环。
(3)应选乙运动员去。理由如下:
因为$40 × \frac{1}{5} =8$(环),所以甲运动员前5箭射击成绩的方差$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(9 - 8)^2 + (5 - 8)^2 + (10 - 8)^2 + (7 - 8)^2 + (9 - 8)^2 ] = 3.2$,
乙运动员前5箭射击成绩的方差$s^2_乙 = \frac{1}{5} [ (8 - 8)^2 + (10 - 8)^2 + (8 - 8)^2 + (6 - 8)^2 + (8 - 8)^2 ] = 1.6$,
因为甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同,$3.2 ＞ 1.6$,所以$s^2_甲 ＞ s^2_乙$,
所以乙运动员前5箭的成绩比较稳定,应选乙运动员参加全市中学生比赛。
(2)因为甲运动员前5箭的总成绩是5 + 7 + 9 + 9 + 10 = 40(环),甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同,所以$a = 40 -8 -10 -8 -6 =8$,所以乙运动员第5次的成绩是8环。
(3)应选乙运动员去。理由如下:
因为$40 × \frac{1}{5} =8$(环),所以甲运动员前5箭射击成绩的方差$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(9 - 8)^2 + (5 - 8)^2 + (10 - 8)^2 + (7 - 8)^2 + (9 - 8)^2 ] = 3.2$,
乙运动员前5箭射击成绩的方差$s^2_乙 = \frac{1}{5} [ (8 - 8)^2 + (10 - 8)^2 + (8 - 8)^2 + (6 - 8)^2 + (8 - 8)^2 ] = 1.6$,
因为甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同,$3.2 ＞ 1.6$,所以$s^2_甲 ＞ s^2_乙$,
所以乙运动员前5箭的成绩比较稳定,应选乙运动员参加全市中学生比赛。
