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8. [2026邢台信都区期中]“计”高一筹，“算”出风采。
为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动。已知甲班10名学生测试成绩的方差是$s^2_甲 = 0.19$，乙班10名学生测试成绩的方差是$s^2_乙 = m$，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则$m$的值可能是（
A.0.20
B.0.22
C.0.19
D.0.18
为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动。已知甲班10名学生测试成绩的方差是$s^2_甲 = 0.19$，乙班10名学生测试成绩的方差是$s^2_乙 = m$，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则$m$的值可能是（
D
）A.0.20
B.0.22
C.0.19
D.0.18
答案
由题意可知,乙班的方差应小于甲班的方差,因为$s^2_甲=0.19,s^2_乙=m$,所以$m＜0.19$。
9. 一题多解 [2024 德州中考] 甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩(单位：环)如表所示：
则三名运动员中成绩最稳定的是 (
A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
则三名运动员中成绩最稳定的是 (
A
)A.甲
B.乙
C.丙
D.无法确定
答案
因为甲的成绩在9.6和9.7之间波动,乙的成绩在9.3和10之间波动,丙的成绩在9.5和10之间波动,所以离差平方和$S^2_甲＜S^2_丙＜S^2_乙$,所以这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲。
通解：甲的成绩的平均数是$\frac{1}{5}×(9.7+9.7+9.6+9.7+9.7)=9.68$(环),所以甲的成绩的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}×[4×(9.7-9.68)^2+(9.6-9.68)^2]=0.0016$。同理可得,乙的成绩的方差$s^2_乙=0.0776$,丙的成绩的方差$s^2_丙=0.0376$,所以$s^2_甲＜s^2_丙＜s^2_乙$,所以这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲。
通解：甲的成绩的平均数是$\frac{1}{5}×(9.7+9.7+9.6+9.7+9.7)=9.68$(环),所以甲的成绩的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}×[4×(9.7-9.68)^2+(9.6-9.68)^2]=0.0016$。同理可得,乙的成绩的方差$s^2_乙=0.0776$,丙的成绩的方差$s^2_丙=0.0376$,所以$s^2_甲＜s^2_丙＜s^2_乙$,所以这三名运动员中5次射击训练成绩最稳定的是甲。
10. [2025烟台中考]求一组数据方差的算式为$s^2 = \frac{1}{n} × [(6 - \bar{x})^2 + (8 - \bar{x})^2 + (8 - \bar{x})^2 + (6 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2]$。由算式提供的信息，下列说法错误的是（
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
C
）A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
答案
由题中算式可知,这组数据为6,6,7,8,8,所以n的值是5,A项说法正确,不符合题意;该组数据的平均数是$\frac{6×2+7+8×2}{5}=7$,B项说法正确,不符合题意;众数为6,8,C项说法错误,符合题意;该组数据加入两个数7,7,易知这组新数据的方差变小,D项说法正确,不符合题意。
11. [2025长春月考]小明计算出一组数据的方差为$s^2$，小丽将这组数据中每个数据都除以2，所得新数据的方差是（
A.$\frac{1}{2}s^2$
B.$2s^2$
C.$\frac{1}{4}s^2$
D.$4s^2$
C
）A.$\frac{1}{2}s^2$
B.$2s^2$
C.$\frac{1}{4}s^2$
D.$4s^2$
答案
设$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$的平均数为$\bar{x}$,则方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$,由于小丽将这组数据中每个数据都除以2,所以$\frac{1}{n}[(\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}\bar{x})^2+(\frac{1}{2}x_2-\frac{1}{2}\bar{x})^2+\dots+(\frac{1}{2}x_n-\frac{1}{2}\bar{x})^2]=\frac{1}{4n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=\frac{1}{4}s^2$。
避坑指南：本题的易错之处是对方差的概念没有深刻理解,误认为只要把原数据的方差也除以2就可以得到新数据的方差。事实上,样本中各个数据与样本平均数之差的平方的平均数才叫方差。
避坑指南：本题的易错之处是对方差的概念没有深刻理解,误认为只要把原数据的方差也除以2就可以得到新数据的方差。事实上,样本中各个数据与样本平均数之差的平方的平均数才叫方差。
变式 [2025 漯河期末] 已知一组数据 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 的平均数是2，方差是2，那么另一组数据 $2x_1 -1,2x_2 -1,2x_3 -1,2x_4 -1,2x_5 -1$ 的平均数和方差分别为 (
A.4,4
B.3,3
C.3,8
D.3,4
C
)A.4,4
B.3,3
C.3,8
D.3,4
答案
由题意,知$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5×2=10$,$(x_1-2)^2+(x_2-2)^2+(x_3-2)^2+(x_4-2)^2+(x_5-2)^2=5×2=10$,所以新数据的平均数为$\frac{1}{5}×(2x_1-1+2x_2-1+2x_3-1+2x_4-1+2x_5-1)=\frac{1}{5}[2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)-5]=\frac{1}{5}×15=3$,新数据的方差为$\frac{1}{5}×[(2x_1-1-3)^2+(2x_2-1-3)^2+(2x_3-1-3)^2+(2x_4-1-3)^2+(2x_5-1-3)^2]=\frac{1}{5}×[4(x_1-2)^2+4(x_2-2)^2+4(x_3-2)^2+4(x_4-2)^2+4(x_5-2)^2]=\frac{4}{5}×[(x_1-2)^2+(x_2-2)^2+(x_3-2)^2+(x_4-2)^2+(x_5-2)^2]=\frac{4}{5}×10=8$。
12. [2026南京期末] 甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩如图所示。
(1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是
(2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性；
(3)结合数据,请再写出一条与(1)(2)不同角度的结论。
(1)甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是
80
分、80
分；(2)利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性；
(3)结合数据,请再写出一条与(1)(2)不同角度的结论。
答案
解:(1)80 80
甲同学五次测试成绩的平均数为$\frac{1}{5}×(80×3+90+70)=80$(分),乙同学五次测试成绩的平均数为$\frac{1}{5}×(60+70+90+80+100)=80$(分)。
(2)甲同学该项测试成绩的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}×[3×(80-80)^2+(70-80)^2+(90-80)^2]=40$,
乙同学该项测试成绩的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(60-80)^2+(70-80)^2+(90-80)^2+(80-80)^2+(100-80)^2]=200$,
因为$40＜200$,即$s^2_甲＜s^2_乙$,所以甲同学该项测试成绩比较稳定。
(3)甲同学该项测试成绩在70,80,90间上下波动,而乙同学该项测试成绩从60分到100分,总体呈现上升趋势,越来越好,进步明显。(答案不唯一)
甲同学五次测试成绩的平均数为$\frac{1}{5}×(80×3+90+70)=80$(分),乙同学五次测试成绩的平均数为$\frac{1}{5}×(60+70+90+80+100)=80$(分)。
(2)甲同学该项测试成绩的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}×[3×(80-80)^2+(70-80)^2+(90-80)^2]=40$,
乙同学该项测试成绩的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(60-80)^2+(70-80)^2+(90-80)^2+(80-80)^2+(100-80)^2]=200$,
因为$40＜200$,即$s^2_甲＜s^2_乙$,所以甲同学该项测试成绩比较稳定。
(3)甲同学该项测试成绩在70,80,90间上下波动,而乙同学该项测试成绩从60分到100分,总体呈现上升趋势,越来越好,进步明显。(答案不唯一)
